【初心者必見！】正規分布、二項分布、ポアソン分布が比較できる
「正規分布、二項分布、ポアソン分布ってどれくらい違いのかがわからない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
【初心者必見！】正規分布、二項分布、ポアソン分布が比較できる
おさえておきたいポイント
- ①３つの分布の分布関数、期待値、分散
- ➁正規分布、二項分布、ポアソン分布を比較
●正規分布：\(\frac{1}{\sqrt{2π}σ} e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}\)
●二項分布：\({}_n C_r p^r (1-p)^{n-r}\)
●ポアソン分布：\(e^{-λ} \frac{λ^x}{x!}\)
って式が全く別物だけど
●二項分布：\({}_n C_r p^r (1-p)^{n-r}\)
●ポアソン分布：\(e^{-λ} \frac{λ^x}{x!}\)
って式が全く別物だけど
ぴったりそろうんだよね！
正規分布、二項分布、ポアソン分布のグラフがぴったりそろえてみましょう。
①３つの分布の分布関数、期待値、分散
さて、正規分布、二項分布、ポアソン分布の
確率密度関数、期待値、分散は答えられますか？
導出もよいですが、初心者は暗記から入ってもOKです。
二項分布、ポアソン分布の期待値と分散は関連記事で丁寧に導出しています。ご覧ください。
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下表に結果をまとめます。さっと書き出せるかを確認してください。
| 分布 | 確率密度関数 | 期待値E | 分散V |
| 正規分布 | \(f(x)\)=\(\frac{1}{\sqrt{2π}σ} ・exp(-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2})\) | \(μ\) | \(σ^2\) |
| 二項分布 | \(f(x)\)=\({}_n C_x p^x・(1-p)^{n-r}\) | \(np\) | \(np(1-p)\) |
| ポアソン分布 | \(f(x)\)=\(e^{-λ}・\frac{λ^x}{x!}\) | \(λ\) | \(λ\) |
➁正規分布、二項分布、ポアソン分布を比較
パラメータをそろえる
ここで、正規分布、二項分布、ポアソン分布の期待値、分散のパラメータをそろえます。つまり、
| 分布 | 期待値E | 分散V | ||||
| 正規分布 | \(μ\) | → | \(np\) | \(σ^2\) | → | \(np(1-p)\) |
| 二項分布 | \(np\) | → | \(np\) | \(np(1-p)\) | → | \(np(1-p)\) |
| ポアソン分布 | \(λ\) | → | \(np\) | \(λ\) | → | \(np\) |
とパラメータをそろえます。
正規分布、二項分布、ポアソン分布を比較
ここで、(n,p)=(100,0.2)と(n,p)=(1000,0.02)を代入して、３つの分布関数のグラフを描いて比較しましょう。
２つの場合とも、ほぼ３つの分布関数が重なりましたね。n=100の方は数が少ないこともあり、ポアソン分布だけ少しずれますが、n=1000まで増やすとほぼぴったりそろいます。
標本数が大きい場合は
正規分布で考えればOKといえますね。
正規分布で考えればOKといえますね。
学問的には、正規分布、二項分布、ポアソン分布は別物ですが、
実務上は同じとして扱ってもよいでしょう。
まとめ
「【初心者必見！】正規分布、二項分布、ポアソン分布が比較できる」を解説しました。
- ①３つの分布の分布関数、期待値、分散
- ➁正規分布、二項分布、ポアソン分布を比較
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119