品質工学、動特性、誤差因子１つの変動の分解がわかる
「品質工学の動特性がよくわからない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①データの構造式
- ➁２乗和の分解
- ➂実データ
- ➃回帰直線と\(\hat{y}\)の計算
- ➄データ構造式の各項の計算
- ⑥２乗和の分解を確認
●２乗和
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}y_{ij}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}\hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} (y_{ij}-\hat{y_{ij}})^2\)
が成立することを、実データを計算して確かめます！
①データの構造式
関連記事で基礎を確認
品質工学、動特性、誤差因子１つ（繰返し無し）について、まとめた記事を先にご確認ください。本記事は、この関連記事の中の２乗和の分解について、具体的なデータを使って計算します！
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品質工学、動特性、誤差因子１つの場合がわかる 品質工学、動特性、誤差因子１つの場合を使いこなせますか？ 本記事では、 動特性で誤差因子が１つの場合において、データの構造式、変動の分解、公式を丁寧に導出しています。教科書では端折りがちな大事な導出部分をしっかり理解しましょう。 |
データの構造式
品質工学、動特性、誤差因子１つ（繰返し無し）のデータの構造式は次の式でしたね！ 繰り返しのある単回帰分析のデータの構造式と同じと考えてOKでしたね。
➁２乗和の分解
2乗和の分解
実際、
●２乗和
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}y_{ij}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}\hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} (y_{ij}-\hat{y_{ij}})^2\)
が成立しますが、実データを計算して確かめます！
で、
2乗和の分解のポイント
実際に、数式を機械的に２乗して展開すると、
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} y_{ij}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}(\hat{y_j}\)
+\((\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})+(y_{ij}-\hat{y_{ij}}))^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}(\hat{y_j}^2\)+\((\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)+\((y_{ij}-\hat{y_{ij}})^2\)
+2\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \hat{y_j}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)
+2\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \hat{y_j}(y_{ij}-\hat{y_{ij}})\)
+2\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(y_{ij}-\hat{y_{ij}})\))
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \hat{y_j}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \hat{y_j}(y_{ij}-\hat{y_{ij}})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(y_{ij}-\hat{y_{ij}})\)=0
と3項とも０になるところを実際に計算しながら見ていきましょう！
➂実データ
実際に、下表のデータを使って、
●２乗和
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}y_{ij}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}\hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} (y_{ij}-\hat{y_{ij}})^2\)
を確認しましょう。
| No | x | y1 | y2 |
| 1 | 1 | 2 | 5 |
| 2 | 2 | 3 | 7 |
| 3 | 3 | 6 | 11 |
| 4 | 4 | 4 | 23 |
| 5 | 5 | 10 | 19 |
| 合計 | 15 | 25 | 65 |
| 平均 | 3 | 5 | 13 |
データの構造式から求めたい値
データの構造式は、
\(y_{ij}\)=\(\hat{y_j}\)+\((\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})+(y_{ij}-\hat{y_{ij}})\)
ですから、
●\(y_{ij}\)は、実データから
●\(\hat{y_j}\)は、回帰直線\(\hat{y_j}\)=\(βx_j＋α\)から
●\(\hat{y_{ij}}\)は、回帰直線\(\hat{y_{ij}}\)=\(β_i x_j＋α_i\)から
求めることができます。
よって、
●回帰直線\(\hat{y_j}\)=\(βx_j＋α\)
●回帰直線\(\hat{y_{ij}}\)=\(β_i x_j＋α_i\)
を計算から求めましょう。
【重要】動特性の直線式の注意点
(\(\hat{y_j}\)=\(βx_j\)と
原点を通る直線で考えますが、
基本は、原点通らず、y切片が必要です。
ちゃんと２乗和の分解を計算して確認していない教科書が多すぎる
ＱＣプラネッツでは、動特性の直線式は、
y=ax+b型
と表記します。
➃回帰直線と\(\hat{y}\)の計算
回帰分析から計算しよう！
回帰直線の求め方は、関連記事で解説していますので、確認しましょう。
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回帰分析と相関係数をマスターする 回帰分析と相関係数。学びやすく、試験で点数化したい領域ですが、重要なポイントと回帰分析の導出を解説しました。本記事を一通りマスターしておけば試験では確実に点数とれます。 |
回帰分析から計算
データを再掲します。
| No | \(x\) | \(y1\) | \(y2\) | \(x-\bar{x}\) | \(y1-\bar{y1}\) | \(y2-\bar{y2}\) | \(y-\bar{y}\) | |
| 1 | 1 | 2 | 5 | -2 | -3 | -8 | -7 | -4 |
| 2 | 2 | 3 | 7 | -1 | -2 | -6 | -6 | -2 |
| 3 | 3 | 6 | 11 | 0 | 1 | -2 | -3 | 2 |
| 4 | 4 | 4 | 23 | 1 | -1 | 10 | -5 | 14 |
| 5 | 5 | 10 | 19 | 2 | 5 | 6 | 1 | 10 |
| 合計 | 15 | 25 | 65 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 平均 | 3 | 5 | 13 | – | ||||
上表から、平方和\(S_{xx}\)と偏差積和\(S_{xy1}\),\(S_{xy2}\),\(S_{xy}\)が計算できます。
ここで、\(S_{xy1}\),\(S_{xy2}\)は文字\(j\)についての5個の和で、
\(S_{xy}\)は文字\(i,j\)についての2×5=10個の和である点に注意しましょう。
●平方和\(S_{xx}\)=\(\sum_{j=1}^{5}(x_j-\bar{x})\)
=\((-2)^2\)+\((-1)^2\)+…+\(2^2\)=10
●偏差積和\(S_{xy1}\)=\(\sum_{j=1}^{5}(x_j-\bar{x})(y_{1j}-\bar{y_1})\)
=(-2)×(-3)+(-1)×(-2)+…+2×5=17
●偏差積和\(S_{xy2}\)=\(\sum_{j=1}^{5}(x_j-\bar{x})(y_{2j}-\bar{y_2})\)
=(-2)×(-8)+(-1)×(-6)+…+2×6=44
●偏差積和\(S_{xy}\)=\(\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{5}(x_j-\bar{x})(y_{ij}-\bar{y_i})\)
=(-2)×(-7)+(-1)×(-6)+…+2×10=61
回帰直線の導出
平方和と偏差積和が計算できたので、回帰直線が導出できます。
●\(\hat{y_1}\)の回帰直線
・傾き\(β_1\)=\(\frac{ S_{xy1}}{ S_{xx}}\)=1.7
・y切片\(α_1\)=\(\bar{y_1}\)-\(β_1\)\(\bar{x}\)=5-1.7×3=-0.1
よって、\(\hat{y_1}\)=-0.1+1.7\(x_j\)
●\(\hat{y_2}\)の回帰直線
・傾き\(β_2\)=\(\frac{ S_{xy2}}{ S_{xx}}\)=4.4
・y切片\(α_2\)=\(\bar{y_2}\)-\(β_2\)\(\bar{x}\)=13-4.4×3=-0.2
よって、\(\hat{y_2}\)=-0.2+4.4\(x_j\)
●\(\hat{y}\)の回帰直線
・傾き\(β\)=\(\frac{ S_{xy}}{ S_{xx}×2}\)=3.05
・y切片\(α\)=\(\bar{y}\)-\(β\)\(\bar{x}\)=9-3.05×3=-0.15
よって、\(\hat{y}\)=-0.15+3.05\(x_j\)
計算してわかる面白い結果は、
(17+44=61)
と偏差積和はy=y1+y2と分解できる！
●\(\frac{1}{2}\)\(β_1\)+\(β_2\)=\(β\)
(0.5×(1.7+4.4)=3.05))
全体の傾きは2本の傾きの平均とわかる！
➄データ構造式の各項の計算
回帰直線から\(\hat{y_i}\),\(\hat{y}\)を計算
計算結果を下表にまとめます。
| No | \(x\) | \(y1\) | \(y2\) | \(\hat{y_1}\) | \(\hat{y_2}\) | \(\hat{y}\) |
| 1 | 1 | 2 | 5 | 1.6 | 4.2 | 2.9 |
| 2 | 2 | 3 | 7 | 3.3 | 8.6 | 5.95 |
| 3 | 3 | 6 | 11 | 5 | 13 | 9 |
| 4 | 4 | 4 | 23 | 6.7 | 17.4 | 12.05 |
| 5 | 5 | 10 | 19 | 8.4 | 21.8 | 15.1 |
| 合計 | 15 | 25 | 65 | 25 | 65 | 45 |
| 平均 | 3 | 5 | 13 | – | – | – |
●\(\hat{y_1}\)の合計は25で、\(y_1\)の合計と同じで、
●\(\hat{y_2}\)の合計は65で、\(y_2\)の合計と同じで、
●\(\hat{y}\)の合計は45で、\(y\)の合計の半分ですが、これは、2本の回帰直線を１本にまとめたからですね。
各項を計算
データの構造式を再再掲すると、
\(y_{ij}\)=\(\hat{y_j}\)+\((\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})+(y_{ij}-\hat{y_{ij}})\)
から、
●\(\hat{y_j}\)
●\((\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)
●\((y_{ij}-\hat{y_{ij}})\)
の値を求めましょう。
結果は下表になります。
| No | \(x_j\) | ①＋➁＋➃ | ①＋➂＋⑤ | ① | ➁ | ➂ | ➃ | ➄ |
| \(y_1\) | \(y_2\) | \(\hat{y_j}\) | \((\hat{y_{1j}}-\hat{y_j})\) | \((\hat{y_{2j}}-\hat{y_j})\) | \((y_{1j}-\hat{y_{1j}})\) | \((y_{1j}-\hat{y_{2j}})\) | ||
| 1 | 1 | 2 | 5 | 2.9 | -1.3 | 1.3 | 0.4 | 0.8 |
| 2 | 2 | 3 | 7 | 5.95 | -2.65 | 2.65 | -0.3 | -1.6 |
| 3 | 3 | 6 | 11 | 9 | -4 | 4 | 1 | -2 |
| 4 | 4 | 4 | 23 | 12.05 | -5.35 | 5.35 | -2.7 | 5.6 |
| 5 | 5 | 10 | 19 | 15.1 | -6.7 | 6.7 | 1.6 | -2.8 |
| 合計 | 15 | 25 | 65 | 45 | -20 | 20 | 0 | 0 |
| 平均 | 3 | 5 | 13 | – | – | – | – | – |
⑥２乗和の分解を確認
各値を２乗
上の表の値をそれぞれ２乗しましょう。
| No | \(x_j\) | ①＋➁＋➃ | ①＋➂＋⑤ | ① | ➁ | ➂ | ➃ | ➄ |
| \(y1\) | \(y2\) | \(\hat{y_j}\) | \((\hat{y_{1j}}-\hat{y_j})\) | \((\hat{y_{2j}}-\hat{y_j})\) | \((y_{1j}-\hat{y_{1j}})\) | \((y_{1j}-\hat{y_{2j}})\) | ||
| 1 | 1 | 4 | 25 | 8.41 | 1.69 | 1.69 | 0.16 | 0.64 |
| 2 | 2 | 9 | 49 | 35.4 | 7.02 | 7.02 | 0.09 | 2.56 |
| 3 | 3 | 36 | 121 | 81 | 16 | 16 | 1 | 4 |
| 4 | 4 | 16 | 529 | 145.2 | 28.62 | 28.62 | 7.29 | 31.36 |
| 5 | 5 | 100 | 361 | 228.01 | 44.89 | 44.89 | 2.56 | 7.84 |
| 合計 | 15 | 165 | 1085 | 498.03 | 98.23 | 98.22 | 11.1 | 46.4 |
| – | 計 | 1250 | 996.05 | 196.45 | 57.5 | |||
| – | – | ↑\(S\) | ↑\(S_β\) | ↑\(S_{N×β}\) | ↑\(S_e\) | |||
変動見ると、
\(S\)=\(S_β\)+\(S_{N×β}\)+\(S_e\)
1250=996.05+196.45+57.5
が成立することがわかります。
中間積和が0になることも確認
下の式の値が０になることを確認しましょう。
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \hat{y_j}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \hat{y_j}(y_{ij}-\hat{y_{ij}})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(y_{ij}-\hat{y_{ij}})\)=0
と3項とも０になるところを実際に計算しながら見ていきましょう！
| No | \(x_j\) | ① | ➁ | ➂ | ➃ | ➄ | ⑥ |
| \(\hat{y_j}\) | \(\hat{y_j}\) | \((\hat{y_{1j}}-\hat{y_j})\) | \((\hat{y_{2j}}-\hat{y_j})\) | \((y_{1j}-\hat{y_{1j}})\) | \((y_{1j}-\hat{y_{2j}})\) | ||
| 1 | 1 | 2.9 | 2.9 | -1.3 | 1.3 | 0.4 | 0.8 |
| 2 | 2 | 5.95 | 5.95 | -2.65 | 2.65 | -0.3 | -1.6 |
| 3 | 3 | 9 | 9 | -4 | 4 | 1 | -2 |
| 4 | 4 | 12.05 | 12.05 | -5.35 | 5.35 | -2.7 | 5.6 |
| 5 | 5 | 15.1 | 15.1 | -6.7 | 6.7 | 1.6 | -2.8 |
| 合計 | 15 | 45 | 45 | 98.23 | 98.22 | 11.1 | 46.4 |
| No | \(x_j\) | ①×➂ | ➁×➃ | ①×➄ | ➁×⑥ | ➂×➄ | ➃×⑥ |
| 1 | 1 | -3.77 | 3.77 | 1.16 | 2.32 | -0.52 | 1.04 |
| 2 | 2 | -15.77 | 15.77 | -1.79 | -9.52 | 0.8 | -4.24 |
| 3 | 3 | -36 | 36 | 9 | -18 | -4 | -8 |
| 4 | 4 | -64.47 | 64.47 | -32.54 | 67.48 | 14.45 | 29.96 |
| 5 | 5 | -101.17 | 101.17 | 24.16 | -42.28 | -10.72 | -18.76 |
| 合計 | 15 | 0 | 0 | 0 | |||
確かに、中間積和の3つの項がすべて0になるのが確認できましたね。
実データを使って確認することも大事な勉強ですね。
●２乗和
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}y_{ij}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}\hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} (y_{ij}-\hat{y_{ij}})^2\)
が成立することを、実データを計算して確かめました！
まとめ
「品質工学、動特性、誤差因子１つの変動の分解がわかる」を解説しました。
- ①データの構造式
- ➁２乗和の分解
- ➂実データ
- ➃回帰直線と\(\hat{y}\)の計算
- ➄データ構造式の各項の計算
- ⑥２乗和の分解を確認
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119