【本記事限定】直交表の実験回数と割当て列数が決まっている理由がわかる【必見】
「直交表L27はなぜ実験回数が27回で13列と決まっているの？」「多因子の直交表の実験回数と列数もなぜ1つに決まっているの？」など、いろいろな水準系の直交表を勉強する中で、疑問に思ったことありませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
直交表は複数ある【絶対知っといて！】
- ➀【本記事限定】直交表それぞれの実験回数と列数がわかる
- ②【本記事限定】直交表の実験回数が決まる理由がわかる
- ③【本記事限定】直交表の列数が決まる理由がわかる
記事の信頼性
記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。直交表がより詳しくわかる重要な記事なので、読んでください！
さっそく見ていきましょう。
➀【本記事限定】直交表それぞれの実験回数と列数がわかる
いろいろな直交表
水準数、実験回数と割当て列数をあげてみます。
図を見ると水準数・実験回数・列数は関係式があることがわかります。
水準数3: (実験回数)=(水準数の指数乗)、(列数)=((実験回数)-1)/2
水準数4: (実験回数)=(水準数の指数乗)、(列数)=((実験回数)-1)/3
…
一般化すると、
(列数)=((実験回数)-1)/(水準数-1)
つまり、
$$ L_{n^r}= n^ {\frac{n^r-1}{n-1}} $$
と、まとめることができます。非常に複雑な式ですが、１つの式でまとめることができます。不思議ですね。なぜそうなるかを解説します。
②【本記事限定】直交表の実験回数が決まる理由がわかる
実験回数が決まる理由
直交表は、いろいろな因子を割当てるメリットがありますが、基本は構成成分の総当り実験をするものです。
水準が3で4因子あれば、総当りで4の3乗の64回実験が必要です。直交表はL64と決まります。
直交表のLの横の値は、構成成分の総当りの実験回数です。直交表は実験回数が減らせるイメージが先行しますが、完全配置実験と同じく、総当りで実験回数を決めます。実験回数が減らせるのは交絡させるからですね。【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていることで詳細に解説しています。
③【本記事限定】直交表の列数が決まる理由がわかる
列数が決まるポイント
- (i)全パターン列数を割り当てる
- (ii)直交性がない組み合わせがあるため列数が制約される
- (iii)直交性がない組み合わせによっていろいろな直交表が作られる
直交表L27の列数
詳細は、【本記事限定】交互作用を調べると直交表L27は複数ある【必見】で詳細に解説していますが、3水準系についての解説なので、他の水準についても解説します。
3水準の3因子では一旦、3×3×3=27列を割り当てます。次に、平均μの1列を外し、直交性がない2組みがあるため、(27-1)/2=13列と割当て列数が決まりました。列数が減った代わりに2種類の直交表が存在することがわかりました。
直交表の列数を一般化する
同様に、n水準r因子の場合を考えます。一旦全パターンを列数(\( n^r\)列
に割り当てます。次に、平均μの1列を外し、直交性がないn組みで割ります。
直交性がない5水準2因子で例をあげると、(a)～(d)の4種類はそれぞれ直交性がありません。
(a) ab, a2b, a3b, a4b
(b) 2ab, 2a2b, 2a3b, 2a4b
(c) 3ab, 3a2b, 3a3b, 3a4b
(d) 4ab, 4a2b, 4a3b, 4a4b
5水準2因子の場合は (5×5-1)/4=6列が配列できます。
一般化します、n水準r因子の場合、配列数は
$$ \frac{n^r-1}{n-1} $$
と書けます。等比数列みたいな式が出てきました。
(a) ab, a2b, a3b, a4b
(b) 2ab, 2a2b, 2a3b, 2a4b
(c) 3ab, 3a2b, 3a3b, 3a4b
(d) 4ab, 4a2b, 4a3b, 4a4b
仮に64列すべて配置すると、
➀平均工程μ 1列
②1因子主効果 6列(a,b,c,2a,2b,2c)
③2因子交互作用 12列(ab,2ab,…)
④残差 8列(abc,abc2,…)
の計27列割当てることができる。
(1)この27について次式が書けるが、この式の意味を説明せよ。
$$ (3-1)^0×{}_3C_0+ (3-1)^1×{}_3C_1+(3-1)^2×{}_3C_2+(3-1)^3×{}_3C_3=27 $$
(2)(1)を一般化すると次の式が成り立つことを確かめよ。
$$ \sum_{i=0}^{r} (n-1)^i {}rC_i =n^r $$
随分難しい問題を提示しましたが、詳細は解説集に書いています。
$$ \sum_{i=0}^{r} (n-1)^i {}rC_i =n^r $$
という式が成り立つのを知りませんでした。どこかの難関大学数学問題に使われそうですね。
まとめ
直交表の列数が1つに決まる理由を解説しました。列数を求める式を使えば、あらゆる直交表の列が簡単に求めることができます。
- ➀【本記事限定】直交表それぞれの実験回数と列数がわかる
- ②【本記事限定】直交表の実験回数が決まる理由がわかる
- ③【本記事限定】直交表の列数が決まる理由がわかる
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