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【信頼性工学】確率密度関数がわかる(正規分布)

信頼性工学

信頼性工学_正規分布

「信頼性工学で使う確率密度関数が難しくて、よくわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【信頼性工学】確率密度関数がわかる(正規分布)
  • ①確率密度関数を導出するモデルを理解する
  • ➁確率密度関数が正規分布の場合
  • ➂故障率λの計算
  • ➃確率密度関数の平均と分散の計算
  • ➄故障率曲線との関係
信頼性工学は数学を駆使する！
数学も身につけよう！

①確率密度関数を導出するモデルを理解する

故障率は指数分布だけではない

特に信頼性工学の入門を解説している教科書やサイトは、

信頼性工学＝指数分布

とインプットされがちです。

でも、ちゃうで！（違うよ！）

故障分布に合わせた確率密度関数を作る

例えば、寿命試験結果が以下のヒストグラムになったとします。

信頼性工学

この図よく見ると、

正規分布型ですよね！

なのに、

指数分布型の確率密度関数を導出する教科書がほとんど
でも、ちゃうで！（違うよ！）
それぞれの分布にあった確率密度関数を使って、寿命予測や故障率を計算しよう！

分布の種類

よく使う、確率密度関数で良いです。

  1. 一様分布
  2. 指数分布
  3. 正規分布
  4. ガンマ分布
  5. ワイブル分布

ガンマ分布とワイブル分布は無理矢理感がありますが、信頼性工学でよく使います。

大事なのは、

分布関数で練習したら、あなたが使いやすい分布関数で信頼性を解析すればOK

例えば、2次関数とかでも使ってもいいと思います。

信頼性工学≠指数分布　をインプットしてください。

では、個々の分布関数を見ていきます。

➁確率密度関数が正規分布の場合

モデル式から確率密度関数の導出

よく使われるので、解説します。

正規分布型になる場合のモデル式を考えます。個々の信頼性解析はそれぞれにふさわしいモデル式を作りましょう。

モデル図を見ましょう。

信頼性工学

正規分布型の場合は、故障数の増え方からモデル化するのではなく、サンプル全体の故障確率を正規分布で考えてモデル式を立てます。ここが指数分布をモデル化する場合と大きく違う点です。

ストレスストリングスモデル

上図は「ストレスストリングスモデル」といいます。

機械部品などの量産品を想定し、
正規分布に従うと仮定した上で、
正常に動作する範囲(R)の中で、異常動作する範囲(S)に入る
確率を、故障確率とする考え方。

微分方程式を作らず、正規分布前提で考えていきます。

確率密度関数\(f(x)\)は密度関数\(F(x)\)の微分ですね。

信頼度\(R(x)\)と不信頼度\(F(x)\)の関係

これ混同しがちなので、きちっと整理しましょう。

信頼度はReliabilityと英語で書くので、信頼度\(R(x)\)と書きます。
不信頼度は失敗のFailureを英語で使って、不信頼度(故障度) \(F(x)\)と書きます。

そして大事な関係式があります。簡単です！

\(R(x)\)+ \(F(x)\)=1
\(\displaystyle \frac{dR(x)}{dx} \)=-\(\displaystyle \frac{dF(x)}{dx} \)
(\(\)R(x)=1-\(F(x)\)の式を両辺\(x\)で微分)

また、

\(f(x)=\displaystyle \frac{dF(x)}{dx} \)=-\(\displaystyle \frac{dR(x)}{dx} \)

も成り立ちます。よく使いますが、頭が混乱しやすいので整理して理解しましょう。

モデル式から確率密度関数の導出

負荷と強度の正規分布の加法したものが確率密度関数になります。

●負荷側：　N(\(μ_S, σ_S^2\))の正規分布
●強度側：　N(\(μ_R, σ_R^2\))の正規分布
を加法すると、
　N(\(μ_R―μ_S, σ_R^2 + σ_S^2\))の正規分布が確率密度関数になる。

よって、

\(f(z)\)=\( \frac{1}{\sqrt{2π(σ_R^2 +σ_S^2)}} exp{-\frac{(z-(μ_R-μ_S))^2}{2(σ_R^2 + σ_S^2)}}\)

大事なのは、導出過程であるモデル式の立て方です。ここで、確率密度関数の型が決まります。関数の暗記ではなく、導出過程を理解しましょう。

➂故障率λの計算

故障率とは、\(f(x)\)と\(R(x)\)との比で計算します。今回\(f(x))\)が正規分布なので、\(R(x)\)を可視化して確認しましょう。

信頼性工学

よって、λは

λ=\(\frac{f(x)}{\displaystyle \int_{x}^{∞} f(t) dt}\)

分母の\(\displaystyle \int_{x}^{∞} f(t) dt \)は積分できないので、正規分布表から値を読み取ります。

➃確率密度関数の平均と分散の計算

期待値E[\(x\)]の計算

期待値E[\(x\)]は
\(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} x f(x) dx\)
です。正規分布の期待値と分散は有名なので計算は割愛します。

結果は、
期待値E[\(x\)]=\(μ_R ― μ_S\)

分散の計算

分散V[\(x\)]は
=\(σ_R^2 + σ_S^2\)

です。

以上、まとめると、

●期待値E[\(x\)]=\(μ_R ― μ_S\)
●分散V[\(x\)]=\(σ_R^2 + σ_S^2\)

信頼性工学というよりは、正規分布の話なので、計算過程は教科書にも書いています。

➄故障率曲線との関係

バスタブ曲線との関係を考えましょう。

信頼性工学

ここで、バスタブ曲線のタイプを3つに分けると

  1. 減少型 ⇒　初期故障期(DFR)
  2. 一定型 ⇒　偶発故障期(CFR)
  3. 増加型 ⇒　摩耗故障期(IFR)

と分けることができます。

正規分布型だと、バスタブ曲線に合う型がないですね。
暗記せず、式を理解して故障の時間的関係を学んでいきましょう。

まとめ

「【信頼性工学】確率密度関数がわかる(正規分布)」を解説しました。

  • ①確率密度関数を導出するモデルを理解する
  • ➁確率密度関数が正規分布の場合
  • ➂故障率λの計算
  • ➃確率密度関数の平均と分散の計算
  • ➄故障率曲線との関係


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