【必読】χ2乗分布の導出がよくわかる
「χ2乗分布を勉強してもイメージがつかない」、「χ2乗分布の確率密度関数の式が理解できない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①χ2乗分布は正規分布の和の2乗で理解する
- ➁χ2乗分布を作るための数学を復習
- ➂χ2乗分布の導出がよくわかる
①χ2乗分布は正規分布の和の2乗で理解する
χ2乗分布の確率密度関数を見る(わからなくていい！)
χ2乗分布の式をさらっと見てください。
χ2乗分布の最も大事なエッセンスをおさえる！
χ2乗分布の最も大事なエッセンスは、煩雑すぎる式ではなく、式の作り方です。
つまり、
●「分散」はχ2乗分布
で評価する！
χ2乗分布の複雑な式の作り方を理解する
もっかい見ましょう。
●「分散」はχ2乗分布
で評価する！
なので、簡単にいうと、
\(f_1(x)^2\)+\(f_2(x)^2\)+…+\(f_n(x)^2\)してできた関数が、
\(f_n(x)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}}x\) (\(x\) > 0)
です。信じにくいけど。
よく見ると、平均を無視して書くと
平方和S=\(x_1^2\)+\(x_2^2\)+…+\(x_n^2\)
です。まさに、平方和を表現した関数が、複雑な式であるχ2乗分布です。
➁χ2乗分布を作るための数学を復習
確率分布関数の2乗和をしますが、数学のルールがあるので、３つの手法を復習しましょう。
- 確率変数の変換\(Y=X^2\)
- 畳み込み積分
- ベータ関数とガンマ関数の関係
(i)確率変数の変換\(Y=X^2\)
関連記事に変換方法をまとめています。先に解き方を理解しておきましょう。
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(ii)畳み込み積分
１つの解法で、いろいろな確率分布関数を畳み込み積分しています。これだけ見れば、解けるようになります！
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ベータ関数とガンマ関数の関係
ベータ関数とガンマ関数についても、高校数学・大学入試に出る問題から復習しています。χ2乗分布の導出過程でいい味を引き出してくれる関係式です。関連記事で確認しましょう。
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本当に、正規分布の関数を２乗和しているだけにすぎないので。
数式にビビる必要はありません。
➂χ2乗分布の導出がよくわかる
数学的帰納法で証明する！
では、いきます。
確率変数\(Z\)=\(X_1^2+X_2^2+…+X_n^2\)で表現される確率変数\(Z\)は次の確率密度関数に従うことを、数学的帰納法を使って証明したい。
\(f_n(z)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}z^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}}z\) (\(z\) > 0)
(1) 正規分布の確率密度関数を使って、\(f_1(z)\)を計算せよ。
(2) 数学的帰納法を使って\(f_n(z)\)の式を証明せよ。
実際に、\(f_n(z)\)が自由度\(n\)のχ2乗分布に従う確率密度関数です。では証明していきます。
\(f_1(z)\)を計算
正規分布の確率密度関数を使って、
変数\(Z=X^2\)を満たす、確率変数\(Z\)の確率密度関数\(f_1(z)\)を求めます。
復習すべきポイントは以下です。
- 確率変数の変換\(Z=X^2\)
- 畳み込み積分
確率変数の変換\(Z=X^2\)
正規分布の２乗変換は次の公式を使います。詳細は関連記事にあります。
\( g(z) \) =\( \frac{1}{2\sqrt{z}}(f(+\sqrt{z})+ f(-\sqrt{z})\)
=\( \frac{1}{2\sqrt{z}}(\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}}+\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}})\)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}}z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{z}{2}}\) (\(z\) ≥ 0)
なお、
\(f_n(z)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}z^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}}z\) (\(z\) > 0)
に\(n\)=1を代入すると、
\(f_1(z)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}Γ(\frac{1}{2})}z^{\frac{1}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}}z\)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}}z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{z}{2}}\)
に一致します。
よって、\(n=1\)の時は成立します。
数学的帰納法を使って\(f_n(z)\)を証明
\(n=k\)のとき、\(f_k(z)\)が問の式になると仮定すると、
\(n=k+1\)のとき\(f_{k+1}(z)\)を解いてみます。
復習すべきポイントは以下です。
- 確率変数の変換\(Z=X^2\)
- 畳み込み積分
\(f_{k+1}(z)\)= \(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} f_k(x) f_1(z-x) dx\)
と畳み込み積分します。もちろん計算が複雑な\((z-x)\)には簡単な式な\(f_1(z)\)とします。
\(f_{k+1}(z)\)= \(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} f_k(x) f_1(z-x) dx\)
= \(\displaystyle \int_{0}^{∞} \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}Γ({\frac{k}{2}})} x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{1}{2}x}・
\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}Γ({\frac{1}{2})}} (z-x)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(z-x)}dx\)
=(式1)
単純に代入しただけでも結構ムズイ式ですね。でも代入しただけです！大丈夫！
式変形を続けます。
(式1)
=\(\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}Γ({\frac{k}{2}})Γ({\frac{1}{2}})}・e^{-\frac{1}{2}z} \displaystyle \int_{0}^{∞}
x^{\frac{k}{2}-1} (z-x)^{-\frac{1}{2}}dx\)
=(式2)
(細かい式変形は少し端折っていますので、一回は解いてみてください。いい練習になります！)
式変形の途中では、
変数\(x\)は正なので、積分区間を[0,∞]に変更しました。
ここで、やや誘導的ですが、\(x,z\)の2変数を1変数に変換します。
\(u=\frac{x}{z}\)と置きます。すると、
●積分区間が[0,∞]⇒[0,1]に変換 (z/xの比なので)
●\(x=zu\)より\(dx=zdu\)と変換
できます。
(式2)
=\(\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}Γ({\frac{k}{2}})Γ({\frac{1}{2}})}・e^{-\frac{1}{2}z} \displaystyle \int_{0}^{1}
(zu)^{\frac{k}{2}-1} (z-zu)^{-\frac{1}{2}}zdu\)
=\(\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}Γ({\frac{k}{2}})Γ({\frac{1}{2}})}・e^{-\frac{1}{2}z} z^{\frac{k+1}{2}-1}\displaystyle \int_{0}^{1} u^{\frac{k}{2}-1} (1-u)^{-\frac{1}{2}}du\)
=(式3)
さらに(式3)の積分
\(\displaystyle \int_{0}^{1} u^{\frac{k}{2}-1} (1-u)^{-\frac{1}{2}}du\)
をよく見ると、ベータ関数が使えないか?、ベータ関数を使ってうまく逃げれないか？を企みましょう。
復習すべきポイントは以下です。
- 確率変数の変換\(Z=X^2\)
- 畳み込み積分
- ベータ関数とガンマ関数
ベータ関数は
\(B(p,q)\)= \(\displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1}dx\)
です。よく見ると、
\(p=\frac{k}{2}\),\(q=\frac{1}{2}\)を代入すると
\(B(\frac{k}{2}, \frac{1}{2})\)= \(\displaystyle \int_{0}^{1} u^{\frac{k}{2}-1} (1-u)^{-\frac{1}{2}}dx\)
は(式3)の積分部分と全く同じですね！
この関係を(式3)に代入しましょう。
(式3)
=\(\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}Γ({\frac{k}{2}})Γ({\frac{1}{2}})}・e^{-\frac{1}{2}z} z^{\frac{k+1}{2}-1} B(\frac{k}{2}, \frac{1}{2})\)
=(式4)
ここで、うまくできているなあと感心するのは、
ベータ関数とガンマ関数の関係式から
\(\frac{ B(\frac{k}{2}, \frac{1}{2})}{Γ{\frac{k}{2}}Γ{\frac{1}{2}}}\)=\(\frac{1}{Γ({\frac{k+1}{2}})}\)
と上手に整理できる点です。
(式4)
=\(\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}Γ{\frac{k+1}{2}} }・e^{-\frac{1}{2}z} z^{\frac{k+1}{2}-1} \)
=(式5)
(式5)を見ると、確かに、
\(f_{k+1}(z)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}Γ({\frac{k+1}{2}})}・e^{-\frac{1}{2}z} z^{\frac{k+1}{2}-1} \)は、
\(f_n(z)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}z^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}}z\) (\(z\) > 0)を
\(n=k+1\)を代入した式と一致します。
よって、\(n=k+1\)のときも成立します。
よって、すべての自然数\(n\)に対して、
\(f_n(z)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}z^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}}z\) (\(z\) > 0)が成り立つ。
となります。
χ2乗分布の導出方法をわかりやすく解説しました。
まとめ
「χ2乗分布の導出がよくわかる」を解説しました。
- ①χ2乗分布は正規分布の和の2乗で理解する
- ➁χ2乗分布を作るための数学を復習
- ➂χ2乗分布の導出がよくわかる
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119