★ 本記事のテーマ
- ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
- ➁ Z=X/Y商の場合（事例1）
- ➂ Z=X/Y商の場合（事例2）
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①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
基本は次の関連記事でまとめていますので、確認ください。
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2変数の確率変数の変換がよくわかる(１変数の積の場合) 2変数の変換の基礎と、積の場合をわかりやすく解説しています！ |
では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます！
➁ Z=X/Y積の場合（事例1）
2変数の前に、1変数の変換については、関連記事でまとめていますが、主にZ=X+Y,Z=X-Yの加減についてですね。
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【まとめ】1変数の確率変数の変換がよくわかる 本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説！ |
では、解説していきます。2例解説します。
(1) 1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法
2つの確率変数\(X\),\(Y\)が独立で、それぞれ一様分布U(0,1)に従うとき、確率変数\(Z\)を\(Z=X/Y\)とするときの、確率密度関数\(h(z)\)を求めよ。
やってみましょう。
まず、\(X,Y\)の確率密度関数を定義します。
\(f(x)\)=1 (0 ≤ \(x\) ≤ 1)
\(g(y)\)=1 (0 ≤ \(y\) ≤ 1)
解き方は、
- \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
- \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
- 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。 - 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
(例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
を計算する。
ですから、１つずつ行きましょう。
(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
ここで、変換する変数を定義します。
\(Z\)=\(X/W\)、\(W\)=\(Y\)とおきます。
\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(zw\)
\(y\)=\(w\)
(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。
ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)
J=\(\begin{pmatrix}
w & z \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)
次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(w・1-0・z\)
=\(w \)
で計算できます。
ここまで大丈夫ですね！
(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出
代入すると、
\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
\(f(x(z,w)\)=1, \(g(x(z,w)\)=1に注意して、
=\( 1・1・ w dzdw\)
=\(p(z,w)dzdw\)
=(式1)
結構、スッキリしますね！
2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。
なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。
ここで、注意なのが、
(0 ≤ \(x\) ≤ 1)
(0 ≤ \(y\) ≤ 1)
変数\(w\)については、以下の3つの場合分けが発生します。
➁\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{1} w dw \)=\(\left[\frac{1}{2}w^2 \right]_{0}^{1}\)=\(\frac{1}{2}\)(0 < \(z\) ≤ 1)
➂\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{z} w dw \)=\(\left[\frac{1}{2}w^2 \right]_{0}^{z}\)=\(\frac{1}{2}z^2\)(1 < \(z\))
となります。図で解説します。ただし、\(z=x/y\)であり\(w=y\)で積分するので、\(xy\)の軸が通常と逆にしています。
もう１つ事例を挙げます。次は、指数分布どうしです。
➂ Z=X/Y商の場合（事例2）
(2) 1変数でZ=X/Y商の場合の変換方法
2つの確率変数\(X\),\(Y\)が独立で、それぞれ指数分布に従うとき、
\(f(x)=λe^{-λx} \)(0 ≤ \(x\))
\(g(y)=μe^{-μy} \)(0 ≤ \(y\))
確率変数\(Z\)を\(Z=X/Y\)とするときの、確率密度関数\(h(z)\)を求めよ。
やってみましょう。
解き方は、事例1と同じです。
- \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
- \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
- 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。 - 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
(例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
を計算する。
ですから、１つずつ行きましょう。
(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
ここで、変換する変数を定義します。
\(Z\)=\(X/W\)、\(W\)=\(Y\)とおきます。
\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(zw\)
\(y\)=\(w\)
(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。
ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)
J=\(\begin{pmatrix}
w & z \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)
次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(w・1-0・z \)
=\(w\)
で計算できます。
ここまで大丈夫ですね！
(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出
代入すると、
\(f(x,y)dxdy\)=\(λe^{-λx}・μe^{-μy}\)
=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(λμe^{-λ(zw)}・e^{-μw} w dw\)
=(式1)
よって、2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)は、
\(p(z,w)dzdw\)=\(λμe^{-λ(zw)}・e^{-μw} w \)
2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。
なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。
ここで、注意なのが、
(0 ≤ \(x\))
(0 ≤ \(y\))
変数\(w\)については、以下2つの場合分けが発生します。
●\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞} (λμe^{-λ(zw)}・e^{-μw} w dw \)
積分すると、
\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞} (λμe^{-(λz+μ)w)} w dw \)
=\(\left[-\frac{λμ}{(λz+μ)^2} e^{-(λz+μ)w} \right]_{0}^{∞}\)
=\(\frac{λμ}{(λz+μ)^2}\)
計算できました！
伝えたいことは
いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！
本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！
まとめ
「2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=X/Y商の場合)」を解説しました。
- ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
- ➁ Z=X/Y商の場合（事例1）
- ➂ Z=X/Y商の場合（事例2）