2021/10/31 (更新日: 2023/11/30)

2回抜取方式(ポアソン分布)のOC曲線が描ける

抜取検査

「抜取検査を2回する場合のOC曲線が描けない」、「2回抜取方式の場合のロット合格率L(p)の計算がわからない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

2回抜取方式(ポアソン分布)のOC曲線を作る

①2回抜取方式のロット合格率の計算
②2回抜取方式のロット合格率の公式導出
③2回抜取方式のOC曲線
④1回抜取と2回抜取のOC曲線比較
⑤⑤2回抜取方式は検査量が減らせるメリットがある

①2回抜取方式のロット合格率の計算

具体例を計算してから、公式導出します。

例題：不良率p=1%の試料を、次の2回抜取方式を実施した場合、ロット合格率L(p)はいくらになるか？ポアソン分布で計算せよ。
1回目試料数n1=50個、合格判定ac1=1個、不合格判定re1=3個
2回目試料数n2=50個、合格判定ac2=4個、不合格判定re2=5個

合格基準を詳しくみます！

(A)1回目の抜取検査で、不良数が1個(ac1個)以内なら、1回の抜取検査で合格し終了!(B)1回目の抜取検査で、不良数が2個(ac1+1個以上、re1-1個以下)なら、2回目の検査を実施。
2回目の検査で、不良数がトータル4個以下なら検査は合格、5個以上なら不合格で終了!(C) (A)(B)以外はすべて不合格

検査合格条件を表にまとめます。

1回目	2回目
0個	検査不要
1個	検査不要
2個	0個
	1個
	2個

まとめると、
●1回目の不良数が1個以下なら、検査は1回で合格と
●1回目の不良数が2個の場合、2回目の不良数が0～2個なら検査は合格
となります。

ここから

ロット合格率L(p)を計算します。

「1回目の不良数が1個以下なら、検査は1回で合格と
1回目の不良数が2個の場合、2回目の不良数が0～2個なら検査は合格
となります。」

を式で書けばOKです。

ポアソン分布の式を代入が難しいので、丁寧に解説します。

L(p=0.02)= \(\sum_{r=0}^{1} exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)
+ \(\sum_{r=2}^{2}\){\( exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)

× \(\sum_{s=0}^{2} exp(-λ_2)\frac{λ_2^r}{r!}\)}
=0.98514

ここで、
λ₁=n₁×p=50×0.01=0.5
λ₂=n₂×p=50×0.01=0.5

数式が難しいですが、１つずつ見ましょう。

\(\sum_{r=0}^{1} exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)は,1回目の不良数が1個以下なら、検査は1回で合格の場合です。

\(\sum_{r=2}^{2}\)\( exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)は、1回目の不良数が2個の場合で、
\(\sum_{s=0}^{2} exp(-λ_2)\frac{λ_2^r}{r!}\)は、2回目の不良数が0～2個の場合です。
1回目と2回目と連続で検査するので確率の積となります。

②2回抜取方式のロット合格率の公式導出

上の例題にある数字を文字に変えます。

例題：不良率pの試料を、次の2回抜取方式を実施した場合、ロット合格率L(p)はいくらになるか？
1回目試料数n1個、合格判定ac1個、不合格判定re1個
2回目試料数n2個、合格判定ac2個、不合格判定re2個

上の例題を解く数式は、

L(p=0.02)= \(\sum_{r=0}^{1} exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)
+ \(\sum_{r=2}^{2}\){\( exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)

× \(\sum_{s=0}^{2} exp(-λ_2)\frac{λ_2^r}{r!}\)}

数字を文字に変えます。

L(p)= \(\sum_{r=0}^{ ac1} exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)
+ \(\sum_{r=ac1+1}^{re1-1}\){\( exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)

× \(\sum_{s=0}^{ac2-r} exp(-λ_2)\frac{λ_2^r}{r!}\)}

この式の難しいところは、
①\(\sum_{r=ac1+1}^{re1-1}\)と②\(\sum_{s=0}^{ac2-r}\)ですね。

①2回目の検査が必要な場合は、1回目で出る不良数がac1+1個以上、re1-1個ですね。
②すでに1回目でr個(ac1+1≦r≦re1-1)不良を出しているので、
2回目で出してもいい不良数は ac2-r個になります。

③2回抜取方式のOC曲線

2回抜取方式のOC曲線の式は、

L(p)= \(\sum_{r=0}^{ ac1} exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)
+ \(\sum_{r=ac1+1}^{re1-1}\){\( exp(-λ_1)\frac{λ_1^r}{r!}\)

× \(\sum_{s=0}^{ac2-r} exp(-λ_2)\frac{λ_2^r}{r!}\)}

1回目試料数n1=50個、合格判定ac1=1個、不合格判定re1=3個
2回目試料数n2=50個、合格判定ac2=4個、不合格判定re2=5個
を代入してOC曲線を描くと下図のようになります。

2回抜取方式

1回抜取方式のOC曲線と似た曲線になります。

④1回抜取と2回抜取のOC曲線比較

(A) 50個を2回抜取検査する場合
1回目試料数n1=50個、合格判定ac1=1個、不合格判定re1=3個
2回目試料数n2=50個、合格判定ac2=4個、不合格判定re2=5個
(B)100個を1回抜取検査する場合
試料数n=100,合格判定c=4個
(合格判定不良個数は同じとする)
のOC曲線を比較しましょう。

OC曲線は関連記事のプログラムで自動作成できます。