2021/11/13 (更新日: 2023/11/30)

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限合格判定値が既知の抜取方式

抜取検査

「計量抜取検査(標準偏差未知) (JISZ9004)がよくわからない」、「合格判定値と規格値の違いで求め方がどう変わるのかがわからない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限合格判定値が既知の抜取方式

①下限合格判定値についての関係式を導出
②サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が既知の場合)
③サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が未知でJISZ9004の場合)
④サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が未知で自己流の場合)

①下限合格判定値についての関係式を導出

関係式を導出するためのモデル図を作成

次のような計量抜取検査を考えます。

あるロットが正規分布に従っている。下限合格判定値\(\bar{X_L}\)でロットの合否を判断する。
● 下限合格判定値\(\bar{X_L}\)以上のロットは合格
● 下限合格判定値\(\bar{X_L}\)以以下のロットは合格
とする。前者はできるだけ合格させたいが、後者はできるだけ不合格にさせたいような抜取検査を考えたい。

モデル図を下図のように作ります。
このモデル図がしっかり作りこむことが意外と重要です。よく眺めてください。

計量抜取検査

できるだけ合格させたいp₀はα=0.05(生産者危険)
できるだけ不合格にさせたいp₁はβ=0.1(消費者危険)
の確率になるような抜取方式を検討します。

②下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の関係式を作ります。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_L}\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

\(σ_{\bar{x}}\)が次の条件によって、それぞれ表記が異なる。
(i)標準偏差が既知の場合
(ii)標準偏差が未知で、JISZ9004の導出方法の場合
(iii)標準偏差が未知で、QCプラネッツ独自の導出の場合

本記事では、標準偏差が既知と未知の場合を比較します。
標準偏差が既知で下限合格判定値が既知の抜取方式ついては、関連記事で確認ください。

②サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が既知の場合)

(i)標準偏差が既知の場合は
\(σ_{\bar{x}}\)=\(\frac{σ}{\sqrt{n}}\)

導出過程は関連記事にありますので、確認ください。

サンプル数nの導出

n=\((\frac{K_α+K_β}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)

下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の導出

\(\bar{X_L}\)=\(\frac{ K_{β} μ_0+ K_{α} μ_1}{ K_{α}+ K_{β}}\)

③サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が未知でJISZ9004の場合)

(ii)標準偏差が未知でJISZ9004の導出方法の場合
\(σ_{\bar{x}}\)=σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)

サンプル数nの導出

下限合格判定値Lについての式を再度書きます。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_L}\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

式変形します。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

\(σ_{\bar{x}}\)を代入します。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(( K_{α}+ K_{β})\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2}{2(n-1)}}\)

ここで、強引にn-1≒nとします。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(( K_{α}+ K_{β})\)σ\( \frac{1}{\sqrt{n}}\)\(\sqrt{1+\frac{k’}{2}}\)

よって、
n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)\((1+\frac{k’^2}{2})\)

サンプル数nは標準偏差が既知の場合に対して、
\((1+\frac{k’^2}{2})\)が追加される形になる。

下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の導出

下限合格判定値Lについての式を再度書きます。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
\(\bar{X_L}\)=\(μ_0\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)

n-1≒nとして
\(\bar{X_L}\)=\(μ_0\)-\(K_{α}\)σ\( \frac{1}{\sqrt{n}}\)\(\sqrt{1+\frac{k’}{2}}\)
n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)\((1+\frac{k’^2}{2})\)を代入します。
\(\bar{X_L}\)=\(\frac{μ_0 K_{β}+ μ_1 K_{α}}{ K_{α}+ K_{β}}\)

下限合格判定値は標準偏差が既知の場合と同じ式になる。

④サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が未知で自己流の場合)

(iii)標準偏差が未知でQCプラネッツ独自の導出の場合
\(σ_{\bar{x}}\)=σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)

サンプル数nの導出

下限合格判定値Lについての式を再度書きます。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
・\(μ_1\)=\(\bar{X_L}\)-\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

式変形します。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)+\(K_{β}σ_{\bar{x}}\)

\(σ_{\bar{x}}\)を代入します。
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(( K_{α}+ K_{β})\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)
\(μ_0\)-\(μ_1\)=\(( K_{α}+ K_{β})\)σ\(\frac{1}{\sqrt{n}}\)\(\sqrt{1+k’^2 m^2}\)

よって、
n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)\((1+k’^2 m^2)\)

サンプル数nは標準偏差が既知の場合に対して、
\((1+k’^2 m^2)\)が追加される形になる。

下限合格判定値\(\bar{X_L}\)の導出

下限合格判定値Lについての式を再度書きます。
・\(μ_0\)=\(\bar{X_L}\)+\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)
\(\bar{X_L}\)=\(μ_0\)-\(K_{α}σ_{\bar{x}}\)

\(\bar{X_L}\)=\(μ_0\)-\(K_{α}\)σ\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k’^2 m^2}{n}}\)
n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)\((1+k’^2 m^2)\)を代入します。
\(\bar{X_L}\)=\(\frac{μ_0 K_{β}+ μ_1 K_{α}}{ K_{α}+ K_{β}}\)

まとめ

下限合格判定値Lは標準偏差が既知の場合と同じ
\(\bar{X_L}\)=\(\frac{μ_0 K_{β}+ μ_1 K_{α}}{ K_{α}+ K_{β}}\)
式になる。

サンプル数nは標準偏差が既知の場合に対して、
標準偏差が未知の場合は付加項がある。
(i)標準偏差既知：n=\((\frac{K_α+K_β}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)
(ii)標準偏差未知(JIS)：n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)\((1+\frac{k’^2}{2})\)
(iii)標準偏差未知(自己流):n=\((\frac{K_{α}+ K_{β}}{μ_0-μ_1})^2 σ^2\)\((1+k’^2 m^2)\)

面白いですね。

まとめ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で下限合格判定値が既知の抜取方式について、解説しました。

①下限合格判定値についての関係式を導出
②サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が既知の場合)
③サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が未知でJISZ9004の場合)
④サンプル数nと下限合格判定値Lの導出(標準偏差が未知で自己流の場合)

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