品質工学、動特性、誤差因子１つで繰返し有りの場合がわかる
「品質工学の動特性がよくわからない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①誤差因子１つで繰返し無しから始める
- ➁データの構造式
- ➂２乗和の分解(数式)
- ➃２乗和の分解(事例)
- ➄よく使う公式の導出
- ⑥SN比
ロバストパラメータ設計
タグチメソッド
手法に溺れるな！
数式と理論で理解しよう！
品質工学、ロバストパラメータ設計、タグチメソッド
結局わからない！
⇒ＱＣプラネッツが解決！
品質工学の動特性＝回帰分析
なのに、わざわざ違うものとして扱っている
品質工学の独自性を出したいんでしょうけど、むしろ品質工学を理解しにくくしている！
品質工学の動特性は回帰分析と同じですよ！ 回帰分析の公式をそのまま使えばいいんですよ。
①誤差因子１つで繰返し無しから始める
品質工学も基本、データの構造式から始める
いろいろなモデルケースを品質工学で扱いますが、実験計画法や回帰分析と同様に
- データの構造式を立てる
- 2乗和の分解を確認
- 分散分析からF検定
必ずデータの構造式を立てて、
２乗和の分解（中間積和がすべて0）を確認して
変動成分を分散分析する
の流れで行きますし、
QCプラネッツの記事は全部、この１つの流れで解いています！
誤差因子１つで繰返し無しから始める
まずは関連記事で基礎を確認してください。
繰返し無しの場合を理解した上で、繰返し有りの場合である本記事を解説します。
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品質工学、動特性、誤差因子１つの場合がわかる 品質工学、動特性、誤差因子１つの場合を使いこなせますか？ 本記事では、 動特性で誤差因子が１つの場合において、データの構造式、変動の分解、公式を丁寧に導出しています。教科書では端折りがちな大事な導出部分をしっかり理解しましょう。 |
品質工学、動特性、誤差因子１つで繰返しがある場合
誤差因子が１つある動特性のデータで繰り返し無しと有りの場合とは、誤差因子N（水準\(i\)=1,…n）に対してそれぞれ動特性データ(\(x,y\))があるイメージです。下表と下図にイメージを載せます。
| 繰返し | \(N_i\)/\(x_j\) | \(x_1\) | \(x_2\) | … | \(x_k\) |
| 無 | \(N_1\) | \(y_{11}\) | \(y_{12}\) | … | \(y_{1k}\) |
| \(N_2\) | \(y_{21}\) | \(y_{22}\) | … | \(y_{2k}\) | |
| 有 | \(N_1\) | \(y_{111}\) | \(y_{121}\) | … | \(y_{1k1}\) |
| … | … | … | … | ||
| \(y_{11l}\) | \(y_{12l}\) | … | \(y_{1kl}\) | ||
| \(N_2\) | \(y_{211}\) | \(y_{221}\) | … | \(y_{2k1}\) | |
| … | … | … | … | ||
| \(y_{21l}\) | \(y_{22l}\) | … | \(y_{2kl}\) |
➁データの構造式
動特性で繰り返しの無い場合
でしたね。これは関連記事にもすでに解説しています。
動特性で繰り返しの有り場合
では、繰り返し有りの場合のデータの構造式を書いてみます。繰り返し無しの場合からの変化を図で見てみましょう。
動特性で繰り返しの有り場合のデータの構造式は
となり、回帰部分は繰返し有無に関係ないことがわかります。ちょこっと変化した感じですね。
➂２乗和の分解(数式)
2乗和の分解を解説
誤差因子１つの動特性のデータの構造式は
\(y_{ijl}\)=\(\hat{y_j}\)+\((\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})+(y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\)
ですから、
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} y_{ijl}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (y_{ijl}-\hat{y_{ij}})^2\)
となりますが、実際に証明してみましょう。
なんでもそうですが、
- モデル式(データの構造式)を立てる
- 2乗和の分解、直交性を実際解いて確かめる
- 分散分析に持ち込む
がQCの基本です。
2乗和の分解を証明
実際に導出してみましょう。機械的に２乗して展開します。
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} y_{ijl}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q}(\hat{y_j}\)+\((\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})+(y_{ijl}-\hat{y_{ij}}))^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_j}^2\)+\((\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)+\((y_{ijl}-\hat{y_{ij}})^2\)
+2\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)
+2\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\)
+2\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\))
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ijl}}-\hat{y_j})(y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\)=0
と3項とも０になることを証明します。
ここで、回帰から２つの制約条件を使います。
- \(β\)=\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} β_i\)
- 回帰直線は必ず平均を通るので、
回帰直線上のｙ座標の値の合計は
測定データy座標の合計と等しい。
全回帰の傾き\(β\)は各回帰\(β_i\)の平均
全回帰の傾き\(β\)と各回帰の傾き\(β_i\)はもともと、
\(\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\)
の式で表現できます。
●全回帰の傾き\(β\)
\(β\)=\(\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\)
=\(\frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (x_j-\bar{x})(y_{ijl}-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (x_j-\bar{x})^2}\)
=\(\frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} (x_j-\bar{x})q((y_{1j}-\bar{y})+…+(y_{nj}-\bar{y}))}{nq \sum_{j=1}^{k}(x_j-\bar{x})^2}\)
=\(\frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} (x_j-\bar{x})((y_{1j}-\bar{y_1})+…+(y_{nj}-\bar{y_n}))}{n \sum_{j=1}^{k}(x_j-\bar{x})^2}\)
=\(\frac{S_{xy1}+…+S_{xyn}}{nS_{xx0}}\)
=\(\frac{1}{n}(β_1+…＋β_n)\)
となり、平均になりますね。
分母分子ともに、変数\(l\)に独立なので、分母分子qで割ればＯＫです。
●各回帰の傾き\(β_i\)
\(β_i\)=\(\frac{S_{xyi}}{S_{xxi}}\)
=\(\frac{\sum_{j=1}^{k}(x_j-\bar{x})(y_{ij}-\bar{y_i})}{\sum_{j=1}^{k}(x_j-\bar{x})^2}\)
=\(\frac{S_{xyi}}{S_{xx0}}\)
回帰分析の良い演習にもなりますね。結構ハードな式導出です。
回帰直線は必ず平均を通る条件を使う
回帰直線は、必ず平均を通ります。
つまり、平均×個数＝総和ですから、
●回帰直線上の全点数の\(\hat{y_i}\)座標の合計は
計測データ\(y_i\)の合計と同じになります。
この条件を使うと、
●全回帰において、 \(\hat{y_j}\)=\(βx_j\) は平均(\(\bar{y},\bar{x}\))を通るので、
データ個数倍すると、 (平均)×(個数)=(総和)より
\(\sum_{j=1}^{k}\hat{y_j}\)=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} y_{ijl}\)が成り立つし、
●各\(i\)回帰において、 \(\hat{y_{ij}}\)=\(β_i x_j\) は平均(\(\bar{y_i},\bar{x}\))を通るので、
データ個数倍すると、 (平均)×(個数)=(総和)より
\(\sum_{j=1}^{k}\hat{y_{ij}}\)=\(\sum_{j=1}^{k} y_{ijl}\)が成り立つ
この性質を使って、さっきのマーカ部の和が０になる事を証明します。
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)=0の証明
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)
=\(q\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \hat{y_j}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)
ここで、\(β\)=\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} β_i\)を使います。
=\(q\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \hat{y_j}(β_i x_j-β x_j)\)
=\(q\sum_{j=1}^{k} \hat{y_j}((β_1+…+β_n) x_j-nβ x_j)\)
=\(q\sum_{j=1}^{k} \hat{y_j}(0)\)
=0
となります。
残り２つの式は、回帰直線は平均値を通る性質を使って証明します。
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\)=0の証明
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\)
=\( \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}\sum_{i=1}^{n} (y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\)
=\(q \sum_{j=1}^{k} \hat{y_j} 0\)
=0
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\)=0の証明
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\)
=\(\sum_{i=1}^{n} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\)
=0×0
=0
以上まとめると、
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\)=0
●\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(y_{ijl}-\hat{y_{ij}})\)=0
より、
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} y_{ijl}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (y_{ijl}-\hat{y_{ij}})^2\)
となります。
結構大変な計算ですが、端折らず一回は計算しましょう。ここを端折ると品質工学の動特性の式の意味を理解できません。
➃２乗和の分解(事例)
上の２乗和を証明しましたが、関連記事にて、実データを使って、２乗和の分解ができることを確認しています。ここやれば大丈夫！ 是非確認ください。
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品質工学、動特性、誤差因子１つで繰返しありの分解がわかる 品質工学、動特性、誤差因子１つの場合を使いこなせますか？ 本記事では、 動特性で誤差因子が１つで繰返しがあるの場合において、データの構造式、変動の分解、公式を丁寧に導出し、実データを使って実際に公式が成り立つことを確認できます。教科書では端折りがちな大事な導出部分をしっかり理解しましょう。 |
➄よく使う公式の導出
有効除数、線形式、傾きの導出
すでに回帰分析手法から導出していますが、動特性でよく使う公式を上げておきます。全部回帰分析から導出できるので、一緒に理解しておくと、混乱しないし、効率よく覚えられますよね。
- 有効除数\(r_i\)=\(r\)(共通)=\(S_{xx0}\)=\(\sum_{j=1}^{k}x_j^2\)
- 線形式\(L_{il}\)=\(S_{xyil}\)=\(\sum_{j=1}^{k} x_j y_{ijl}\)
- 傾き\(β_i\)=\(\frac{S_{xyi}}{S_{xx0}}\)=\(\frac{L_i}{r}\)
- 傾き\(β\)=\(\frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} x_j y_{ijl}}{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} x_j^2}\)
- 傾き\(β_{il}\)=\(\frac{L_{il}}{r}\)
- 傾き\(β\)=\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}β_i\)
変動
先の２乗和の分解式を再掲すると、
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} y_{ijl}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (y_{ijl}-\hat{y_{ij}})^2\)
となります。
この式の各項を
\(S\)=\(S_β\)+\(S_{N×β}\)+\(S_e\)
と変動を分解することができます。
また自由度を入れて分散分析表を入れると下表になります。実験計画法と自由度が若干異なる点に注意しましょう。
| 変動 | 自由度 | |
| 比例項 | \(S_β\) | 1 |
| 誤差因子N | \(S_{N×β}\) | \(n-1\) |
| 誤差変動 | \(S_e\) | \(nkq-n\) |
| 総変動 | \(S\) | \(nkq\) |
繰返し無しの場合と比べると、誤差変動、総変動に自由度qがかけ合わさったところに違いが出ています。
⑥SN比
SN比は定義式通り当てはめるよりは、
●有効成分
●有害成分
がそれぞれどの変動に該当するかを吟味して比をとればOKです。
例えば
●SN比 η=\(\frac{S_β}{S_e}\)
とか、logをつけるとかいろいろ使いやすい値にカスタマイズしてください。
まとめ
「品質工学、動特性、誤差因子１つで繰返し有りの場合がわかる」を解説しました。
- ①誤差因子１つで繰返し無しから始める
- ➁データの構造式
- ➂２乗和の分解(数式)
- ➃２乗和の分解(事例)
- ➄よく使う公式の導出
- ⑥SN比
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119