QCプラネッツ

月: 2022年1月

  • p管理図の不良率の差の検定ができる

    p管理図の不良率の差の検定ができる

    「p管理図で不良率の差を検定せよと聞かれたけど、どうやって解くかわからない」、などと困っていませんか？

    こういう期待に答えます。

    本記事のテーマ

    p管理図の不良率の差の検定ができる
    正規分布、χ2乗分布それぞれの検定統計量を使って解説します。
    • ①不良率の差の検定事例
    • ②正規分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く
    • ③χ2乗分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く
    教科書やサイトの内容をそのまま暗記せず、自分で考えてみよう。疑問がわけば、新発見につながる！

    記事の信頼性

    記事を書いている私は、QC検定®１級合格しましたが、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

    ●検定と推定に自信がない場合は関連記事で演習しましょう。何度も解けば身に付きます。

    計数値データの検定と推定の演習問題【QC検定®2級対策】
    QC検定®2級で必ず出題される計数値に関する検定と推定の演習問題とその解法を解説します。検定から推定区間まで5分以内に解けるための流れとテクニックについて解説します。QC検定®2級合格したい方は必見です。さっと解けるか？チェックしてください。

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    ●商標使用について、
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    ①不良率の差の検定事例

    事例問題

    次の問いを考えます。管理図から検定・推定につなぐ重要な応用問題としてとらえてください。QC検定®１級で出題されてもよい良問です。

    演習問題

    5000個の電子部品を調べ、100個ずつ群に小分けする。
    ただし、ある月に生産したものをA(群1～25)、
    別の月に生産したものをB(群26～50)に分ける。
    A、Bのある品質特性の不良率に差があるかどうかを確認したい。
    (1) A、B合わせた全体のp管理図を描け。
    (2)A、Bのある品質特性の不良率に差があるかどうか、有意水準5%で検定せよ。
    群番号 群の
    大きさn    		 不良個数
    pn    		 不良率p 群番号 群の
    大きさn    		 不良個数
    pn    		 不良率p
    1 100 8 0.08 26 100 1 0.01
    2 100 11 0.11 27 100 2 0.02
    3 100 6 0.06 28 100 3 0.03
    4 100 9 0.09 29 100 2 0.02
    5 100 8 0.08 30 100 5 0.05
    6 100 9 0.09 31 100 4 0.04
    7 100 5 0.05 32 100 5 0.05
    8 100 12 0.12 33 100 7 0.07
    9 100 7 0.07 34 100 6 0.06
    10 100 8 0.08 35 100 4 0.04
    11 100 9 0.09 36 100 5 0.05
    12 100 11 0.11 37 100 4 0.04
    13 100 4 0.04 38 100 3 0.03
    14 100 5 0.05 39 100 2 0.02
    15 100 8 0.08 40 100 4 0.04
    16 100 8 0.08 41 100 5 0.05
    17 100 9 0.09 42 100 6 0.06
    18 100 12 0.12 43 100 4 0.04
    19 100 14 0.14 44 100 3 0.03
    20 100 15 0.15 45 100 4 0.04
    21 100 7 0.07 46 100 3 0.03
    22 100 5 0.05 47 100 2 0.02
    23 100 4 0.04 48 100 2 0.02
    24 100 5 0.05 49 100 3 0.03
    25 100 7 0.07 50 100 5 0.05
    – – – – – – 平均 0.06

    QC検定®2級レベルの問題ですが、一部、QC検定®1級レベルのものもあります。

    (1)(2)は基本問題で、(3)が本記事のメイン問題となります。

    一度は、実際に演習してくださいね。良問ですよ！

    p管理図を作成

    必要な値を計算します。
    ●全体平均\(\bar{p}\)=0.06
    ●LCL=\(\bar{p}\)-3\(\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}\)
    =0.06-3\(\sqrt{\frac{0.06×(1-0.06)}{50}}\)
    =-0.041
    ●UCL=\(\bar{p}\)+3\(\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}\)
    =0.06+3\(\sqrt{\frac{0.06×(1-0.06)}{50}}\)
    =0.161

    p管理図を作成します。

    p管理図

    なお、Ａ，Ｂの違いがわかるようにp管理図を分けてみます。

    p管理図

    差がありそうですよね！

    AとBの違いを検定しましょう。

    正規分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く

    検定統計量

    教科書に絶対ある式なので、使いこなせてください。

    検定統計量
    u=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_B})}}\)

    代入しましょう。各値は、
    ●\(p_A\)=0.0824
    ●\(p_B\)=0.0376
    ●\(\bar{p}\)=0.06
    ●\(N_A\)=2500
    ●\(N_B\)=2500

    よって、検定統計量uは
    u=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_B})}}\)
    =\(\frac{0.0824-0.0376}{\sqrt{0.06×(1-0.06)(\frac{1}{2500}+\frac{1}{2500})}}\)
    =6.67

    u=6.67 < 1.96=u(0.05)より
    AとBの不良率に差があると言えるとなります。

    χ2乗分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く

    検定統計量の復習

    教科書の定番である、分割表を使った検定で、χ2乗分布を使います。

    分割表は下表ですね。

    X,Y Y1 Y2 和
    X1 a b a+b
    x2 c d c+d
    和 a+c b+d N=a+b+c+d

    ところで、なぜ分割表の検定に、関係なさそうなχ2乗分布を使うのか説明できますか？わからない時は関連記事で確認しましょう。

    【6】分割表(χ2乗分布)に関する検定【QC検定®2級対策】
    QC検定®2級で頻出な、分割表に関する検定と推定の解法を解説します。検定から推定区間まで5分以内に解けるための流れとテクニックについて解説します。QC検定®2級合格したい方は必見です。

    検定統計量を計算

    今回は、検定統計量を変形したバージョンで解いてみましょう。

    もう一度、分割表を描きます。

    A,B 不良品数 良品数 和
    A a b a+b
    B c d c+d
    和 a+c b+d N=a+b+c+d

    検定統計量は、

    検定統計量
    \(χ^2\)=\(\frac{N(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)

    この式の導出は、別途関連記事で紹介します。

    関連記事

    各値について分割表に代入して確認します。

    A,B 不良品数 良品数 和
    A 206 2294 2500
    B 94 2406 2500
    和 300 4700 5000

    代入しましょう。各値は、
    ●a=206
    ●b=2294
    ●c=94
    ●d=2406
    ●N=5000

    よって、検定統計量は
    \(χ^2\)=\(\frac{N(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)
    =\(\frac{5000(206×2406-2294×94)^2}{(206+2294)(94+2406)(206+94)(2294+2406)}\)
    =44.48

    \(χ^2\)=44.48 < 3.81=\(χ^2\)(1,0.05)より
    AとBの不良率に差があると言えるとなります。

    分割表の自由度の導出

    分割表から考える方法

    ここで、分割表にて、自由度が1になる理由も説明できますか？関連記事に書いていますね。

    【6】分割表(χ2乗分布)に関する検定【QC検定®2級対策】
    QC検定®2級で頻出な、分割表に関する検定と推定の解法を解説します。検定から推定区間まで5分以内に解けるための流れとテクニックについて解説します。QC検定®2級合格したい方は必見です。

    いくつかの解法を使って比較すると理解が深まりますね。

    まとめ

    p管理図で、不良率の差を検定する方法を解説しました。

    • ①不良率の差の検定事例
    • ②正規分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く
    • ③χ2乗分布を使った検定統計量で不良率の差の検定を解く

  • 管理図の平均値Xbarの差の検定ができる

    管理図の平均値Xbarの差の検定ができる

    「管理図で平均値Xbarの差を検定せよと聞かれたけど、どうやって解くかわからない」、などと困っていませんか？

    こういう期待に答えます。

    本記事のテーマ

    管理図の平均値Xbarの差の検定ができる
    2つの検定統計量を使って検定しますが、この2つの式は同値でもある点も解説します。
    ● t分布：t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V_A}{N_A}+\frac{V_B}{N_B}}}\)
    ● 正規分布： \(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\) ≥ \(A_2\bar{R} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)
    • ①平均値Xbarの差の検定事例
    • ②t分布を使った検定統計量で母平均差の検定で解く
    • ③正規分布と管理図係数を使った検定統計量で母平均差の検定で解く
    • ④t分布、正規分布から作った検定統計量は同値である証明
    教科書やサイトの内容をそのまま暗記せず、自分で考えてみよう。疑問がわけば、新発見につながる！

    記事の信頼性

    記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

    ●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

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    ①平均値Xbarの差の検定事例

    事例問題

    次の問いを考えます。管理図から検定・推定につなぐ重要な応用問題としてとらえてください。良問です。

    演習問題

    A,Bの部品を用意する。コインを投げて表面が出ればA,裏面が出ればBを、各5回とり、部品のある品質特性値をデータに記録する。5回データを１つの群として、計25群のデータを測定した。その結果、次の表の結果となった。
    (1)25群全体における\(\bar{X}\)-R管理図を作成せよ。
    (2)A群だけ、B群だけの\(\bar{X}\)-R管理図をそれぞれ作成せよ。
    (3)A,Bの2つの\(\bar{X}\)管理図において、管理状態である場合、\(\bar{X_A}\), \(\bar{X_B}\)に有意な差があるかどうか検定せよ。有意水準は5%としてよい。
    群 x1 x2 x3 x4 x5 \(\bar{x}\) R A/B
    1 4 2 5 4 2 3.4 3 B
    2 0 0 3 3 3 1.8 3 B
    3 2 1 2 5 0 2 5 B
    4 4 1 3 3 2 2.6 3 B
    5 2 -1 2 1 2 1.2 3 A
    6 -1 2 1 -1 2 0.6 3 A
    7 1 0 0 3 -1 0.6 4 A
    8 1 4 3 0 4 2.4 4 B
    9 2 4 1 2 1 2 3 B
    10 3 2 1 6 3 3 5 B
    11 -1 -3 0 4 0 0 7 A
    12 2 0 2 0 2 1.2 2 A
    13 1 1 0 0 -2 0 3 A
    14 -1 -2 1 3 1 0.4 5 A
    15 3 2 -1 1 3 1.6 4 A
    16 1 -1 2 1 0 0.6 3 A
    17 1 1 1 0 3 1.2 3 A
    18 2 4 2 0 3 2.2 4 B
    19 -1 -1 2 0 2 0.4 3 A
    20 3 0 0 2 3 1.6 3 A
    21 0 0 0 1 2 0.6 2 B
    22 -1 0 -4 0 -1 -1.2 4 A
    23 1 -1 -1 1 0 0 2 A
    24 3 2 4 3 1 2.6 3 B
    25 0 2 0 -2 3 0.6 5 A
    – – – – – 平均 1.26 3.56 –

    (1)(2)は基本問題で、(3)が本記事のメイン問題となります。

    \(\bar{X}\)-R管理図を作成

    (i)AB全体の場合
    (ii)Aだけの場合
    (iii)Bだけの場合
    の3通りについて、管理図をそれぞれ作成します。

    ●\(\bar{X}\)管理図について、
    ◎\(\bar{\bar{X}}\)=1.256
    ◎\(\bar{R}\)=3.56
    ◎LCL=\(\bar{\bar{X}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R}\)
    =1.256-0.577×3.56=-0.798
    ◎UCL=\(\bar{\bar{X}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R}\)
    =1.256+0.577×3.56=3.31

    管理図

    ●R管理図について、
    ◎\(\bar{R}\)=3.56
    ◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
    ◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
    =2.114×3.56=7.53

    R管理図

    ●\(\bar{X}\)管理図について、
    ◎\(\bar{\bar{X_A}}\)=0.59
    ◎\(\bar{R_A}\)=3.6
    ◎LCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
    =0.59-0.577×3.6=-1.49
    ◎UCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
    =0.59+0.577×3.6=2.66

    Xbar管理図

    ●R管理図について、
    ◎\(\bar{R_A}\)=3.6
    ◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
    ◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
    =2.114×3.6=7.61

    R管理図

    ●\(\bar{X_B}\)管理図について、
    ◎\(\bar{\bar{X_B}}\)=2.26
    ◎\(\bar{R_B}\)=3.5
    ◎LCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
    =2.26-0.577×3.5=0.24
    ◎UCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
    =2.26+0.577×3.5=4.28

    Xbar管理図

    ●R管理図について、
    ◎\(\bar{R_B}\)=3.5
    ◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
    ◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R_B}\)
    =2.114×3.5=7.40

    R管理図

    管理図をまとめると、A,Bの違いが見やすくなります。

    Xbar管理図

    R管理図

    AとBの違いを検定しましょう。

    ②t分布を使った検定統計量で母平均差の検定で解く

    検定統計量

    t分布を使った検定統計量で２つの母平均差の検定をする場合は、
    t分布：t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V_A}{N_A}+\frac{V_B}{N_B}}}\)
    ですね。おなじみの式です。なお、
    tはt分布、自由度φ=\(N_A\)+\(N_B\)-1とします。

    検定統計量を計算

    各値を算出します。
    ●平均値：\(\bar{X_A}\)=0.59
    ●平均値：\(\bar{X_B}\)=2.26
    ●分散：\(\bar{V_A}\)=2.38
    ●分散：\(\bar{V_B}\)=2.23
    ●自由度：\(\bar{N_A}\)=75
    ●自由度：\(\bar{N_B}\)=50

    これを検定統計量に代入します。
    t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V_A}{N_A}+\frac{V_B}{N_B}}}\)
    =\(\frac{|0.59-2.26|}{\sqrt{\frac{2.38}{15}+\frac{2.23}{10}}}\)
    =7.56

    検定結果

    ●t(φ、α)=t(75+50-1,0.05)=1.98
    と比較すると
    t=7.56 > 1.98
    より、有意差があると言えます。

    以上より、管理図から有意差を検定する検定問題の応用パターンを解説しました。
    でも、これだけだと、別に記事にすることはありません。

    管理図の古書を見ると、
    正規分布から導出した式
    \(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\) ≥ \(A_2\bar{R} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)
    を使って求めることもできます。これも解説します。
    試験・業務に使う場合はt分布で検定してよいでしょう。

    ③正規分布と管理図係数を使った検定統計量で母平均差の検定で解く

    古書の紹介

    1960年出版の「品質管理教程　管理図」P226,P287をベースに解説します。

    古書の良い点は、理論がしっかりと解説している点。現在の参考書は解き方だけ解説しており、「なぜ？」と疑問に思っても、解説がないのが難点。
    古書の良くない点は、考えて読むと「おかしいのではないか？」、「近似式の導出」の2点が多く、現在の我々にとって重要ではないことも書いている。
    過去から現在に至り専門家が何度も改訂しているため、内容精度は高くなっているが、その分、ベースとなる理論の記述が時代とともに無くなっていっている。

    そのため、QCプラネッツでは、古書の優れた理論をわかりやすく解説し、今の時代に合った内容に解説しています。

    古書の解法を紹介します。
    \(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\) ≥ \(A_2\bar{R} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)

    正規分布から導出した検定統計量で解く

    式は、
    \(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\) ≥ \(A_2\bar{R} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)
    です。

    ●各値は
    ●平均値：\(\bar{X_A}\)=0.59
    ●平均値：\(\bar{X_B}\)=2.26
    ●管理図係数：\(A_2\)=0.577
    ●範囲の平均：\(\bar{R}\)=\(\frac{k_A \bar{R_A}+k_B \bar{R_B}}{k_A+k_B}\)
    =\(\frac{15×3.6+10×3.5}{15+10}\)=3.56
    ●群の数：\(\bar{k_A}\)=15
    ●群の数：\(\bar{k_B}\)=10

    よって、検定は
    ●(左辺)=\(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\)=2.26-0.59=1.67
    ●(右辺)=0.577×3.56×\( \sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{10}}\)=0.839
    と
    (左辺) > (右辺)が成り立つので、
    有意差があると言えます。

    t分布で計算した母平均の差の検定と同じ結果になりましたね。

    ④t分布、正規分布から作った検定統計量は同値である証明

    この2つの式は同値でもある点も解説します。
    ● t分布：t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V_A}{N_A}+\frac{V_B}{N_B}}}\)
    ● 正規分布： \(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\) ≥ \(A_2\bar{R} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)

    証明方法は、次の２つです。

    1. t分布を使った検定統計量から出発
    2. t分布から正規分布を使った検定統計量に変更

    t分布を使った検定統計量から出発

    まず、t分布を使った検定統計量を用意します。

    ●t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V_A}{N_A}+\frac{V_B}{N_B}}}\)

    ここで、各値を定義します。
    ●Aの全自由度：\(\bar{N_A }\)=\(\bar{k_A }\)×\(\bar{n_A }\)
    ●Bの全自由度：\(\bar{N_B }\)=\(\bar{k_B }\)×\(\bar{n_B }\)
    ●群Aの数：\(\bar{k_A }\)
    ●群Bの数：\(\bar{k_B }\)
    ●群Aの群内自由度：\(\bar{n_A }\)
    ●群Bの群内自由度：\(\bar{n_B }\)
    ●分散A：\(\bar{V_A}\)
    ●分散B：\(\bar{V_B}\)

    さらに、\(\bar{n_A }\)=\(\bar{n_B}\)=n、\(\bar{V_A}\)=\(\bar{V_B}\)=Vとすると、
    t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V_A}{N_A}+\frac{V_B}{N_B}}}\)
    =\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V}{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}}\)
    と変形できます。

    また、
    \(σ_A \)=\(σ_B \)=σとして、不偏分散\(\sqrt{V}\)=\(\frac{\bar{R}}{d_2}\)とできたら、t分布は正規分布に置き換えることができます。

    t分布から正規分布を使った検定統計量に変更

    t分布から正規分布の検定統計量の式に変えます。

    ●t=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{\sqrt{\frac{V}{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}}\)
    ⇒
    ●u=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{ \frac{\bar{R}}{d_2 \sqrt{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}}\)

    ここで、uについては3σで検定するので、u=3を代入します。
    ●3=\(\frac{|\bar{X_A}-\bar{X_B}|}{ \frac{\bar{R}}{d_2 \sqrt{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}}\)

    両辺を整理します。
    \(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\)=\(\frac{3\bar{R}}{d_2 \sqrt{n}} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)

    管理図係数\(A_2\)は、
    \(A_2\)=\(\frac{3}{d_2 \sqrt{n}}\)より、まとめると、
    \(|\bar{X_A}-\bar{X_B}|\)=\( A_2 \bar{R} \sqrt{\frac{1}{k_A}+\frac{1}{k_B}}\)
    から、検定統計量が一致することがわかりますね。

    いくつかの解法を使って比較すると理解が深まりますね。

    まとめ

    管理図で、平均値Xbarの差を検定する方法を解説しました。

    • ①平均値Xbarの差の検定事例
    • ②t分布を使った検定統計量で母平均差の検定で解く
    • ③正規分布と管理図係数を使った検定統計量で母平均差の検定で解く
    • ④t分布、正規分布から作った検定統計量は同値である証明

  • R管理図で範囲Rの平均差の検定ができる

    R管理図で範囲Rの平均差の検定ができる

    「R管理図で範囲Rの平均の差を検定せよと聞かれたけど、どうやって解くかわからない」、などと困っていませんか？

    こういう期待に答えます。

    本記事のテーマ

    R管理図で範囲Rの平均差の検定ができる
    • ①範囲Rの平均差の検定事例
    • ②２つの母平均差の検定で解く
    • ③(参考)特殊な表を使ってF検定で解く
    教科書やサイトの内容をそのまま暗記せず、自分で考えてみよう。疑問がわけば、新発見につながる！

    記事の信頼性

    記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

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    ①範囲Rの平均差の検定事例

    事例問題

    次の問いを考えます。管理図から検定・推定につなぐ重要な応用問題としてとらえてください。良問です。

    演習問題

    A,Bの部品を用意する。コインを投げて表面が出ればA,裏面が出ればBを、各5回とり、部品のある品質特性値をデータに記録する。5回データを１つの群として、計25群のデータを測定した。その結果、次の表の結果となった。
    (1)25群全体における\(\bar{X}\)-R管理図を作成せよ。
    (2)A群だけ、B群だけの\(\bar{X}\)-R管理図をそれぞれ作成せよ。
    (3)A,Bの2つのR管理図において、管理状態である場合、\(\bar{R_A}\), \(\bar{R_B}\)に有意な差があるかどうか検定せよ。有意水準は5%としてよい。
    群 x1 x2 x3 x4 x5 \(\bar{x}\) R A/B
    1 4 2 5 4 2 3.4 3 B
    2 0 0 3 3 3 1.8 3 B
    3 2 1 2 5 0 2 5 B
    4 4 1 3 3 2 2.6 3 B
    5 2 -1 2 1 2 1.2 3 A
    6 -1 2 1 -1 2 0.6 3 A
    7 1 0 0 3 -1 0.6 4 A
    8 1 4 3 0 4 2.4 4 B
    9 2 4 1 2 1 2 3 B
    10 3 2 1 6 3 3 5 B
    11 -1 -3 0 4 0 0 7 A
    12 2 0 2 0 2 1.2 2 A
    13 1 1 0 0 -2 0 3 A
    14 -1 -2 1 3 1 0.4 5 A
    15 3 2 -1 1 3 1.6 4 A
    16 1 -1 2 1 0 0.6 3 A
    17 1 1 1 0 3 1.2 3 A
    18 2 4 2 0 3 2.2 4 B
    19 -1 -1 2 0 2 0.4 3 A
    20 3 0 0 2 3 1.6 3 A
    21 0 0 0 1 2 0.6 2 B
    22 -1 0 -4 0 -1 -1.2 4 A
    23 1 -1 -1 1 0 0 2 A
    24 3 2 4 3 1 2.6 3 B
    25 0 2 0 -2 3 0.6 5 A
    – – – – – 平均 1.26 3.56 –

    (1)(2)は基本問題で、(3)が本記事のメイン問題となります。

    \(\bar{X}\)-R管理図を作成

    (i)AB全体の場合
    (ii)Aだけの場合
    (iii)Bだけの場合
    の3通りについて、管理図をそれぞれ作成します。

    ●\(\bar{X}\)管理図について、
    ◎\(\bar{\bar{X}}\)=1.256
    ◎\(\bar{R}\)=3.56
    ◎LCL=\(\bar{\bar{X}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R}\)
    =1.256-0.577×3.56=-0.798
    ◎UCL=\(\bar{\bar{X}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R}\)
    =1.256+0.577×3.56=3.31

    管理図

    ●R管理図について、
    ◎\(\bar{R}\)=3.56
    ◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
    ◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
    =2.114×3.56=7.53

    R管理図

    ●\(\bar{X}\)管理図について、
    ◎\(\bar{\bar{X_A}}\)=0.59
    ◎\(\bar{R_A}\)=3.6
    ◎LCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
    =0.59-0.577×3.6=-1.49
    ◎UCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
    =0.59+0.577×3.6=2.66

    Xbar管理図

    ●R管理図について、
    ◎\(\bar{R_A}\)=3.6
    ◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
    ◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
    =2.114×3.6=7.61

    R管理図

    ●\(\bar{X_B}\)管理図について、
    ◎\(\bar{\bar{X_B}}\)=2.26
    ◎\(\bar{R_B}\)=3.5
    ◎LCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
    =2.26-0.577×3.5=0.24
    ◎UCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
    =2.26+0.577×3.5=4.28

    Xbar管理図

    ●R管理図について、
    ◎\(\bar{R_B}\)=3.5
    ◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
    ◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R_B}\)
    =2.114×3.5=7.40

    R管理図

    管理図をまとめると、A,Bの違いが見やすくなります。

    Xbar管理図

    R管理図

    AとBの違いを検定しましょう。

    ②２つの母平均差の検定で解く

    検定統計量

    ２つの母平均差の検定をする場合の検定統計量は、
    t=\(\frac{\bar{R_B}-\bar{R_A}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}}+\frac{V_2}{n_2}}\)
    ですね。おなじみの式です。なお、
    tはt分布、自由度φ=\(n_1\)+\(n_2\)-1とします。

    検定統計量を計算

    各値を算出します。
    ●範囲：\(\bar{R_A}\)=3.6
    ●範囲：\(\bar{R_B}\)=3.5
    ●分散：\(\bar{V_A}\)=2.38
    ●分散：\(\bar{V_B}\)=2.23
    ●自由度：\(\bar{n_A}\)=15
    ●自由度：\(\bar{n_B}\)=10

    これを検定統計量に代入します。
    t=\(\frac{\bar{R_A}-\bar{R_B}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}}+\frac{V_2}{n_2}}\)
    =\(\frac{3.6-3.5}{\sqrt{\frac{184.187}{15}}+\frac{113.62}{10}}\)
    =0.34

    検定結果

    ●t(φ、α)=t(15+10-1,0.05)=2.06
    と比較すると
    t=0.34 > 2.06
    より、有意差が無いと言えます。

    以上より、管理図から有意差を検定する検定問題の応用パターンを解説しました。
    でも、これだけだと、別に記事にすることはありません。

    管理図の古書を見ると、特殊な表からF検定する方法も解説があります。これも解説します。
    平均差の検定なので、試験・業務に使う場合はt分布で検定してください。

    ③(参考)特殊な表を使ってF検定で解く

    古書の紹介

    1960年出版の「品質管理教程　管理図」P226,P285をベースに解説します。

    古書の良い点は、理論がしっかりと解説している点。現在の参考書は解き方だけ解説しており、「なぜ？」と疑問に思っても、解説がないのが難点。
    古書の良くない点は、考えて読むと「おかしいのではないか？」、「近似式の導出」の2点が多く、現在の我々にとって重要ではないことも書いている。
    過去から現在に至り専門家が何度も改訂しているため、内容精度は高くなっているが、その分、ベースとなる理論の記述が時代とともに無くなっていっている。

    そのため、QCプラネッツでは、古書の優れた理論をわかりやすく解説し、今の時代に合った内容に解説しています。

    古書の解法を紹介します。古書の解法

    次の6点で解いていきます。

    1. \(\frac{\bar{R_A}}{c_A}\)=\(V_A\) (不偏分散)なる\(c_A\)を特殊な表から導出
    2. \(c_A\)は群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
    3. \(V_A\) (不偏分散)を計算
    4. 自由度\(φ_A\)を群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
    5. Bについても同様に計算して、\(V_B\),\(φ_B\)を計算
    6. \(V_A\)と\(V_B\)の比からF検定を実施

    群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表

    これも、古書「森口繁一　品質管理(1953) P282」に書いていますが、導出方法はわかりません。なので、今はこの解法を推奨しません。

    特殊な表は下表にまとめます。

    n/k 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 k > 5
    2 φ 1 1.9 2.8 3.7 4.6 9 13.4 17.8 22.2 26.5 0.876k+0.25
    c 1.41 1.28 1.23 1.21 1.19 1.16 1.15 1.14 1.14 1.14 1.128+0.32/k
    3 φ 2 3.8 5.7 7.5 9.3 18.4 27.5 36.6 45.6 54.7 1.815k+0.25
    c 1.91 1.81 1.77 1.75 1.74 1.72 1.71 1.7 1.7 1.7 1.693+0.23/k
    4 φ 2.9 5.7 8.4 11.2 13.9 27.6 41.3 55 68.7 82.4 2.738k+0.25
    c 2.24 2.15 2.12 2.11 2.1 2.08 2.07 2.06 2.06 2.06 2.059+0.19/k
    5 φ 3.8 7.5 11.1 14.7 18.4 36.5 54.6 72.7 90.8 108.9 3.623k+0.25
    c 2.48 2.4 2.38 2.37 2.36 2.34 2.33 2.33 2.33 2.33 2.326+0.161/k
    6 φ 4.7 9.2 13.6 18.1 22.6 44.9 67.2 89.6 111.9 134.2 4.466k+0.25
    c 2.67 2.6 2.58 2.57 2.56 2.55 2.54 2.54 2.54 2.54 2.534+0.14/k
    7 φ 5.5 10.8 16 21.3 26.6 52.9 79.3 105.6 131.9 158.3 5.267k+0.25
    c 2.83 2.77 2.75 2.74 2.73 2.72 2.71 2.71 2.71 2.71 2.704+0.13/k
    8 φ 6.3 12.3 18.3 24.4 30.4 60.6 90.7 120.9 151 181.2 6.031k+0.25
    c 2.96 2.91 2.89 2.88 2.87 2.86 2.85 2.85 2.85 2.85 2.847+0.12/k
    9 φ 7 13.8 20.5 27.3 34 67.8 101.6 135.3 169.2 203 6.759k+0.25
    c 3.08 3.02 3.01 3 2.99 2.98 2.98 2.98 2.97 2.97 2.97+0.11/k
    10 φ 7.7 15.1 22.6 30.1 37.5 74.8 112 149.3 186.6 223.8 7.453k+0.25
    c 3.18 3.13 3.11 3.1 3.1 3.09 3.08 3.08 3.08 3.08 3.078+0.1/k

    F検定で解く

    古書の解法で解いてみましょう。
    次の6点で解いていきます。

    1. \(\frac{\bar{R_A}}{c_A}\)=\(V_A\) (不偏分散)なる\(c_A\)を特殊な表から導出
    2. \(c_A\)は群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
    3. \(V_A\) (不偏分散)を計算
    4. 自由度\(φ_A\)を群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
    5. Bについても同様に計算して、\(V_B\),\(φ_B\)を計算
    6. \(V_A\)と\(V_B\)の比からF検定を実施

    ●各値は
    ●範囲：\(\bar{R_A}\)=3.6
    ●範囲：\(\bar{R_B}\)=3.5
    ●\(\bar{C_A}\)=2.33 (n=5,k=15のcの値)
    ●\(\bar{C_B}\)=2.34 (n=5,k=10のcの値)
    ●自由度：\(φ_A\)=54.6 (n=5,k=15のφの値)
    ●自由度：\(φ_B\)=36.5 (n=5,k=10のφの値)
    ●分散：\(\bar{V_A}\)=\((\frac{\bar{R_A}}{c_A})^2\)
    =\((\frac{3.6}{2.33})^2\)
    =2.39
    ●分散：\(\bar{V_B}\)=\((\frac{\bar{R_B}}{c_B})^2\)
    =\((\frac{3.5}{2.34})^2\)
    =2.24

    よって、F検定は
    F(\(φ_A\),\(φ_B\),α)= \(\bar{V_A}\)/\(\bar{V_B}\)
    =1.07
    なお、F(\(φ_A\),\(φ_B\),α)= F(54.6,36.5,0.05)ですが、
    自由度は自然数なので、F検定表から近い値を使います。
    それは、F(60,40,0.05)=1.64
    を使います。

    ●F=1.07 > 1.64
    より、有意差は無いという結果がでます。

    t分布で計算した母平均の差の検定と同じ結果になりましたね。

    特殊な表から不偏分散と自由度を求めるわけですが、表の導出は当時考えて作られたものです。しかし、理論的に正しいかどうかは証明できないため、推奨しません。ただし、過去の良い事例を遺すことは大事なので、本記事で紹介しました。

    いくつかの解法を使って比較すると理解が深まりますね。

    まとめ

    R管理図で、平均差を検定する方法を解説しました。

    • ①範囲Rの平均差の検定事例
    • ②２つの母平均差の検定で解く
    • ③(参考)特殊な表を使ってF検定で解く

  • 工程変化と検出力の関係をOC曲線で表現できる

    工程変化と検出力の関係をOC曲線で表現できる

    「管理工程が変化した場合の検出力の影響がわからない」、などと困っていませんか？

    こういう期待に答えます。

    本記事のテーマ

    工程変化と検出力の関係をOC曲線で表現できる
    • ①管理図の管理限界を正規分布で考える
    • ②工程平均がずれた場合の検出力の影響
    • ③管理限界が狭まった場合の検出力の影響
    ●管理図の管理限界を正規分布から計算
    ●検出力を正規分布から計算
    ●工程変化と検出力の関係をOC曲線で表現する
    に慣れてください。
    ●管理図は管理図！
    正規分布、検定、OC曲線は別の単元で関係ない!
    とせず、応用力を身に着けていきましょう。
    教科書やサイトの内容をそのまま暗記せず、自分で考えてみよう。疑問がわけば、新発見につながる！

    記事の信頼性

    記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

    ●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

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    ①管理図の管理限界を正規分布で考える

    管理図はあまり、確率分布関数との関係がないように思えますが、正規分布で考える習慣をつけましょう。

    管理限界は平均±3σでUCL,LCLをそれぞれ定義していますね。

    検出力

    管理限界に入る確率を検出力として、本記事で解説します。

    ②工程平均がずれた場合の検出力の影響

    工程平均のずれと検出力の関係

    正規分布と分散は同じであるが、平均がずれた場合、検出力はどう低下するかについて、正規分布を使って調べてみましょう。

    工程平均がずれるほど、検出力も低下するのは明らかですが、その変化がOC曲線によく似ています。

    検出力の計算

    工程平均のずれと、検出力について計算しましょう。

    平均 0
    標準偏差 1
    x 3
    Δu 検出力
    0 0.998
    0.1 0.998
    0.2 0.997
    ・・・ ・・・
    3 0.5
    ・・・ ・・・
    6 0.001

    検出力の計算式は、Excelで
    検出力=NORM.DIST(3-Δμ,平均=0,標準偏差=1,TRUE)
    としました。

    ここで、
    ●「3-Δμ」の「3」は「管理限界3σの3」と工程平均のずれ「Δμ」の差です。
    ●また、正規分布は平均０、標準偏差1と仮定
    ●「True」として累積分布関数として計算
    と仮定しています。

    検出力曲線（OC曲線）

    結果をグラフにするとOC曲線のような曲線が描けます。

    管理図OC曲線

    ここで、横軸のΔμに注目します。値が0～6までしかありません。
    ●(A)Δμ=0の時は、ずれは無いという意味。
    ●(B)Δμ=3の時は、3σずれたという意味。
    ●(C)Δμ=6の時は、6σずれたという意味。
    それぞれの場合の位置と検出力の関係を図で示します。

    検出力

    工程平均のずれと検出力の関係が可視化され、すぐ理解できますね。

    管理限界が狭まった場合の検出力の影響

    変動分散

    \(\bar{X}\)管理図の変動分散の式でよく、
    \(σ_{\bar{X}}^2\)=\(σ_b^2\)+\(\frac{σ_w^2}{n}\)
    とあります。

    群内変動\(\frac{σ_w^2}{n}\)がnの値が変化することによる、
    検出力の影響を調べてみましょう。

    イメージ図を描きます。

    管理限界

    工程平均のずれと検出力の関係

    正規分布の面積が狭まるので、計算は簡単ですね。

    計算結果をまとめます。

    平均 0
    標準偏差 1
    x 3
    n 検出力
    1 0.997
    2 0.966
    3 0.917
    4 0.866
    … …
    99 0.237
    100 0.236
    … …

    検出力の計算式は、Excelで
    検出力=2*NORM.DIST(3/√n,平均=0,標準偏差=1,累積分布関数)-1
    としました。

    ここで、
    ●「3/√n」の「3」は「管理限界3σの3」で、サンプル数nの平方根で管理限界区間を狭くしています。
    ●また、正規分布は平均０、標準偏差1と仮定
    ●「True」として累積分布関数として計算
    と仮定しています。

    n⇒∞にすると、管理限界幅⇒0なので、検出力1-β⇒0となる検出力曲線が得られます。

    検出力曲線（OC曲線）

    結果をグラフにするとOC曲線のような曲線が描けます。

    検出力

    n⇒∞にすると、管理限界幅⇒0なので、検出力1-β⇒0となる検出力曲線が得られます。

    ●管理図の管理限界を正規分布から計算
    ●検出力を正規分布から計算
    ●工程変化と検出力の関係をOC曲線で表現する
    に慣れてください。

    まとめ

    工程変化と検出力の関係をOC曲線で表現できることを解説しました。

    • ①管理図の管理限界を正規分布で考える
    • ②工程平均がずれた場合の検出力の影響
    • ③管理限界が狭まった場合の検出力の影響

  • 【重要】管理図の異常判定ルールは自分で設計すべき(JISに頼るな!)

    【重要】管理図の異常判定ルールは自分で設計すべき(JISに頼るな!)

    「管理図の異常判定ルールがなぜ8種類決まっているのかがわからない」、「なぜ、一列になって交互に上下する14点があると異常なのかがわからない」などと困っていませんか？

    こういう期待に答えます。

    本記事のテーマ

    【重要】管理図の異常判定ルールは自分で設計すべき(JISに頼るな!)
    • ①JISZ9020の異常判定ルールは確率で定義している
    • ②確率論で異常判定してよいか？
    • ③異常判定ルールは自分で設計すべし
    教科書やサイトの内容をそのまま暗記せず、自分で考えてみよう。疑問がわけば、新発見につながる！

    記事の信頼性

    記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

    ●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

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    ①JISZ9020の異常判定ルールは確率で定義している

    異常判定ルールの紹介

    JISZ9020-2 附属書B 図B-1 突き止められる原因に対する異常判定ルールに、8種類の異常判定ルールがあります。

    No 異常パターン
    1 ゾーンAを超えた１つの点
    2 中心線の片側上ゾーンCの中で
    又はそれを超えて、一列になった9点
    3 一列になって上下方向に増加又は減少する6点
    4 一列になって交互に上下する14点
    5 中心線の片側上ゾーンAの中で
    又はそれを超えて、一列になった3つのうちの2つの点
    6 中心線の片側上のゾーンBの中で
    又はそれを超えて、一列になった５つのうちの4つの点
    7 中心線の上下のゾーンの中で一列になった15点
    8 中心線の両側上で一列になった8つの点で、
    ゾーンCにはない

    教科書に必ず載っていますが、他のサイトにもあります。参考にリンクを入れておきます。

    正規分布を確認

    異常判定の理由を説明する前に、正規分布と各ゾーンの確率を確認しましょう。

    正規分布

    まとめると、
    ●ゾーンAは 68%/2=34%
    ●ゾーンBは 27%/2=13/5%
    ●ゾーンCは 4.5%/2=2.25%
    となります。

    異常判定となる確率を計算

    異常判定の判断基準

    確率が0.5%以下なら、めったに起きないとして異常と判断する
    そうです。。。

    個別に見てきます。

    ●①ゾーンAを超えた１つの点
    ⇒確率Prは0.5%以下に１点あるため、異常と判断します。

    ●②中心線の片側上ゾーンCの中で
    又はそれを超えて、一列になった9点
    ⇒中心線の片側は上下それぞれあり、それぞれの領域は50%ですから、確率は、
    Pr=2×\((\frac{1}{2})^9\)=\(\frac{1}{256}\)=0.39%
    と低確率なので異常と判断します。

    ●③一列になって上下方向に増加又は減少する6点
    ⇒6点が連続して順番に並ぶ確率と考えて、
    Pr=2×\(\frac{1}{6!}\)=0.28%
    と低確率なので異常と判断します。

    ●④一列になって交互に上下する14点
    ⇒計算式が不明ですが、何かの14乗に2を書けると確率が0.5%以下なのでしょう。
    低確率なので異常と判断します。

    ●⑤中心線の片側上ゾーンAの中で又はそれを超えて、一列になった3つのうちの2つの点
    ⇒Aゾーンに2点ある確率なので、
    Pr=2×\((0.025)^2\) =0.1%
    と低確率なので異常と判断します。

    ●⑥中心線の片側上のゾーンBの中で又はそれを超えて、一列になった５つのうちの4つの点
    ⇒5点中4点がＢゾーンにあると考えると確率Prは
    Pr=2×\({}_5C_4\)×\((0.135)^4\)=0.16%
    と低確率なので異常と判断します。

    ●⑦中心線の上下のゾーンの中で一列になった15点
    ⇒両方のCゾーンに連続して15点ある確率Prは
    Pr=\((0.68)^{15}\)=0.3%
    と低確率なので異常と判断します。

    ●⑧中心線の両側上で一列になった8つの点で、ゾーンCにはない
    ⇒両方のCゾーンにない点が8つあるので、確率Prは
    Pr=\((0.32)^8\)=0.01%
    と低確率なので異常と判断します。

    よって、どの場合も確率0.5%以下と、稀なケースなので、「稀なケース＝異常」として判定しているようです。場合によっては、点の数を変えても良いでしょう。

    ②確率論で異常判定してよいか？

    「稀なケース＝異常」として判定してよいか？

    と疑問に思うはずです。本来は、
    工程に異常となる要因があるから異常と判定するべきで、
    確率論ではないと考えるべきです。

    確率論ではなく、工程異常要因を探るべき

    工程が異常と考えるケースをJISに頼らず自分で考えましょう。次が挙げられます。

    1. 基本は管理限界内にあれば異常ではない
    2. 例外がいくつかある
    3. 例外１：工程に入ってはいけない要因が含まれ、上昇・下降など、途中でばらつき方が明らかに異なるなどが見られる。
    4. 例外２：周期的な変動がある
    管理図を作って、JISの異常判定ルールに準拠するだけではなく、管理対象の特性を見て想定しないデータがあれば何が異常の原因かを関係者と考えて協議して改善活動するのがベスト

    ③異常判定ルールは自分で設計すべし

    JISの異常判定ルールの是非を評価

    No 異常パターン 理由 評価
    1 ゾーンAを超えた１つの点 管理限界外 ○
    2 中心線の片側上ゾーンCの中で
    又はそれを超えて、一列になった9点    		 低確率 ×
    3 一列になって上下方向に増加又は減少する6点 低確率、工程異常可能性有 ○
    4 一列になって交互に上下する14点 低確率 ×
    5 中心線の片側上ゾーンAの中で
    又はそれを超えて、一列になった3つのうちの2つの点    		 低確率 ×
    6 中心線の片側上のゾーンBの中で
    又はそれを超えて、一列になった５つのうちの4つの点    		 低確率 ×
    7 中心線の上下のゾーンの中で一列になった15点 低確率 ×
    8 中心線の両側上で一列になった8つの点で、
    ゾーンCにはない    		 低確率 ×

    確率が低いから異常という理由は、論理性が低いです。明らかに異常な点や、異常な要因が含まれているもの以外は、管理限界内にあれば、基本正常と判断してもよいでしょう。

    ①ゾーンAを超えた１つの点
    ③一列になって上下方向に増加又は減少する6点
    以外は、正常と判断してもよい。

    自分で考えた異常判定ルールを作るべき

    JISの異常判定ルール①③以外に自分で考えた異常判定ルールを併せましょう。

    ⑨「周期的な異常が含まれる」を追加します。下表が、自分で考えた異常判定ルールとなります。

    No 異常パターン 理由
    1 ゾーンAを超えた１つの点 管理限界外は異常とみなす
    2 一列になって上下方向に
    増加又は減少する6点    		 上下傾向から工程異常要因が
    含まれる可能性あり
    9 周期性がある 工程や工程外に予期しない異常が
    含まれる可能性あり
    … … …

    表の「…」は、実際の管理対象の特性をみながら、個別に異常ルールを追加してください。
    ●顧客要求仕様で異常と判定するもの
    ●トラブル・故障で是正処置した際に追加したルール
    などから判定ルールが追加するはずです。

    JISの異常判定ルールの理由を理解し、
    あなたが必要とする異常判定ルールを考えて管理図を使ってください。

    まとめ

    管理図の異常判定ルールを自分で考える重要さを解説しました。

    • ①JISZ9020の異常判定ルールは確率で定義している
    • ②確率論で異常判定してよいか？
    • ③異常判定ルールは自分で設計すべし

  • 【本記事限定】計数値データにR管理図やs管理図が必要な場合がある

    【本記事限定】計数値データにR管理図やs管理図が必要な場合がある

    「R管理図はなぜ計量値しかないのかがわからない」、「Xbar管理図はR管理図やs管理図を併用するのに、なんで、np管理図、p管理図、c管理図、u管理図は併用しないのかがわからない」と困っていませんか？

    こういう期待に答えます。

    本記事のテーマ

    【本記事限定】計数値データにR管理図を使う場合を考える
    • ①管理図の分類は計量値、計数値で分けるのが一般的
    • ②計数値になぜR管理図やs管理図が無いのか？
    • ③群内データの分析が必要なら、計数値でもR管理図やs管理図は必要
    • ④管理図の分類方法は群内データの分析要否で分けても良い
    教科書やサイトの内容をそのまま暗記せず、自分で考えてみよう。疑問がわけば、新発見につながる！

    記事の信頼性

    記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

    ●Youtube動画でも解説しています。ご確認ください。

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    ①管理図の分類は計量値、計数値で分けるのが一般的

    教科書の分類方法

    教科書では、一般的に、データが計量値、計数値のどちらか、計数値の場合は属する確率分布によって区分されます。

    ー 確率分布 データ 平均 幅
    計量値 正規分布 長さ、重さなど X管理図 R管理図
    \(\bar{X}\)管理図 s管理図
    計数値 二項分布 率 p管理図 ×
    個数 np管理図 ×
    ポアソン分布 欠点数 c管理図 ×
    単位当たりの欠点数 u管理図 ×

    当たり前を疑ってみよう！

    上の表のオレンジ枠をみると、
    計数値データは、平均に関する管理図はあるが、幅(範囲や標準偏差)についての管理図は無いことがわかります。
    なぜでしょうか？

    ②計数値になぜR管理図やs管理図が無いのか？

    個数や率は群間だけの値になりやすいから

    ここで、計量値データを用意します。
    ●全データ30個用意し、ある計量値データとしましょう。長さ、重さ、時間とか何でもOK。
    ●１つのグループに6データを用意して、5グループのデータを取る。

    表にすると下のような感じです。

    Xij 1 2 3 4 5 ？？
    1 20 22 18 16 19
    2 15 17 19 17 22
    3 24 16 19 22 19
    4 21 18 24 22 20
    5 16 20 16 15 18
    6 21 16 17 23 18

    ここで、上表の黄色枠で何か、「まとめたデータ」をとるはずですが、何をとりますか？
    「平均値」と「標準偏差（または範囲）」が思いつくでしょう。

    「平均値」と「範囲」を追加した表を再度書きます。

    Xij 1 2 3 4 5 Xbar R
    1 20 22 18 16 19 19 6
    2 15 17 19 17 22 18 7
    3 24 16 19 22 19 20 8
    4 21 18 24 22 20 21 6
    5 16 20 16 15 18 17 5
    6 21 16 17 23 18 19 7

    この表から\(\bar{X}\)管理図とR管理図ができますね。

    ●\(\bar{X}\)管理図

    Xbar管理図

    ●R管理図

    R管理図

    では、計量値データを計数値化すると、どんな管理図が作れるかを見ましょう。

    次に元の計量値データにおいて、平均以上なら「良0」,未満なら「不良1」と判定しましょう。

    その結果のデータは次の表に変わります。

    Xij 1 2 3 4 5 Xbar R
    1 20 22 18 16 19 19 6
    2 15 17 19 17 22 18 7
    3 24 16 19 22 19 20 8
    4 21 18 24 22 20 21 6
    5 16 20 16 15 18 17 5
    6 21 16 17 23 18 19 7
    ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
    Xij 1 2 3 4 5 合計 平均
    1 0 0 1 1 1 3 0.6
    2 1 1 1 1 0 4 0.8
    3 0 1 1 0 1 3 0.6
    4 0 1 0 0 0 1 0.2
    5 1 0 1 1 1 4 0.8
    6 0 1 1 0 1 3 0.6

    計数値データとして変化した表をみると、
    縦列の合計値と平均は意味があるけど、
    横列の0,1,の値の並びに意味はない
    ことがわかります。

    計数値データでは、群内データの分布に意味がないため、群間変動だけ管理図で表現される。これが、計数値データの管理図は１種類しかない理由とわかります。

    実際に計数値データにした場合、欲しいデータは、群番号と、各群の合計値だけですね。

    Xij 合計 率
    1 3 0.6
    2 4 0.8
    3 3 0.6
    4 1 0.2
    5 4 0.8
    6 3 0.6

    よって、
    合計値なら、np管理図、c管理図、
    平均値なら、p管理図、u管理図
    の１つの管理図だけ作る    わけです。

    ●np管理図

    np管理図

    ここで、「なるほど！」と納得して終わってはいけません。
    群内データに意味が無いから管理図は1種類しかないなら、
    意味のある群内データなら、計数値データでも管理図は平均と幅の2種類が必要ではないか？
    と考えて下さい。

    計数値データもでR管理図やs管理図が必要な場合もあります。その例を見ましょう。

    ③群内データの分析が必要なら、計数値でもR管理図やs管理図は必要

    先ほど、計量値データをある基準で0,1分けして、計数値データに変えました。なお、次のような計数値データがあったら、どんな管理図で管理しますか？

    Xij 1 2 3 4 5 合計
    1 3 8 3 6 6 26
    2 2 8 0 3 0 13
    3 1 1 4 5 6 17
    4 7 8 8 8 6 37
    5 4 6 4 4 0 18
    6 5 8 7 8 2 30

    Xijの値はすべて不良個数としましょう。群内にも群間にも個別の不良個数が分かっている場合です。
    群内データ(横列)、群間(縦列)にデータ分布に意味がありますね。

    この場合、どんな管理図を使いますか？

    1つは、計量値と同じように、\(\bar{X}\)-R管理図使うか。
    もう１つは、計数値データなので、np管理図と管理図を組み合わせたパターン    でしょう。

    計数値データにＲ管理図は無い！と思いこまずにデータの特性に応じて最適な管理図を使うことが重要です。

    ④管理図の分類方法は群内データの分析要否で分けても良い

    管理図の分類方法は、計量値データか計数値データかどうか以外にもあることに気づくはずです。本記事では、群内データ分布に意味があるかどうか？でも分類することができます。

    例えば下表のような分類もできます。QCプラネッツ独自の分類方法です。

    – – 群内データ分布
    に意味がある    		 群内データ分布
    に意味が無い
    平均 X管理図 ● ●
    \(\bar{X}\)管理図 ● ●
    p管理図 ● ●
    np管理図 ● ●
    c管理図 ● ●
    u管理図 ● ●
    幅 R管理図 ● ×
    s管理図 ● ×

    計数値データ、計量値データの区分に関係なく、幅を調べる必要がある場合は、Ｒ管理図やs管理図を使う必要があることが分かります。

    皆さんも考えたら、いろいろな管理図の分類方法ができるはずです。

    まとめ

    管理図の分類方法は教科書以外にもあり、計数値データでもR管理図を使う場面があることを解説しました。

    • ①管理図の分類は計量値、計数値で分けるのが一般的
    • ②計数値になぜR管理図やs管理図が無いのか？
    • ③群内データの分析が必要なら、計数値でもR管理図やs管理図は必要
    • ④管理図の分類方法は群内データの分析要否で分けても良い

  • 【必読】X-Rs管理図が作れる

    【必読】X-Rs管理図が作れる

    「X-Rs管理図の作り方がわからない」、「過去のQC検定®1級で出題されて全く解けなかった」と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    【必読】X-Rs管理図が作れる
    • ①X-Rs管理図用データで考える
    • ②管理限界の係数の導出
    • ③範囲Rsの求め方
    • ④管理限界の求め方
    • ⑤工程管理の確認の仕方

    記事の信頼性

    記事を書いている私は、QC検定®１級合格しましたが、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

    X-Rs管理図は珍しいけど、試験に出題されるとみんなノーマークだから撃沈しますね。なので、ブログで解説します。必読です。
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    ●商標使用について、
    ①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
    ➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
    ➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。

    ①X-Rs管理図用データで考える

    実際のデータを使いながら、X-Rs管理図を作ってみましょう。

    No X Rs No X Rs
    1 31.72 ?? 11 32.43 ??
    2 33.26 ?? 12 32.53 ??
    3 33.42 ?? 13 32.46 ??
    4 32.22 ?? 14 32 ??
    5 32.59 ?? 15 32.71 ??
    6 31.75 ?? 16 31 ??
    7 31.86 ?? 17 30.33 ??
    8 31.37 ?? 18 31.15 ??
    9 31.27 ?? 19 33.41 ??
    10 32.45 ?? 20 30.07 ??
    – – – 合計 640 ??
    – – – 平均 32 ??

    ②管理限界の係数の導出

    管理限界の係数については、関連記事にまとめていますので、確認ください。

    【重要】管理図(計量値)の変数の導出がわかる
    シューハートの管理図の計量値の各係数表の求め方を解説します。A,B,D,d2とかいっぱい変数がありますが、すべて期待値±倍数×標準偏差で表記できます。シューハートの管理図をマスターしたい方は必見です。

    X管理図はA3,R管理図はD3,D4を使う

    X管理図はA3(n=2)

    X管理図はおもに、A1,A2,A3の係数があります。

    ●A=\(\frac{k}{\sqrt{n}}\)
    ●\(A_2\)=\(\frac{k}{d_2 \sqrt{n}}\)
    ●\(A_3\)=\(\frac{k}{c_4 \sqrt{n}}\)

    X管理図では、1つのデータしかないので、範囲Rから算出する\(d_2\)ではなく、標準偏差sから算出する\(c_4\)を使います。JISZ9020に準拠します。

    また、データは１つしかありませんが、n=2のときのA3の値を使います。その理由は完全にはわかりませんが、1に近い2だからでしょうか？

    Ｘ管理図はA3(n=2)
    ●\(A_3\)=\(\frac{k}{c_4 \sqrt{n}}\)
    =2.659

    Rs管理図はD3,D4 (n=2)

    Rs管理図では、管理限界を\(\bar{R}\)の定数倍として表現したいため、係数はD3,D4を使います。なお、係数DについてはD1～D4がありますが、比で表現したD3,D4を使います。

    ●\(D_1\)=\(max(0,d_2-kd_3)\)
    ●\(D_2\)=\(d_2+kd_3\)
    ●\(D_3\)=\(max(0,1-\frac{kd_3}{d_2})\)
    ●\(D_4\)=\(1+\frac{kd_3}{d_2}\)

    ただし、D3は負になる場合があるため、0と大きい方を使います。サンプル数nが6以上でD3が正になります。よって、D3は使わないとします。実際はD3=0です。

    また、データは１つしかありませんが、n=2のときのD3, D4の値を使います。その理由は完全にはわかりませんが、1に近い2だからでしょうか？

    Rs管理図はD3,D4(n=2)
    ●\(D_3\)=\(max(0,1-\frac{kd_3}{d_2})\)
    =0(なし)
    ●\(D_4\)=\(1+\frac{kd_3}{d_2}\)
    =3.267(n=2)

    ③範囲Rsの求め方

    他のＲ管理図と異なる求め方になる点が注意です。

    Rsの定義

    X管理図ではデータが１つしかないため、群内で範囲Rを計算するとデータがないため、R=0になってしまう。そこで、前後の差(絶対値)をRsとして定義する。
    Rs=|x(n)-x(n-1)|
    とする。

    Rsを計算する。

    先ほどのデータで、
    Rs=|x(n)-x(n-1)|
    から求めてみましょう。

    No X Rs No X Rs
    1 31.72 – 11 32.43 0.02
    2 33.26 1.54 12 32.53 0.1
    3 33.42 0.16 13 32.46 0.07
    4 32.22 1.2 14 32 0.46
    5 32.59 0.37 15 32.71 0.71
    6 31.75 0.84 16 31 1.71
    7 31.86 0.11 17 30.33 0.67
    8 31.37 0.49 18 31.15 0.82
    9 31.27 0.1 19 33.41 2.26
    10 32.45 1.18 20 30.07 3.34
    – – – 合計 640 16.15
    – – – 平均 32 0.85

    ●ここで、Rsの具体的な算出方法を確認します。
    Rs(1)=|X(1)-X(0)|=なし(X(0)がないのでRs(1)=0ではなく、「Rs(0)=無し」とします。

    Rs(2)=|X(2)-X(1)|=|33.26-31.72|=1.54
    …
    Rs(19)=|X(20)-X(19)|=|30.07-33.41|=3.34
    Rsのデータは19個

    ③管理限界の求め方

    X管理図について

    ●平均\(\bar{X}\)は32
    ●LCL,UCLは\(\bar{X}\)±2.659\(\bar{R_s}\)
    =32±2.659×0.85
    より、
    LCL=29.74
    UCL=34.26

    Rs管理図について

    ●平均\(\bar{R_s}\)は0.85
    ●LCLは0(無し)
    ●UCLは3.267\(\bar{R_s}\)
    =3.267×0.85
    =2.777

    ④工程管理の確認の仕方

    管理図を図示

    X管理図

    X-Rs管理図

    Rs管理図

    X-Rs管理図

    工程管理の分析結果

    Rs管理図を見ると１点工程異常な点があります。工程異常とするか、第１種の誤りの範囲とするかは関係者で協議する必要があるます。

    まとめ

    X-Rs管理図の作り方について、解説しました。

    • ①X-Rs管理図用データで考える
    • ②管理限界の係数の導出
    • ③範囲Rsの求め方
    • ④管理限界の求め方
    • ⑤工程管理の確認の仕方

  • 【必読】管理図の第1種の誤りと第2種の誤り(検出力)がわかる

    【必読】管理図の第1種の誤りと第2種の誤り(検出力)がわかる

    「第1種の誤り、第2種の誤りと管理図の関係がわからない」、「工程変化によって管理図から不良確率を求める方法がわからない」と困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    【必読】管理図の第1種の誤りと第2種の誤り(検出力)がわかる
    • ①工程が変化した場合に注意する
    • ②第1種の誤りと管理図の関係
    • ③第2種の誤り＆検出力と管理図の関係
    • ④誤りと検出力を計算する演習問題

    記事の信頼性

    記事を書いている私は、QC検定®１級合格しましたが、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

    ●You tube動画でも解説しています。ご覧ください。

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    ●商標使用について、
    ①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
    ➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
    ➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。

    ①工程が変化した場合に注意する

    2点注意しましょう。

    1. 工程平均がシフトした場合
    2. 工程ばらつきが変化(特に増大)した場合

    工程変化によって、管理限界を超える不良が増大する点に注意すればOKです。図で理解しましょう。

    工程平均がシフトした場合

    管理図

    工程ばらつきが増大した場合

    管理図

    ②第1種の誤りと管理図の関係

    第1種の誤り(生産者危険)とは?

    復習になりますが、検定と推定や抜取検査でも出て来るので、再度確認しましょう。
    関連記事でも確認しましょう。

    第1種の誤り(生産者危険)とは、
    工程は異常がないのに、管理図で異常点が発見され、異常と誤判断する確率

    第1種の誤り(生産者危険)と管理図について

    図で説明します。

    管理図

    図のとおり、工程自体は安定で問題ないのですが、わずかな確率でも管理限界外な点をとることがあります。管理図で異常となったからとして、すぐに工程を見直すのではなく、そのデータの確からしさを吟味する必要があります。

    なお、管理限界を3σとする正規分布で仮定する場合、第1種の誤りとなる確率は0.26%(Kp=3のとき、p=0.13%)です。

    ③第2種の誤りと管理図の関係

    第2種の誤り(消費者危険)とは?

    復習になりますが、検定と推定や抜取検査でも出て来るので、再度確認しましょう。
    関連記事でも確認しましょう。

    第2種の誤り（消費者危険)とは、
    工程に異常(改善が必要)なのに、管理図で異常がみられず、正常と誤判断する確率

    第2種の誤り(消費者危険)と管理図について

    図で説明します。

    管理図

    図のとおり、工程自体は問題なのですが、管理図でチェックして異常でないことがわかります。異常を検知できないリスクとなります。

    図の注意点

    第2種の誤り（消費者危険)(β)と検出力(1－β)の図が教科書と逆にしています。

    教科書では、
    ●管理限界外の領域を検出力1-β
    ●管理限界内の領域を第2種の誤り（消費者危険)(β)
    としています。

    しかし、第2種の誤り（消費者危険)(β)や検出力(1－β)は検定と推定、抜取検査などにも出る概念で、それらと整合性を取ると逆になると考えます。

    検出力

    母平均の検定における棄却域をグラフで描くと、
    管理限界外：第2種の誤り（消費者危険)(β)
    管理限界内：検出力(1－β)
    です。

    第2種の誤り（消費者危険)(β)と検出力(1－β)の図が教科書と逆にしています。
    どちらか正解かではなく、どちらを正にするかはよく考える必要があります。

    ④誤りと検出力を計算する演習問題

    以下の問いを例に解いてみましょう。QC検定®１級の頻出問題なので、必読です。

    1. 工程平均μが変化した場合の管理限界外となる確率の計算
    2. 工程ばらつきσが変化した場合の管理限界外となる確率の計算
    3. 工程変化した場合の検出力の計算

    例題

    ある工場では、製品Ｚの出荷検査に、ある品質特性Xのデータを測っている。毎日管理図でXのデータを管理している。１日のデータ数がn=6である。データは正規分布に従うと仮定し、管理限界線は平均±3σとしている。
    (1)工程が変化しない場合、第１種の誤りとなる確率はいくらか。
    (2)工程平均が0.4σ大きくなった場合、管理図で管理限界線を超える(異常となる)確率と、検出力はそれぞれいくらか。
    (3)工程ばらつきがσ⇒1.2σと大きくなった場合、管理図で管理限界線を超える(異常となる)確率と、検出力はそれぞれいくらか。

    例題の解説

    ●(1)
    上下の管理限界線を超える確率を求めます。
    平均を中心とした対称性がある分布なので、
    上側の確率の2倍でよいです。

    上側の確率はKp=3の時の確率です。
    正規分布表でKp=3のときは、p=0.13%です。
    よって、答えは0.26%です。

    管理図

    ●(2)
    検定統計量Kp=\(\frac{\bar{x}-μ}{σ/\sqrt{n}}\)を考えます。
    もともと3σで管理限界を設けていますので、
    Kp=3,\(\bar{x}\)=UCLまたはLCL,μは平均として、
    検定統計量Kp=3=\(\frac{\bar{x}-μ}{σ/\sqrt{n}}\)が成り立っています。

    そこに、工程平均が0.4σ大きくなったので、式を追加します。
    検定統計量Kp’=\(\frac{\bar{x}-(μ+0.4σ)}{σ/\sqrt{n}}\)
    =\(\frac{\bar{x}-(μ)}{σ/\sqrt{n}}\)-\(\frac{0.4σ}{σ/\sqrt{n}}\)
    となり、
    Kp’=\(\frac{\bar{x}-(μ)}{σ/\sqrt{n}}\)-0.4\(\sqrt{n}\)
    =3-0.4\(\sqrt{6}\)
    =2.02となります。
    この式はQC検定®1級攻略に必須な式です。

    工程が上側にシフトしたので、下側の確率は0として無視します。

    管理図

    Kp=2.02となる確率は正規分布表からP=0.0217(2.1%)⇒第２種の誤り。
    検出力は1-β=1-0.0217=0.9783(97.8%)

    ●(3)
    (2)と同様に
    検定統計量Kp=3=\(\frac{\bar{x}-μ}{σ/\sqrt{n}}\)が成り立っています。

    そこに、工程ばらつきが1.2倍大きくなったので、式を追加します。
    検定統計量Kp’=\(\frac{\bar{x}-(μ)}{1.2σ/\sqrt{n}}\)
    =Kp/1.2=3/1.2
    =2.5となります。

    異常確率は管理限界の上下の両側を求めます。

    管理図

    Kp=2.5となる確率は正規分布表からP=0.0062(0.62%)
    確率は2倍してP=0.0124(1.24%))⇒第２種の誤り。
    検出力は1-β=1-0.0124=0.99876(99.9%)

    管理図で、工程の平均やばらつきが変化した場合も、落ち着いて、管理限界となる確率が計算できますね。

    まとめ

    管理図における第1種の誤りと第2種の誤りについて、解説しました。

    • ①工程が変化した場合に注意する
    • ②第1種の誤りと管理図の関係
    • ③第2種の誤り＆検出力と管理図の関係
    • ④誤りと検出力を計算する演習問題

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