2023/05/07 (更新日: 2023/12/13)

品質工学、動特性、誤差因子2つの分解がわかる

ロバストパラメータ設計

「品質工学の動特性がよくわからない」などと困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

おさえておきたいポイント

• ①データの構造式
• ➁２乗和の分解
• ➂実データ
• ➃回帰直線と\(\hat{y}\)の計算
• ➄データ構造式の各項の計算
• ⑥２乗和の分解を確認

①データの構造式

関連記事で基礎を確認

品質工学、動特性、誤差因子２つについて、まとめた記事を先にご確認ください。本記事は、この関連記事の中の２乗和の分解について、具体的なデータを使って計算します！

品質工学、動特性、誤差因子2つの場合がわかる 品質工学、動特性、誤差因子１つの場合を使いこなせますか？ 本記事では、 動特性で誤差因子が2つで繰返しデータが無い場合において、データの構造式、変動の分解、公式を丁寧に導出しています。教科書では端折りがちな大事な導出部分をしっかり理解しましょう。

データの構造式

品質工学、動特性、誤差因子２つのデータの構造式は次の式でしたね！　

➁２乗和の分解

2乗和の分解

実際、

2乗和の分解のポイント

\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} y_{ijl}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{jl}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} ( y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{jl}}+\hat{y_j})^2\)

+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(\hat{y_{jl}}-\hat{y_j})\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}(y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{jl}}+\hat{y_j})\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(\hat{y_{jl}}-\hat{y_j})\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})(y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{jl}}+\hat{y_j})\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{jl}}-\hat{y_j})(y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{jl}}+\hat{y_j})\)

➂実データ

実際に、下表のデータを使って、
●２乗和
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} y_{ijl}^2\)
=\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} \hat{y_j}^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} (\hat{y_{jl}}-\hat{y_j})^2\)
+\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} \sum_{l=1}^{q} ( y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{jl}}+\hat{y_j})^2\)
を確認しましょう。

誤差因子N,Oの水準から見たデータ表に書き換える

上表のデータを下表のように書き換えます。N1,N2,O1,O2はそれぞれ10個ずつのデータを持っています。

この表を使って、回帰直線を求めていきます。

データの構造式から求めたい値

データの構造式は、
\(y_{ijl}\)=\(\hat{y_j}\)+\((\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)+\((\hat{y_{jl}}-\hat{y_j})\)+\(( y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{jl}}+\hat{y_j})\)
ですから、

●\(y_{ijl}\)は、実データから
●\(\hat{y_j}\)は、回帰直線\(\hat{y_j}\)=\(βx_j＋α\)から
●\(\hat{y_{ij}}\)は、回帰直線\(\hat{y_{ij}}\)=\(β_i x_j＋α_i\)から
●\(\hat{y_{jl}}\)は、回帰直線\(\hat{y_{jl}}\)=\(β_l x_j＋α_l\)から

求めることができます。

よって、
●回帰直線\(\hat{y_j}\)=\(βx_j＋α\)
●回帰直線\(\hat{y_{ij}}\)=\(β_i x_j＋α_i\)
●回帰直線\(\hat{y_{jl}}\)=\(β_l x_j＋α_l\)
を計算から求めましょう。

【重要】動特性の直線式の注意点

ＱＣプラネッツでは、動特性の直線式は、
y=ax+b型
と表記します。

➃回帰直線と\(\hat{y}\)の計算

回帰分析から計算しよう！

回帰直線の求め方は、関連記事で解説していますので、確認しましょう。

回帰分析と相関係数をマスターする 回帰分析と相関係数。学びやすく、試験で点数化したい領域ですが、重要なポイントと回帰分析の導出を解説しました。本記事を一通りマスターしておけば試験では確実に点数とれます。

回帰分析から計算

データを再掲します。

上表から、
●平方和：\(S_{xx}\)と
●偏差積和：\(S_{xy(i=1)}\),\(S_{xy(i=2)}\),
●偏差積和 ：\(S_{xy(l=1)}\),\(S_{xy(l=2)}\),
●偏差積和：\(S_{xy}\)が
計算できます。
\(i,j,l\)の添え字について、それぞれ加算する量に注意して計算しましょう。

●平方和\(S_{xx}\)=\(\sum_{j=1}^{5}(x_j-\bar{x})\)
=\((-2)^2\)+\((-1)^2\)+…+\(2^2\)=10
(5個のデータ分に注意！)

誤差因子Nについて
●偏差積和\(S_{xy(i=1)}\)=\(\sum_{j=1}^{5} \sum_{l=1}^{2} (x_j-\bar{x})(y_{1jl}-\bar{y_1})\)
=(-2)×(-3.5)+(-1)×(-2.5)+…+2×4.5=35
●偏差積和\(S_{xy(i=2)}\)=\(\sum_{j=1}^{5} \sum_{l=1}^{2} (x_j-\bar{x})(y_{2jl}-\bar{y_2})\)
=(-2)×(-8.5)+(-1)×(-6.5)+…+2×3.5=74
(10個のデータ分に注意！)

誤差因子Oについて
●偏差積和\(S_{xy(l=1)}\)=\(\sum_{j=1}^{5} \sum_{i=1}^{2} (x_j-\bar{x})(y_{ij1}-\bar{y_1})\)
=(-2)×(-7.5)+(-1)×(-6.5)+…+2×10.5=61
●偏差積和\(S_{xy(l=2)}\)=\(\sum_{j=1}^{5} \sum_{i=1}^{2} (x_j-\bar{x})(y_{ij2}-\bar{y_2})\)
=(-2)×(-6.5)+(-1)×(-8.5)+…+2×7.5=48
(10個のデータ分に注意！)

全体について
●偏差積和\(S_{xy}\)=\(\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{5} \sum_{l=1}^{2} (x_j-\bar{x})(y_{ijl}-\bar{y})\)
=(-2)×(-8)+(-1)×(-7)+…+2×8=109
(20個のデータ分に注意！)

回帰直線の導出

平方和と偏差積和が計算できたので、回帰直線が導出できます。

●回帰直線\(\hat{y_{ij}}\)
☆\(i\)=1の場合
・傾き\(β_1\)=\(\frac{ S_{xy(i=1)}}{ S_{xx}×2}\)=35/20=1.75
・y切片\(α_1\)=\(\bar{y_1}\)-\(β_1\)\(\bar{x}\)=5.5-1.75×3=0.25
よって、①\(\hat{y_{11}}\)=0.25+1.75\(x_j\)
☆\(i\)=2の場合
・傾き\(β_2\)=\(\frac{ S_{xy(i=2)}}{ S_{xx}×2}\)=74/20=3.7
・y切片\(α_2\)=\(\bar{y_2}\)-\(β_2\)\(\bar{x}\)=14.5-3.7×3=3.4
よって、➁\(\hat{y_{21}}\)=3.4+13.7\(x_j\)

●回帰直線\(\hat{y_{jl}}\)
★\(l\)=1の場合
・傾き\(β_1\)=\(\frac{ S_{xy(l=1)}}{ S_{xx}×2}\)=61/20=3.05
・y切片\(α_1\)=\(\bar{y_1}\)-\(β_1\)\(\bar{x}\)=9.5-3.05×3=0.35
よって、➂\(\hat{y_{11}}\)=0.35+3.05\(x_j\)
★\(l\)=2の場合
・傾き\(β_2\)=\(\frac{ S_{xy(l=2)}}{ S_{xx}×2}\)=48/20=2.4
・y切片\(α_2\)=\(\bar{y_2}\)-\(β_2\)\(\bar{x}\)=10.5-2.4×3=3.3
よって、➃\(\hat{y_{12}}\)=3.3+2.4\(x_j\)

●回帰直線\(\hat{y_j}\)
・傾き\(β\)=\(\frac{ S_{xy}}{ S_{xx}×4}\)=109/40=2.725
・y切片\(α\)=\(\bar{y}\)-\(β\)\(\bar{x}\)=10-2.725×3=1.825
よって、⑤\(\hat{y}\)=1.825+2.725\(x_j\)

計算してわかる面白い結果は、

➄データ構造式の各項の計算

回帰直線から, \(\hat{y_{ij}}\),\(\hat{y_{jl}}\),\(\hat{y_j}\)を計算

計算結果を下表にまとめます。

各項を計算

データの構造式を再再掲すると、
\(y_{ijl}\)=\(\hat{y_j}\)+\((\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)+\((\hat{y_{jl}}-\hat{y_j})\)+\(( y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{jl}}+\hat{y_j})\)
から、

●\(\hat{y_j}\)
●\((\hat{y_{ij}}-\hat{y_j})\)
●\((\hat{y_{jl}}-\hat{y_j})\)
●\(( y_{ijl}-\hat{y_{ij}}-\hat{y_{jl}}+\hat{y_j})\)
の値を求めましょう。

結果は下表になります。

上表の①～⑨の各値を２乗して和を取りましょう。

変動見ると、
\(S\)=\(S_β\)+\(S_{N×β}\)+\(S_{O×β}\)+\(S_e\)
2866=2297.03+443.03+9.23+116.73
(小数第3位を四捨五入しているので(右辺)=2866.02ですが、実際は2866です)
が成立することがわかります。

中間積和が0になることも確認

下の式の値が０になることを確認しましょう。

確かに、中間積和の3つの項がすべて0になるのが確認できましたね。

実データを使って確認することも大事な勉強ですね。

結構大変な計算でしたね。

まとめ

「品質工学、動特性、誤差因子2つの分解がわかる」を解説しました。

• ①データの構造式
• ➁２乗和の分解
• ➂実データ
• ➃回帰直線と\(\hat{y}\)の計算
• ➄データ構造式の各項の計算
• ⑥２乗和の分解を確認

ロバストパラメータ設計

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