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クラメールの連関係数の値が0、1の条件がわかる

回帰分析

「クラメールの連関係数の値が0、1の時はどんな条件かがわからない」など、疑問に思いませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

クラメールの連関係数の値が0、1の条件がわかる

おさえておきたいポイント

  • ➀クラメールの連関係数を導出する
  • ②クラメールの連関係数が1の場合
  • ➂クラメールの連関係数が0の場合

➀クラメールの連関係数を導出する

関連記事に解説しています。ご確認ください。

②クラメールの連関係数が1の場合

導出過程は次の5つです。

  1. クラメールの連関係数が1となる条件式を作る
  2. 実測度数を計算
  3. 期待度数を計算
  4. ある文字について\(χ^2\)を計算
  5. 全体の\(χ^2\)を計算

結果的に、
\(χ^2\)=\(N(k-1)\)
となれば、クラメールの連関係数\(r_c\)=1となります。

では、解説します。

1.クラメールの連関係数が1となる条件式

関連記事から、次の条件式を持ってきます。

\(\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\)\(\frac{n_{ij}^2}{g_i f_j }\)から
●\(\sum_{i=1}^{I} n_{ij}\) ≤ \(f_j\)
かつ
●\(\sum_{j=1}^{J} n_{ij}\) ≤ \(g_i\)
に注目すると、
●\( n_{ij}\) ≤ \(g_i\)
かつ
●\( n_{ij}\) ≤ \(f_j\)が共に成立しますね。

ここで、不等号が等号条件になる場合を考えます。つまり、

\( n_{ij}\)=\(g_i\) かつ、\( n_{ij}\)=\(f_j\)

この等号条件を使っていきます。

実際に式を書き出してみると
●\(n_{i1}+n_{i2}+…+n_{ij}+…+n_{iJ}\)=\(g_i\)=\(n_{ij}\)
●\(n_{1j}+n_{2j}+…+n_{ij}+…+n_{Ij}\)=\(f_j\)=\(n_{ij}\)
を同時に満たすには、

\( n_{ij}\)=\( n_{ij}\) (ただし、\(i=j\)の場合のみ)
\( n_{ij}\)=0(それ以外)

という条件になってしまいます。

\( n_{ij}\)=\( n_{ij}\) (ただし、\(i=j\)の場合のみ)を
\( n_{ij}\)=\(f_j\) (ただし、\(I\) ≥ \(J\))と置いて、以後解説します。

2.実測度数を計算

\( n_{ij}\)=\(f_j\) (ただし、\(I\) ≥ \(J\))と置くと、実測度数は下表のように置けます。

\(j\)/\(i\) 1 2 \(J\) \(J+1\) \(I\)
1 \(f_1\) 0 0 0 0 \(f_1\)
2 0 \(f_2\) 0 0 0 \(f_2\)
\(J\) 0 0 \(f_J\) 0 0 \(f_J\)
\(f_1\) \(f_2\) \(f_J\) 0 0 \(N\)

ここで、
\( n_{ij}\)=\(f_j\) (ただし、\(I\) ≥ \(J\))と置いたので、
\(I\) ≥ \(I\)として考えます。
よって、\(J+1\)から\(I\)までの値は0とします。

3.期待度数を計算

次に期待度数を計算します。期待度数は
\(\frac{f_j}{N}\)×\(\frac{g_i}{N}\)×\(N\)=\(\frac{f_j g_i}{N}\)に注意して解きます。
下表の結果になります。

\(j\)/\(i\) 1 2 \(J\) \(J+1\) \(I\)
1 \(\frac{f_1^2}{N}\) \(\frac{f_1 f_2}{N}\) \(\frac{f_1 f_J}{N}\) 0 0 \(f_1\)
2 \(\frac{f_2 f_1}{N}\) \(\frac{f_2^2}{N}\) \(\frac{f_2 f_J}{N}\) 0 0 \(f_2\)
\(J\) \(\frac{f_J f_1}{N}\) \(\frac{f_J f_2}{N}\) \(\frac{f_J^2}{N}\) 0 0 \(f_J\)
\(g_1\)=\(f_1\) \(g_2\)=\(f_2\) \(g_J\)=\(f_J\) \(g_{J+1}\)=0 \(g_I\)=0 \(N\)

ここで、
\( n_{ij}\)=\(f_j\) (ただし、\(I\) ≥ \(J\))と置いたので、
\(I\) ≥ \(I\)として考えます。
よって、\(J+1\)から\(I\)までの値は0とします。

4.\(χ^2\)を計算(その1)

まず、\(j=1\)についての\(χ^2\)を計算します。実測度数と期待度数を比較しましょう。下表のとおりです。

\(j\)/\(i\) 1 2 \(J\) \(J+1\) \(I\)
1(実測) \(f_1\) 0 0 0 0 \(f_1\)
1(期待) \(\frac{f_1^2}{N}\) \(\frac{f_1 f_2}{N}\) \(\frac{f_1 f_J}{N}\) 0 0 \(f_1\)

\(j=1\)についての\(χ^2\)は
\(χ^2\)=\(\sum_{i=1}^{I}\frac{(実測度数-期待度数)^2}{期待度数}\)
なので、

\(χ^2\)=\(\frac{(f_1-\frac{f_1^2}{N})^2}{\frac{f_1^2}{N}}\)
+\(\frac{(0-\frac{f_1 f_2}{N})^2}{\frac{f_1 f_2}{N}}\)
+…
+\(\frac{(0-\frac{f_1 f_J}{N})^2}{\frac{f_1 f_J}{N}}\)
となります。

まとめると、
\(χ^2\)=\(N \frac{f_1^2(1-\frac{f_1}{N})^2}{f_1^2}\)+(\(\frac{f_1 f_2}{N}\)+…+\(\frac{f_1 f_J}{N}\))
=\(N \frac{f_1^2(1-\frac{f_1}{N})^2}{f_1^2}\)+\(\frac{f_1}{N}(f_2+…+f_J)\)

ここで、
\((f_2+…+f_J)\)=\(1-f_1\)なので、代入すると
\(χ^2\)=\(N \frac{f_1^2(1-\frac{f_1}{N})^2}{f_1^2}\)+\(\frac{f_1}{N}(1-f_1)\)
=\((1-\frac{f_1}{N})\)\((N(1\frac{f_1}{N}+f_1)\)
=\(N(1-\frac{f_1}{N})\)
=\(N-f_1\)
となります。

5. \(χ^2\)を計算(その2)

同様にすべての\(j\)について\(χ^2\)を計算すると、
\(χ^2\)=\((N-f_1)\)+\((N-f_2)\)+…+\((N-f_J)\)
=\(NJ\)-\((f_1+f_2+…+f_J)\)
=\(N(J-1)\)
となります。

\(J\)は\(I,J\)の小さい方なので、
\(N\)=\(n\),\(J\)=\(k\)と置くと、
\(χ^2\)=\(n(k-1)\)
となります。

よって、クラメールの連関係数\(r_c\)は
\(r_c\)=\(\sqrt{\frac{χ^2}{n(k-1)}}\)
より、
\(r_c\)=\(\sqrt{\frac{ n(k-1)}{n(k-1)}}\)=1
となり、確かに、\(r_c\)=1になりましたね。

面白い!

➂クラメールの連関係数が0の場合

せっかくなので、0の場合も考えてみましょう。

\(χ^2\)=0となる条件を探せばいい

\(χ^2\)はよーく見ると
\(χ^2\)=\((x_1-a_1)^2\)+\((x_2-a_2)^2\)+…+\((x_n-a_n)^2\)
の2乗和の形をしています。この2乗和の値を0にするには、

すべての\(i\)について\((x_i-a_i)^2\)=0
つまり、\(x_i=a_i\)

という条件が必要です。

なので、
\(χ^2\)=\(\sum_{i=1}^{I}\frac{(実測度数-期待度数)^2}{期待度数}\)
を見ると、

すべての\(i\)について、実測度数=期待度数

となります。具体的なデータを上げると下表のような感じです。

\(j\)/\(i\) 1 2 \(I\)
1 \(n_{11}\)=\(\frac{f_1^2}{N}\) \(n_{21}\)=\(\frac{f_2 f_1}{N}\) \(n_{I1}\)=\(\frac{f_I f_1}{N}\) \(f_1\)
2 \(n_{12}\)=\(\frac{f_1 f_2}{N}\) \(n_{22}\)=\(\frac{f_2^2}{N}\) \(n_{I2}\)=\(\frac{f_I f_2}{N}\) \(f_2\)
J \(n_{1J}\)=\(\frac{f_1 f_J}{N}\) \(n_{2J}\)=\(\frac{f_2 f_J}{N}\) \(n_{IJ}\)=\(\frac{f_I f_J}{N}\) \(f_J\)
\(g_1\) \(g_2\) \(g_I\) N

すべての\(i,j\)について、実測度数\(n_{ij}\)と期待度数\(\frac{f_j g_i}{N}\)が等しい場合に
クラメールの連関係数は0になります。

つまり、実測度数がまったくばらつかないデータの場合だけであり、実際はそんなことは起きにくいですね。

難しい導出過程でしたが、ちゃんとできましたね!

公式は導出できてから使いましょう。

まとめ

「クラメールの連関係数の値が0、1の条件がわかる」を解説しました。

  • ➀クラメールの連関係数を導出する
  • ②クラメールの連関係数が1の場合
  • ➂クラメールの連関係数が0の場合


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