2021/12/22 (更新日: 2023/12/10)

【重要】管理図(計量値)の変数の導出がわかる

管理図

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①変数の基本は期待値と標準偏差から導出
• ②\(\bar{X}\)管理図の場合
• ③s管理図の場合
• ④R管理図の場合

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

困ったときは、最新のJIS規格を見ましょう。ちょっと高価ですが。

●Youtube動画でも解説しています。ご覧ください。

①変数の基本は期待値と標準偏差から導出

変数の一覧

JISZ9020-2の表2「管理限界線を計算するための係数」から変数一覧を出します。

管 理 限 界 の 係 数	\(\bar{X}\) 管 理 図	A	=	\(\frac{k}{\sqrt{n}}\)
		\(A_2\)	=	\(\frac{k}{d_2 \sqrt{n}}\)
		\(A_3\)	=	\(\frac{k}{c_4 \sqrt{n}}\)
	s 管 理 図	\(B_3\)	=	\(max(0,1-\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2})\)
		\(B_4\)	=	\(1+\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2}\)
		\(B_5\)	=	\(max(0,c_4-k\sqrt{1-c_4^2})\)
		\(B_6\)	=	\(c_4+k\sqrt{1-c_4^2}\)
	R 管 理 図	\(D_1\)	=	\(max(0,d_2-kd_3)\)
		\(D_2\)	=	\(d_2+kd_3\)
		\(D_3\)	=	\(max(0,1-\frac{kd_3}{d_2})\)
		\(D_4\)	=	\(1+\frac{kd_3}{d_2}\)
中 心 線 の 係 数	s	\(c_4\)	=	\(\frac{Γ(\frac{n}{2})\sqrt{\frac{2}{n-1}}}{Γ(\frac{n-1}{2})}\)
	R	\(d_2\)	=	\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} [1-(1-φ(x))^n-(φ(x))^n]dx\)
	–	\(d_3\)	=	\(\sqrt{2\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle \int_{-\infty}^{y}f(x,y)dxdy-d_2^2 }\) \(f(x,y)=1-φ(y)^n-(1-φ(x))^n+(φ(y)-φ(x))^n\)

変数Aは簡単に導出できそうですが、
変数d2,d3は意味不明な式ですね。

もし、式や値が間違っていたらどうしますか？ JISに文句言っても、あなたの顧客は満足しませんよね。自分が使うものは、対象の良し悪しや意味を理解して使うべきです。

変数基本形

変数の種類が多いですが、すべて同じ形で導出します。

簡単な式ですね。それともう１つ。

変位Xの確率密度関数は正規分布なので簡単ですが、
標準偏差sと範囲Rについては別途関連記事で確率密度関数からの導出を解説します。

では、個別に解説していきます。

②\(\bar{X}\)管理図の場合

A,\(A_2\),\(A_3\)の3つについてです。

管 理 限 界 の 係 数	\(\bar{X}\) 管 理 図	A	=	\(\frac{k}{\sqrt{n}}\)
		\(A_2\)	=	\(\frac{k}{d_2 \sqrt{n}}\)
		\(A_3\)	=	\(\frac{k}{c_4 \sqrt{n}}\)

変位Xは正規分布で考える

正規分布を描きます。これから解説する、標準偏差s、範囲Rの確率密度関数と比較してください。

正規分布における、期待値Eと標準偏差Dは、
●E(X)=\(\bar{X}\)
●D(X)=σ
ですね。これは正規分布を勉強すればわかりますので導出は割愛します。

変数A,\(A_2\),\(A_3\)の導出

変数A の導出

E(X)±kD(X)
=\(\bar{X}\)±\(\frac{k}{\sqrt{n}}σ\)
= \(\bar{X}\)±Aσ

●A=\(\frac{k}{\sqrt{n}}\)

変数,\(A_2\)の導出

E(X)±kD(X)
= \(\bar{X}\)±\(\frac{k}{\sqrt{n}}σ\)
= \(\bar{X}\)±\(\frac{k}{\sqrt{n}} \frac{R}{d_2} \)
= \(\bar{X}\)±\(\frac{k}{d_2 \sqrt{n}} R\)
= \(\bar{X}\)±\(A_2\)σ

●\(A_2\)=\(\frac{k}{d_2 \sqrt{n}} R\)

変数,\(A_3\)の導出

E(X)±kD(X)
= \(\bar{X}\)±\(\frac{k}{\sqrt{n}}σ\)
=\(\bar{X}\)±\(\frac{k}{\sqrt{n}}\frac{s}{c_4}\)
=\(\bar{X}\)±\(\frac{k}{c_4 \sqrt{n}}s\)
= \(\bar{X}\)±\(A_3 s\)

●\(A_3\)=\(\frac{k}{c_4 \sqrt{n}} \)

③s管理図の場合

変数(B_3),(B_4),(B_5),(B_6)を導出します。

管 理 限 界 の 係 数	s 管 理 図	\(B_3\)	=	\(max(0,1-\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2})\)
		\(B_4\)	=	\(1+\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2}\)
		\(B_5\)	=	\(max(0,c_4-k\sqrt{1-c_4^2})\)
		\(B_6\)	=	\(c_4+k\sqrt{1-c_4^2}\)

標準偏差sはχ2乗分布で考える

χ2乗分布を描きます。これから解説する、標準偏差s、範囲Rの確率密度関数と比較してください。

χ2乗分布における、期待値Eと標準偏差Dの導出は関連記事で詳細に解説します。
本記事は結果だけ使います。
●E(s)=\(c_4 σ\)
●D(s)=\(\sqrt{1-c_4^2}σ\)
になります。

関連記事にあるように、s管理図の管理限界を導出する際、標準偏差sと不偏標準偏差vを使った場合では若干式が異なります。本記事では、JISZ9020の管理限界係数表に準拠して、不偏標準偏差vを使った場合を解説します。

具体的には、

c4

E

D

あまり、この区別が教科書や他のwebサイトでは書いていないため、違いがわかるように解説します。

【必読】s管理図の変数c4と管理限界の導出がわかる s管理図の管理限界を求めるc4と管理限界値の導出を解説します。χ2乗分布、平方和、標準偏差の関係式を使って、意外と簡単に係数c4が導出できます。さらに、標準偏差と不偏標準偏差によって、若干式が異なる点も詳しく解説します。管理図をマスターしたい方は必見です。

変数\(B_3\),\(B_4\),\(B_5\),\(B_6\)の導出

変数\(B_3\),\(B_4\)の導出

●σが既知の場合、変数\(B_3\),\(B_4\)を使います。

E(s)±kD(s)
=\(c_4 σ\)±k \(\sqrt{1-c_4^2}σ\)
=(1±\(\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2}\))\(c_4\)σ
(ここで、s=\(c_4\)σ)

よって
●\(B_3\)=\(1-\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2}\)
●\(B_4\)=\(1+\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2}\)

なお、\(B_3\)は0以上としたいので、まとめます。
●\(B_3\)=\(max(0,1-\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2})\)
●\(B_4\)=\(1+\frac{k}{c_4}\sqrt{1-c_4^2}\)

変数\(B_5\),\(B_6\)の導出

●σが未知の場合、変数\(B_5\),\(B_6\)を使いますが、変数\(B_3\),\(B_4\)の導出方法から変わりません。

E(s)±kD(s)
=\(c_4 σ\)±k\(\sqrt{1-c_4^2}σ\)
=\((c_4 \)±k\(\sqrt{1-c_4^2})σ\)
(ここで、σは未知なので、sとσの関係式はありません。)

よって
●\(B_5\)=\(c_4 \)-k\(\sqrt{1-c_4^2}\)
●\(B_6\)=\(c_4 \)+k\(\sqrt{1-c_4^2}\)

なお、\(B_5\)は0以上としたいので、まとめます。
●\(B_5\)=\(max(0, c_4 \)-k\(\sqrt{1-c_4^2})\)
●\(B_6\)=\(c_4 \)+k\(\sqrt{1-c_4^2}\)

④R管理図の場合

変数\(D_1\),\(D_2\),\(D_3\),\(D_4\)を導出します。

R 管 理 図	\(D_1\)	=	\(max(0,d_2-kd_3)\)
	\(D_2\)	=	\(d_2+kd_3\)
	\(D_3\)	=	\(max(0,1-\frac{kd_3}{d_2})\)
	\(D_4\)	=	\(1+\frac{kd_3}{d_2}\)

範囲Rは順序統計量の同時分布で考える

範囲Rは計算しやすいですが、確率密度関数の導出が劇難です。

1. 範囲R は0以上であること
2. 変数Xと同じ1次式(標準偏差sは2次式)

上の2つを満たす確率密度関数の導出が難しくなります。詳細は関連記事をご覧ください。日本で、範囲Rの確率密度関数から\(d_2\),\(d_3\)を端折らず導出できる人はいないかもしれないくらいです。

範囲Rの確率密度関数イメージを描きます。

順序統計量の同時分布における、期待値Eと標準偏差Dは、
●E(R)=\(d_2\)σ
●D(R)=\(d_3\)σ
とします。

ただし、
●\(d_2\)=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} [1-(1-φ(x))^n-(φ(x))^n]dx\)
●\(d_3\)= \(\sqrt{2\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle \int_{-\infty}^{y}f(x,y)dxdy-d_2^2 }\)
( \(f(x,y)=1-φ(y)^n-(1-φ(x))^n+(φ(y)-φ(x))^n\))
と超複雑な式です。

変数\(D_1\),\(D_2\)の導出

変数\(D_1\),\(D_42\)の導出

●σが既知の場合、変数\(D_1\),\(D_2\)を使います。

E(R)±kD(R)
=\(d_2\)σ±k\(d_3\)σ

よって
●\(D_1\)=\(d_2 σ\)-\(k d_3\)σ
●\(D_2\)=\(d_2 σ\)+\(k d_3\)σ

なお、\(D_1\)は0以上としたいので、まとめます。
●\(D_1\)=\(max(0,d_2-k d_3)\)
●\(D_2\)=\(d_2 σ\)+\(k d_3\)

変数\(D_3\),\(D_4\)の導出

●σが未知の場合、変数\(D_3\),\(D_4\)を使いますが、変数\(D_1\),\(D_2\)の導出方法から変わりません。

E(R)±kD(R)
=\(d_2\)σ±k\(d_3\)σ
=\(d_2\)\((1±\frac{k d_3}{d_2})\)σ

よって
●\(D_3\)=\((1-\frac{k d_3}{d_2})\)
●\(D_4\)=\((1+\frac{k d_3}{d_2})\)

なお、\(D_3\)は0以上としたいので、まとめます。
●\(D_3\)=\(max(0, 1-\frac{k d_3}{d_2})\)
●\(D_4\)=\((1+\frac{k d_3}{d_2})\)

シューハートの管理図の管理限界線の係数の導出を解説しました。基本はE(a)±kD(a)ですべて導出できることがわかりました。

まとめ

シューハートの管理図の管理限界線の係数の導出を解説しました。

• ①変数の基本は期待値と標準偏差から導出
• ②\(\bar{X}\)管理図の場合
• ③s管理図の場合
• ④R管理図の場合

管理図

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