背理法がわかる(背理法は高校数学で最高級の証明方法)

その最高に難しくできるのが、【背理法】です。

高校数学には、数学的帰納法、背理法、などいろいろな証明方法がありますが、

背理法が私も受験生時代も使いこなせていなかったですね。
むしろ機械的に処理できる数学的帰納法の方が圧倒的に簡単でしたね。

では、背理法は何が難しいのか？を解説すると

国語で反論する内容を数式で解いて、相手を説得させる難しさが背理法にはあります。

１つは過去問やパターンの問題を集めて、そこ範囲から出題される問いはしっかり回答できるようにしておく必要がありますが、

単に解き方を覚えるより、矛盾する反例をどう論じるかを考え抜くことが大事です。でも、これが難しいし、予備校でも解き方は教わるけど、習得方法までは身につかない

このような高級な論証方法が入っているから、
「高1の数と式が、高校数学の中で一番難しい！」

そんな難しい背理法の大事な問題を解説します。

これが一番、シンプルな問題だと思います。証明できますか？

ポイントは4つあります。

上の４つを意識して解いてみましょう。

では、解いてみましょう。

★解答

\(x\)は実数とすると、
\(x^2\) ≥ 0
つまり、
（左辺）=\(x^2\)+1 ≥ 1 > 0
である。しかし、
（右辺）=0より、
(両辺)が成立しない。

よって、\(x\)は実数ではない。

教科書に絶対ある問いですね。流れを理解しましょう。

★①逆を仮定する

\(\sqrt{5}\)が有理数と仮定し、
\(\sqrt{5}\)=\(\frac{m}{n}\)
(\(m,n\)は整数で互いに素)と置く。

★➁①の仮定が矛盾する例を見つける

(両辺)を２乗すると、
5=\(\frac{m^2}{n^2}\)
5\(n^2\)=\(m^2\)
となる。

\(n\)は整数なので、(左辺)は５の倍数になる。
(右辺)も5の倍数が必要だから、\(m\)は5の倍数になる必要がある。

\(m\)=5\(c\) ((\(c\)は整数)と置くと
5\(n^2\)=\((5c)^2\)
\(n^2\)=5\((c)^2\)
となる。これを満たすには、
\(n\)は5の倍数になる必要がある。

となると、\(m,n\)が共に5の倍数になる必要があり、互いに素の条件に反する。

よって、\(\sqrt{5}\)は無理数になる。

解き方は問(1)と同じです。どう反例を導くか？　ここが難しい！

★①逆を仮定する

\(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)が有理数と仮定し、
\(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)=\(r\)
(\(r\)は有理数)と置く。

★➁①の仮定が矛盾する例を見つける

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)=\(r\)+\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)と変形して

(両辺)を２乗すると、
\(\frac{1}{2}\)=\(r^2\)+\(\frac{2}{\sqrt{3}}r\)+\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{2}{\sqrt{3}}r\)=\(\frac{1}{6}\)-\(r^2\)
\(\sqrt{3}\)=\(\frac{1-6r^2}{4r}\)

ここで、 (右辺)は有理数であるが、(左辺)は無理数であるため、矛盾する。

よって、\(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)は無理数である。

同様に応用例を解きましょう。

★①逆を仮定する

方程式\(2x^3-x-3\)=0は有理数の解\(x\)=\(\frac{m}{n}\)
(\(m,n\)は互いに素な整数)とおく。

ここで、

方程式\(2x^3-x-3\)=0は
\(2(\frac{m}{n})^3-(\frac{m}{n})-3\)=0
より、式を整理すると、
2\(n^3\)=\(m^2(3m+n)\)

ここで、\(m\)が偶数、\(n\)が奇数として
●\(m\)=\(2a+1\)
●\(n\)=\(2b\)
(\(a,b\)とおく)
とおくと

(両辺)は
16\((b)^3\)=\((2a+1)^2(2(3a+b)+1)\)
となり、(左辺)は16の倍数であるが、(右辺)は奇数になり、
（両辺）一致に矛盾する。

よって、方程式\(2x^3-x-3\)=0は有理数の解がない

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「背理法がわかる(背理法は高校数学で最高級の証明方法)」を解説しました。