2022/10/15 (更新日: 2023/12/04)

【まとめ】信頼度の点推定と区間推定がわかる

信頼性工学

「寿命分布の点推定と区間推定がうまく計算できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【まとめ】信頼度の点推定と区間推定がわかる

①分布関数
➁尤度関数(ゆうど）を作る
➂最尤推定量(さいゆう)を導出
➃点推定の導出
➄区間推定の導出

どの分布関数も①～⑤の流れで解説！

①分布関数

3つの分布関数を解説！

今回は、指数分布を取り上げますが、ＱＣプラネッツでは以下の3つの分布関数についても解説します。

指数分布
ワイブル分布
正規分布

そして、３つの分布関数に対して、共通の解法で解説していきます。

１回目の指数分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。

信頼度の点推定と区間推定がわかる(指数分布)
信頼度の点推定と区間推定が計算できますか。本記事では指数分布における点推定と区間推定をわかりやすく解説します。信頼性工学を勉強したい方は必読です。

2回目のワイブル分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。

信頼度の点推定と区間推定がわかる(ワイブル分布)
信頼度の点推定と区間推定が計算できますか。本記事ではワイブル分布における点推定と区間推定をわかりやすく解説します。信頼性工学を勉強したい方は必読です。

3回目の正規分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。

信頼度の点推定と区間推定がわかる(正規分布)
信頼度の点推定と区間推定が計算できますか。本記事では正規分布における点推定と区間推定をわかりやすく解説します。信頼性工学を勉強したい方は必読です。

3つの分布関数の共通の解法を、本記事で解説します。

➁尤度関数(ゆうど）を作る

尤度関数とは？

Wikipedia から引用すると、

尤度関数とはある前提条件に従って結果が出る場合に、逆に観察結果からみて前提条件が「何々であった」と推測する尤もらしさ（もっともらしさ）を表す数値を、変数とした関数。

意味不明！

「尤度(ゆうど)」って読めないし！

「もっともらしい」って何なん？

尤度関数って何？

簡単に言うと、

テキトーに関数作って、とにかく微分=0で条件作って解析すると意外とうまく行くぜ！という、テキトーな処理

とにかくやってみましょう。
いい加減に定義した関数が、良い加減な条件を作るので不思議です。

➂最尤推定量(さいゆう)を導出

尤度関数を定義

指数分布、ワイブル分布、正規分布も、確率密度関数の中にexpがあるので、
指数の積を和に変換して計算が簡単になるように、尤度関数をうまく定義します。

尤度関数\(L(x,y)\)= \(\displaystyle \prod_{i=1}^n f(t_i)\)
絶対この式以外はNG!ではありません。一例と思ってください。

とにかく尤度関数をテキトーに設定して、微分=0となる条件式を作ります。
理由は特になく、微分=0な条件式でとにかく制約条件を作りたいからです。

尤度関数はとにかく「微分して０」を作る

尤度関数\(L(x,y)\)= \(\displaystyle \prod_{i=1}^n f(t_i)\)
に\(log\)をとって、微分します。
\(\displaystyle \frac{\partial log(L(x,y))}{\partial x} \)=0
…

最尤推定量は何が出るの？

とりあえず、尤度関数を微分して0になる条件式を作ります。

結果論ですが、

点推定になる条件式が、出て来ます。たまたまですけど。
偶然でも尤度関数が使えるので、尤度関数を定義して計算しています。

テキトーに定義した尤度関数を微分すれば、なぜ点推定の条件式が出るか？はあまり悩まず、結果そうなったでよいです。もっと良い関数があればそれをつかって導出すればよいだけ。

➃点推定の導出

平均と標準偏差が尤度関数から出て来ます。

➄区間推定の導出

区間推定に使う分布関数

指数分布やワイブル分布は、とにかくχ２乗分布に直して区間推定しましたが、
正規分布は正規分布表から区間を推定すればOKです。

指数分布、ワイブル分布、それぞれの確率を表にして区間推定してもOKですが、
●χ2乗分布に変換できることや
●χ２乗分布表がよく使われて規格になっている
理由からχ２乗分布に直して区間推定します。

正規分布は、正規分布表から区間推定すればOK
信頼性工学と正規分布を組み合わせた良問題です。

信頼性工学、検定・推定の区間推定を組み合わせた内容であり、
扱う関数が、指数分布、ガンマ分布、ワイブル分布、χ2乗分布、正規分布と複雑です。
１つずつ理解していきましょう。

ワイブル分布

個々の解説記事を再掲します。リンクでご覧ください。

１回目の指数分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。

2回目のワイブル分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。

3回目の正規分布については、関連記事で解説していますので、ご確認ください。

3つの分布関数の共通の解法を、本記事で解説しました。

まとめ

「【まとめ】信頼度の点推定と区間推定がわかる」を解説しました。

①分布関数
➁尤度関数(ゆうど）を作る
➂最尤推定量(さいゆう)を導出
➃点推定の導出
➄区間推定の導出

信頼性工学