【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる

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【重要】データの構造式から有効反復数が導出できる 有効反復数はデータの構造式からすべて導出できることを解説します！

さっそく見ていきましょう。

★(A)

(A)データの構造式を用意します。
\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}\)+\(e_{ijk}\)
とします。

★(B)

(B)最適条件\(μ(A_i B_j)\)の点推定値を求めましょう。
データ構造式のうち、ABを含む項だけ残します。
\(μ(A_i B_j)\)=\(μ+α_i+β_j+ (αβ)_{ij}\)

★(C)

(C) 主効果・交互作用の項をすべて\(x\)についての項に直します。
\(μ\)=\(\bar{\bar{x}}\)
\(α_i\)=\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\)
\(β_j\)=\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
\( (αβ)_{ij}\)=\(\bar{x_{ij･}}\)-\(\bar{x_{i‥}}\)-\(\bar{x_{･j･}}\)+\(\bar{\bar{x}}\)
を代入します。

\(μ(A_i B_j)\)
=\(μ+α_i+β_j+ (αβ)_{ij}\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{ij･}}\)-\(\bar{x_{i‥}}\)-\(\bar{x_{･j･}}\)+\(\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{ij･}}\)

★(D)

(D)残った項を\(\widehat{μ+●}\) の項に変えます。
\(\bar{x_{ij･}}\)=\(\widehat{μ+a_i+b_j+(ab)_{ij}}\)
を代入します。

\(μ(A_i B_j)\)
=\(\bar{x_{ij･}}\)
=(\(\widehat{μ+a_i+b_j+(ab)_{ij}}\))

初めて見ると難しそうと思いますが、この(A)から(D)の方法で、全実験パターンで使えます。

以下応用事例を挙げますが、同じ方法で解説します。

★(A)

(A)データの構造式を用意します。
\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+γ_k\)+\(e_{ijk}\)
とします。

★(B)

(B)最適条件\(μ(A_i B_j C_k)\)の点推定値を求めましょう。
データ構造式のうち、ABCを含む項だけ残します。
\(μ(A_i B_j C_k)\)=\(μ+α_i+β_j+γ_k\)

★(C)

(C) 主効果・交互作用の項をすべて\(x\)についての項に直します。
\(μ\)=\(\bar{\bar{x}}\)
\(α_i\)=\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\)
\(β_j\)=\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
\(γ_k\)=\(\bar{x_{‥k}}-\bar{\bar{x}}\)
を代入します。

\(μ(A_i B_j C_k)\)
=\(μ+α_i+β_j+γ_k\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{‥k}}-\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}\)+\(\bar{x_{‥k}}-2\bar{\bar{x}}\)

★(D)

(D)残った項を\(\widehat{μ+●}\) の項に変えます。
\(\bar{x_{i‥}}=\widehat{μ+a_i}\)
\(\bar{x_{･j･}}=\widehat{μ+b_j}\)
\(\bar{x_{‥k}}=\widehat{μ+c_k}\)
\(\bar{\bar{x}}=\widehat{μ}\)
を代入します。

\(μ(A_i B_j C_k)\)
=\(\bar{x_{i‥}}\)+\(\bar{x_{･j･}}\)+\(\bar{x_{‥k}}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)
=(\(\widehat{μ+a_i}\))+(\(\widehat{μ+b_j}\))+(\(\widehat{μ+c_k}\))-2\(\widehat{μ}\)

詳細な解説は、演習問題集にあります。

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どんどん、複雑なデータの構造式にしますが、導出方法は同じです。

(A)から(D)の方法で導出します。全く同じ方法で攻略できるので大丈夫です。

★(A)

(A)データの構造式を用意します。
x=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)+e

★(B)

(B)最適条件μ(ABCDF)の点推定値を求めましょう。
直交表に多因子を割り付けているので、添字は簡略化します。

データ構造式のうち、ABCDFを含む項だけ残します。
μ(ABCDF)= μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)

★(C)

(C) 主効果・交互作用の項をすべて\(x\)についての項に直します。
ここで、直交表に多因子を割り付けているので、添字は簡略化します。

\(μ\)=\(\bar{\bar{x}}\)
a=\(\bar{x_a}-\bar{\bar{x}}\)
b=\(\bar{x_b}-\bar{\bar{x}}\)
c=\(\bar{x_c}-\bar{\bar{x}}\)
d=\(\bar{x_d}-\bar{\bar{x}}\)
f=\(\bar{x_f}-\bar{\bar{x}}\)
ab=\(\bar{x_{ab}}-\bar{x_a}-\bar{x_b}+\bar{\bar{x}}\)
cd=\(\bar{x_{cd}}-\bar{x_c}-\bar{x_d}+\bar{\bar{x}}\)
を代入します。

μ(ABCDF)
=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_a}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_b}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_c}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_d}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_f}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{ab}}-\bar{x_a}-\bar{x_b}+\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{cd}}-\bar{x_c}-\bar{x_d}+\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{ab}}\)+\(\bar{x_{cd}}\)+\(\bar{x_f}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)

★(D)

(D)残った項を\(\widehat{μ+●}\) の項に変えます。
\(\bar{x_{ab}}=\widehat{μ+a+b+(ab)}\)
\(\bar{x_{cd}}=\widehat{μ+c+d+(cd)}\)
\(\bar{x_f}=\widehat{μ+f}\)
\(\bar{\bar{x}}=\widehat{μ}\)
を代入します。

μ(ABCDF)
=\(\bar{x_{ab}}\)+\(\bar{x_{cd}}\)+\(\bar{x_f}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)
=(\(\widehat{μ+a+b+(ab)}\))+(\( \widehat{μ+c+d+(cd)}\))+(\( \widehat{μ+f}\))-2\(\widehat{μ}\)

以下の演習問題もちょっと考えてみてください。

最強に難しいですが、データの構造式をたてて、(A)から(D)の流れで解けば必ず導出できます。

答えだけ書いておきます。

詳細な解説は、演習問題集にあります。

以上、「【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる」を解説しました。