【必読】MTTF,MTBFとMTTRが導出できる
「MTTF,MTBF,MTTRがごっちゃになる」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①MTTF,MTBFとMTTR
- ➁MTTF,MTBFの導出ができる
- ➂MTTRの導出ができる
①MTTF,MTBFとMTTR
MTTF,MTBFとMTTRとは
3兄弟、「MTTF,MTBFとMTTR」。
でも、どれがどれだったっけ？で試験でよく間違える3兄弟。
| 略語 | 用語 | 系 | 公式 |
| MTTF | Mean Time To Failure | 非修理系 | \(\frac{1}{λ}\) |
| MTBF | Mean Time Between Failure | 修理系 | \(\frac{1}{λ}\) |
| MTTR | Mean Time To Repair | 修理系 | \(\frac{1}{μ}\) |
と表にまとめて、区別して暗記していませんか？
公式暗記せず導出できるようになろう！
ちゃんと自力で導出できた方がいい！
楽して公式暗記しても中身が分かっていないと
高得点取っても意味がない
本記事では、3兄弟「MTTF,MTBFとMTTR」を導出します。
MTTR
全く同じ流れで導出できます。
| 流れ | MTTF,MTBF | MTTR |
| (1) | 微分方程式を作る | 微分方程式を作る |
| (2) | R(t)の導出 | G(t)の導出 |
| (3) | MTTF,MTBFを計算する | MTTRを計算する |
上表の流れで解説していきます。
➁MTTF,MTBFの導出ができる
微分方程式を作る
故障の時間変化を下図のように考えます。
●図から以下のように定義します。
(ii) 1-\(R(t)\)：時刻tまでで故障する確率
(iii) \(f(t)\)：故障確率の確率密度関数で \(f(t)\)= -\(\displaystyle \frac{dR(t)}{dt} \)とする。
(iv) \(f(t)dt\)：微小時間\(dt\)の間で故障する確率(長方形の面積で求める)
ここで、故障率\(λ(t)\)について、微小時間\(dt\)との積\(λ(t)dt\)を
（微小時間の間で故障する面積）÷（時刻t以前で故障しない確率)
で計算しましょう。
式は次のようになります。
\(λ(t)dt\)=\(\frac{f(t)dt}{R(t)}\)
この微分方程式を解いていきます。
R(t)の導出
微分方程式\(λ(t)dt\)=\(\frac{f(t)dt}{R(t)}\)を解きます。
変形すると
\(λ(t)\)=\(\frac{f(t)}{R(t)}\)
次に、
\(f(t)\)= -\(\displaystyle \frac{dR(t)}{dt} \)
を代入します。
\(λ(t)\)=-\(\frac{dR(t)}{R(t)}・\frac{1}{dt}\)
\(λ(t)dt\)=-\(\frac{dR(t)}{R(t)}\)
両辺を積分すると、
\( \displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt \)=-\(logR\)
\(R(t)\)=\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt)\)
と解けました。
MTTF,MTBFを計算する
MTTFとMTBFは非修理系か修理系かの違いで、計算は同じです。
MTTFとMTBF = \( \displaystyle \int_{0}^{∞} tf(t)dt \)ですね。
指数分布の場合で計算する
ここで、
\(R(t)\)=\(exp(-λt)\)
\(f(t)\)=\(λexp(-λt)\)
とおきます。
MTTFとMTBF = \( \displaystyle \int_{0}^{∞} tf(t)dt \)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} λt exp(-λt)dt \)
=\(λ\left[ -\frac{1}{λ} t exp^{-λt} -\frac{1}{λ^2} e^{-λt} \right]_{0}^{∞}\)
=\(\frac{1}{λ}\)
計算できましたね。
全く同じ流れでMTTRも導出します。
➂MTTRの導出ができる
微分方程式を作る
故障の時間変化を下図のように考えます。
●図から以下のように定義します。
(ii) \(G(t)\)：時刻tまでで修理完了確率
(iii) \(g(t)\)：修理確率の確率密度関数で \(g(t)\)= \(\displaystyle \frac{dG(t)}{dt} \)とする。
(iv) \(g(t)dt\)：微小時間\(dt\)の間で修理する確率(長方形の面積で求める)
ここで、修理率\(μ(t)\)について、微小時間\(dt\)との積\(μ(t)dt\)を
（微小時間の間で修理完了する面積）÷（時刻t以前で修理完成しない確率)
で計算しましょう。
式は次のようになります。
\(μ(t)dt\)=\(\frac{g(t)dt}{1-G(t)}\)
●故障：\(λ(t)dt\)=\(\frac{f(t)dt}{R(t)}\)
●修理：\(μ(t)dt\)=\(\frac{g(t)dt}{1-G(t)}\)
この微分方程式を解いていきます。
G(t)の導出
微分方程式\(μ(t)dt\)=\(\frac{g(t)dt}{1-G(t)}\)を解きます。
変形すると
\(μ(t)\)=\(\frac{g(t)}{1-G(t)}\)
次に、
\(g(t)\)= \(\displaystyle \frac{dG(t)}{dt} \)
を代入します。
\(μ(t)\)=-\(\frac{1}{G(t)-1}・\frac{dG}{dt}\)
\(μ(t)dt\)=-\(\frac{dG(t)}{G(t)-1}\)
両辺を積分すると、
\( \displaystyle \int_{0}^{t} μ(t)dt \)=-\(log|G(t)-1|\)
\(|G(t)-1|\)=\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} μ(t)dt)\)
ここで、\(G(t)\)は確率で1以下だから、絶対値を外すときに注意して、
\(1-G(t)\)=\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} μ(t)dt)\)
よって、
\(G(t)\)=1-\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} μ(t)dt)\)
と解けました。
MTTRを計算する
MTTR = \( \displaystyle \int_{0}^{∞} tg(t)dt \)ですね。MTTF,MTBFと同じ考えてで導出できます。
指数分布の場合で計算する
ここで、
\(G(t)\)=1-\(exp(-μt)\)
\(fg(t)\)=\(μexp(-μt)\)
とおきます。
MTTR = \( \displaystyle \int_{0}^{∞} tg(t)dt \)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} μt exp(-μt)dt \)
=\(μ\left[ -\frac{1}{μ} t exp^{-μt} -\frac{1}{μ^2} e^{-μt} \right]_{0}^{∞}\)
=\(\frac{1}{μ}\)
計算できましたね。
MTTF,MTBF =\(\frac{1}{λ}\) ：λは故障率
MTTR=\(\frac{1}{μ}\) ：μは修理率
と同じ感じになります。不思議ですけど。
同じ感じなので、混同しないよう要注意です。
公式暗記不要で、自力で導出できます！
まとめ
「MTTF、MTBFとMTTRが導出できる」を解説しました。
- ①MTTF,MTBFとMTTR
- ➁MTTF,MTBFの導出ができる
- ➂MTTRの導出ができる
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119