繰返しのある単回帰分析がわかる
「繰返しのある単回帰分析がわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①繰返しのある単回帰分析とは
- ➁平方和\(S_{xx}\),\(S_{xx}\),\(S_{xx}\)を計算
- ➂回帰の分散分析を計算
- ➃回帰直線を導出
- ➄実験計画法(一元配置実験)と比較するとよくわかる
おさえておきたい2つのポイント
この２点を中心に解説します。
①繰返しのある単回帰分析とは
繰返し有無の違い
繰返しのある単回帰分析とは、
同じ\(x\)で\(y\)の値が同じ複数個データがある特殊な場合です。
グラフで繰返しの有りを理解しましょう。
繰返しがあると何に注意すべきか？
結論から言うと、
でしたね。
これは、データの構造式で説明できます。後で解説します。
本記事で扱うデータを用意
次の16組のデータを用意します。
| i | j | xi | yij |
| 1 | 1 | 0 | 3.3 |
| 1 | 2 | 0 | 2.8 |
| 1 | 3 | 0 | 3.7 |
| 1 | 4 | 0 | 4 |
| 2 | 1 | 1 | 4.5 |
| 2 | 2 | 1 | 3.9 |
| 2 | 3 | 1 | 3.2 |
| 2 | 4 | 1 | 3.5 |
| 3 | 1 | 2 | 4.8 |
| 3 | 2 | 2 | 4.2 |
| 3 | 3 | 2 | 5.5 |
| 3 | 4 | 2 | 4.9 |
| 4 | 1 | 3 | 4.9 |
| 4 | 2 | 3 | 5.7 |
| 4 | 3 | 3 | 5 |
| 4 | 4 | 3 | 4.3 |
| – | 合計 | 24 | 68.2 |
| – | 平均 | 1.5 | 4.2625 |
グラフを描くとこんな感じです。
上表で、i(=1,2,3,4)が変数\(x_i\)が変化する値で、
i(=1,2,3,4)が同じ変数\(x_i\)で繰り返す値となり、
４×4=16個のデータとなっています。
➁平方和\(S_{xx}\),\(S_{xx}\),\(S_{xx}\)を計算
注意してほしい点
上表を使って、全組から平方和を計算します。
| i | j | x | y | A= \((x-\bar{x})\) |
B= \((y-\bar{y})\) |
A2 | B2 | AB= \((x-\bar{x})(y-\bar{y})\) |
| 1 | 1 | 0 | 3.3 | -1.5 | -0.96 | 2.25 | 0.93 | 1.44 |
| 1 | 2 | 0 | 2.8 | -1.5 | -1.46 | 2.25 | 2.14 | 2.19 |
| 1 | 3 | 0 | 3.7 | -1.5 | -0.56 | 2.25 | 0.32 | 0.84 |
| 1 | 4 | 0 | 4 | -1.5 | -0.26 | 2.25 | 0.07 | 0.39 |
| 2 | 1 | 1 | 4.5 | -0.5 | 0.24 | 0.25 | 0.06 | -0.12 |
| 2 | 2 | 1 | 3.9 | -0.5 | -0.36 | 0.25 | 0.13 | 0.18 |
| 2 | 3 | 1 | 3.2 | -0.5 | -1.06 | 0.25 | 1.13 | 0.53 |
| 2 | 4 | 1 | 3.5 | -0.5 | -0.76 | 0.25 | 0.58 | 0.38 |
| 3 | 1 | 2 | 4.8 | 0.5 | 0.54 | 0.25 | 0.29 | 0.27 |
| 3 | 2 | 2 | 4.2 | 0.5 | -0.06 | 0.25 | 0 | -0.03 |
| 3 | 3 | 2 | 5.5 | 0.5 | 1.24 | 0.25 | 1.53 | 0.62 |
| 3 | 4 | 2 | 4.9 | 0.5 | 0.64 | 0.25 | 0.41 | 0.32 |
| 4 | 1 | 3 | 4.9 | 1.5 | 0.64 | 2.25 | 0.41 | 0.96 |
| 4 | 2 | 3 | 5.7 | 1.5 | 1.44 | 2.25 | 2.07 | 2.16 |
| 4 | 3 | 3 | 5 | 1.5 | 0.74 | 2.25 | 0.54 | 1.11 |
| 4 | 4 | 3 | 4.3 | 1.5 | 0.04 | 2.25 | 0 | 0.06 |
| – | 合計 | 24 | 68.2 | 0 | 0 | 20 | 10.6 | 11.3 |
| – | 平均 | 1.5 | 4.2625 | – | – | ↑\(S_{xx}\) | ↑\(S_{yy}\) | ↑\(S_{xy}\) |
確かに、１６組から平方和が計算できて、繰返し有無は気にしなくてもOKですね。
平方和\(S_{xx}\),\(S_{xx}\),\(S_{xx}\)を式で書く
式で書くと
●\(S_{xx}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\)\(\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{i}-\bar{x})^2\)
●\(S_{yy}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\)\(\sum_{j=1}^{b}\)\((y_{ij}-\bar{y})^2\)
●\(S_{xy}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\)\(\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{i}-\bar{x})(y_{ij}-\bar{y})\)
と機械的に書けます。
一方、変数\(y\)は\(i,j\)両方についての変数なので\((y_{ij}\)です。
よって、式を変形すると、ややこしいですけど、
●\(S_{xx}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\)\(\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{i}-\bar{x})^2\)
=\(b\)\(\sum_{i=1}^{a}\)\((x_{i}-\bar{x})^2\)
と変形できます。残り２つはそのままです。
●\(S_{yy}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\)\(\sum_{j=1}^{b}\)\((y_{ij}-\bar{y})^2\)
●\(S_{xy}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\)\(\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{i}-\bar{x})(y_{ij}-\bar{y})\)
➂回帰の分散分析を計算
基本は、繰返し有無に意識しなくていい
平方和\(S_{xx}\),\(S_{xx}\),\(S_{xx}\)から回帰分析の分散分析と、回帰直線に必要な傾きとy切片が計算できます。これも、繰返し有無関係なく１つの解法でできます。
平方和\(S_T\),\(S_R\),\(S_{er}\)を計算
単回帰分析では、
●総平方和：\(S_T\)=\(S_{yy}\)
●回帰平方和：\(S_R\)=\(\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}\)
●回帰残差平方和：\(S_{er}\)=\(S_T\)-\(S_R\)
から計算できて、これは繰返し有無関係なく同じ解法ですね。
実際に計算すると
●\(S_T\)=10.60
●\(S_R\)=6.38
●\(S_{er}\)=4.22
ですね。
分散分析表を作ると
| – | S | Φ |
| R | 6.38 | 1 |
| er | 4.22 | 14 |
| T | 10.60 | 15 |
ですね。
繰返し有無関係なく、回帰の分散分析はできますね。
➃回帰直線を導出
これも同様に、繰返し有無関係なく１つの解法でできますね。
回帰直線の傾きとy切片は、
●傾き：\(β_1\)=\(\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\)
●y切片：\(β_0\)=\(\bar{y}\)-\(β_1 \bar{x}\)
から求めます。確かに繰返し有無関係ないですね。
計算すると、
●傾き：\(β_1\)=0.565
●y切片：\(β_0\)=3.415
より、回帰直線は
y=0.565x+3.415
になります。
➄実験計画法(一元配置実験)と比較するとよくわかる
ここからが、繰返し有りの場合で意識しておくべき内容です。
両者の分散分析については関連記事で詳細に解説しています。是非読んでください。
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繰返しのある単回帰分析の分散分析がよくわかる 繰返しのある単回帰分析の分散分析や当てはまりの悪さが何かが説明できますか？本記事では繰返しのある単回帰分析と実験計画法の一元配置実験を使って、分散分析をわかりやすく解説します。回帰分析をマスターしたい方は必読です。 |
データを比較
下図を見ると、同じデータでも、
繰返し有りの回帰分析でも、
実験計画法(一元配置実験)にもなっていますね。
データの構造式の違い
下図を見るとよくわかります。
この関係が平方和につながり、分散分析が比較できます。
分散分析の比較
以下、関連記事に書いていますので読んでください。
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繰返しのある単回帰分析の分散分析がよくわかる 繰返しのある単回帰分析の分散分析や当てはまりの悪さが何かが説明できますか？本記事では繰返しのある単回帰分析と実験計画法の一元配置実験を使って、分散分析をわかりやすく解説します。回帰分析をマスターしたい方は必読です。 |
まとめ
「繰返しのある単回帰分析がわかる」を解説しました。
- ①繰返しのある単回帰分析とは
- ➁平方和\(S_{xx}\),\(S_{xx}\),\(S_{xx}\)を計算
- ➂回帰の分散分析を計算
- ➃回帰直線を導出
- ➄実験計画法(一元配置実験)と比較するとよくわかる
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119