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【必読】MTTF,MTBFとMTTRが導出できる

信頼性工学

「MTTF,MTBF,MTTRがごっちゃになる」と困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

MTTF、MTBFとMTTRが導出できる
  • ①MTTF,MTBFとMTTR
  • ➁MTTF,MTBFの導出ができる
  • ➂MTTRの導出ができる

①MTTF,MTBFとMTTR

MTTF,MTBFとMTTRとは

3兄弟、「MTTF,MTBFとMTTR」。

でも、どれがどれだったっけ?で試験でよく間違える3兄弟。

略語 用語 公式
MTTF Mean Time To Failure 非修理系 \(\frac{1}{λ}\)
MTBF Mean Time Between Failure 修理系 \(\frac{1}{λ}\)
MTTR Mean Time To Repair 修理系 \(\frac{1}{μ}\)

と表にまとめて、区別して暗記していませんか?

公式暗記せず導出できるようになろう!

試験対策の公式暗記から
ちゃんと自力で導出できた方がいい!
試験は力量を測るもの。
楽して公式暗記しても中身が分かっていないと
高得点取っても意味がない

本記事では、3兄弟「MTTF,MTBFとMTTR」を導出します。

MTTF,MTBF と
MTTR
全く同じ流れで導出できます。
流れ MTTF,MTBF MTTR
(1) 微分方程式を作る 微分方程式を作る
(2) R(t)の導出 G(t)の導出
(3) MTTF,MTBFを計算する MTTRを計算する

上表の流れで解説していきます。

➁MTTF,MTBFの導出ができる

微分方程式を作る

故障の時間変化を下図のように考えます。

MTTF,MTBF

●図から以下のように定義します。

(i) \(R(t)\):時刻t以降で故障する確率、つまり、時刻tまでは故障しない確率
(ii) 1-\(R(t)\):時刻tまでで故障する確率
(iii) \(f(t)\):故障確率の確率密度関数で \(f(t)\)= -\(\displaystyle \frac{dR(t)}{dt} \)とする。
(iv) \(f(t)dt\):微小時間\(dt\)の間で故障する確率(長方形の面積で求める)

ここで、故障率\(λ(t)\)について、微小時間\(dt\)との積\(λ(t)dt\)を
(微小時間の間で故障する面積)÷(時刻t以前で故障しない確率)
で計算しましょう。

時刻tまでは故障しなかったけど、微小時間\(dt\)経過したら、故障した確率が故障率\(λ(t)\)につながると考えます。

式は次のようになります。
\(λ(t)dt\)=\(\frac{f(t)dt}{R(t)}\)

この微分方程式を解いていきます。

R(t)の導出

微分方程式\(λ(t)dt\)=\(\frac{f(t)dt}{R(t)}\)を解きます。

変形すると
\(λ(t)\)=\(\frac{f(t)}{R(t)}\)

次に、
\(f(t)\)= -\(\displaystyle \frac{dR(t)}{dt} \)
を代入します。

\(λ(t)\)=-\(\frac{dR(t)}{R(t)}・\frac{1}{dt}\)
\(λ(t)dt\)=-\(\frac{dR(t)}{R(t)}\)

両辺を積分すると、
\( \displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt \)=-\(logR\)
\(R(t)\)=\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} λ(t)dt)\)
と解けました。

MTTF,MTBFを計算する

MTTFとMTBFは非修理系か修理系かの違いで、計算は同じです。

MTTFとMTBF = \( \displaystyle \int_{0}^{∞} tf(t)dt \)ですね。

指数分布の場合で計算する

ここで、
\(R(t)\)=\(exp(-λt)\)
\(f(t)\)=\(λexp(-λt)\)
とおきます。

MTTFとMTBF = \( \displaystyle \int_{0}^{∞} tf(t)dt \)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} λt exp(-λt)dt \)
=\(λ\left[ -\frac{1}{λ} t exp^{-λt} -\frac{1}{λ^2} e^{-λt} \right]_{0}^{∞}\)
=\(\frac{1}{λ}\)

計算できましたね。

全く同じ流れでMTTRも導出します。

➂MTTRの導出ができる

微分方程式を作る

故障の時間変化を下図のように考えます。

MTTR

●図から以下のように定義します。

(i) \(1-G(t)\):時刻t以降で修理完了する確率、つまり、時刻tまでは修理完了しない確率
(ii) \(G(t)\):時刻tまでで修理完了確率
(iii) \(g(t)\):修理確率の確率密度関数で \(g(t)\)= \(\displaystyle \frac{dG(t)}{dt} \)とする。
(iv) \(g(t)dt\):微小時間\(dt\)の間で修理する確率(長方形の面積で求める)

ここで、修理率\(μ(t)\)について、微小時間\(dt\)との積\(μ(t)dt\)を
(微小時間の間で修理完了する面積)÷(時刻t以前で修理完成しない確率)
で計算しましょう。

時刻tまでは修理完了しなかったけど、微小時間\(dt\)経過したら、修理完了した確率が修理率\(μ(t)\)につながると考えます。

式は次のようになります。
\(μ(t)dt\)=\(\frac{g(t)dt}{1-G(t)}\)

考え方は同じでも、故障と修理では若干式が変わります。変わった点だけ理解すればOKです。
●故障:\(λ(t)dt\)=\(\frac{f(t)dt}{R(t)}\)
●修理:\(μ(t)dt\)=\(\frac{g(t)dt}{1-G(t)}\)

この微分方程式を解いていきます。

G(t)の導出

微分方程式\(μ(t)dt\)=\(\frac{g(t)dt}{1-G(t)}\)を解きます。

変形すると
\(μ(t)\)=\(\frac{g(t)}{1-G(t)}\)

次に、
\(g(t)\)= \(\displaystyle \frac{dG(t)}{dt} \)
を代入します。

\(μ(t)\)=-\(\frac{1}{G(t)-1}・\frac{dG}{dt}\)
\(μ(t)dt\)=-\(\frac{dG(t)}{G(t)-1}\)

両辺を積分すると、
\( \displaystyle \int_{0}^{t} μ(t)dt \)=-\(log|G(t)-1|\)
\(|G(t)-1|\)=\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} μ(t)dt)\)
ここで、\(G(t)\)は確率で1以下だから、絶対値を外すときに注意して、
\(1-G(t)\)=\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} μ(t)dt)\)
よって、
\(G(t)\)=1-\(exp(-\displaystyle \int_{0}^{t} μ(t)dt)\)
と解けました。

MTTRを計算する

MTTR = \( \displaystyle \int_{0}^{∞} tg(t)dt \)ですね。MTTF,MTBFと同じ考えてで導出できます。

指数分布の場合で計算する

ここで、
\(G(t)\)=1-\(exp(-μt)\)
\(fg(t)\)=\(μexp(-μt)\)
とおきます。

MTTR = \( \displaystyle \int_{0}^{∞} tg(t)dt \)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} μt exp(-μt)dt \)
=\(μ\left[ -\frac{1}{μ} t exp^{-μt} -\frac{1}{μ^2} e^{-μt} \right]_{0}^{∞}\)
=\(\frac{1}{μ}\)

計算できましたね。

MTTF,MTBFとMTTRは全く別物ですが、
MTTF,MTBF =\(\frac{1}{λ}\) :λは故障率
MTTR=\(\frac{1}{μ}\) :μは修理率
と同じ感じになります。不思議ですけど。
MTTF,MTBF =\(\frac{1}{λ}\)とMTTR=\(\frac{1}{μ}\)は
同じ感じなので、混同しないよう要注意です。

公式暗記不要で、自力で導出できます!

まとめ

「MTTF、MTBFとMTTRが導出できる」を解説しました。

  • ①MTTF,MTBFとMTTR
  • ➁MTTF,MTBFの導出ができる
  • ➂MTTRの導出ができる


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