枝分かれ実験(直列型)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

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●You tube動画で解説しています。ご覧ください。

さっそく見ていきましょう。

枝分かれ方法は、直列と並列が考えつきますね。
教科書ではよく直列型が紹介されます。
本記事は、直列型（左下図）について解説します。

また、並列型も考えられますよね!
QCプラネッツ限定関連記事があります。

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★イメージ図

イメージ図を見ながら、データの構造式を作っていくのでよく見ておきましょう。

本サイトでは、すべての実験計画法の手法は、
完全配置実験のデータの構造式を一部書き換えてできることを解説しています。

枝分かれ実験も同様にできるのですが、枝分かれ図を見て、そのまま式にした方が楽です。

枝分かれ図をそのままデータの構造式に書きます。

まとめると、データの構造式ができます。

★枝分かれ実験(直列型)のデータの構造式

★母数因子と変量因子の違い

関連記事「【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかる」にて、母数因子と変量因子を解説しました。

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★母数因子と変量因子

母数因数：取らない場合が多い
変量因子：α、β、γ、δ、e

枝分かれ実験では、ロット間の誤差、サンプル間の誤差、測定誤差を因子として割当てることがあり、誤差は変量因子なため、母数因数を取らないことがあります。主効果の分散の期待値は母数因数でも変量因子でも関係なく、同じ値になります。

変数に意味を持たせるなら母数因子と変量因子をはっきり分けるとよいですが、
分散の期待値はどちらも同じになるようにしているので、母数因子も変量因子もどちらでもよいと思います。

本記事では、教科書的に変量因子として分散の期待値を導出します。

★平均値

母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。

平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。

★枝分かれ実験のデータの構造式

\(x_{ijklm}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(γ_{ijk}\)+\(δ_{ijkl}\)+\(e_{ijklm}\)
\(\bar{x_{i････}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{β_{i･}}\)+\(\bar{γ_{i･･}}\)+\(\bar{δ_{i･･･}}\)+\(\bar{e_{i････}}\)
\(\bar{x_{ij･･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(\bar{γ_{ij･}}\)+\(\bar{δ_{ij･･}}\)+\(\bar{e_{ij･･･}}\)
\(\bar{x_{ijk･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(γ_{ijk}\)+\(\bar{δ_{ijk･}}\)+\(\bar{e_{ijk･･}}\)
\(\bar{x_{ijkl･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_{ij}\)+\(γ_{ijk}\)+\(δ_{ijkl}\)+\(\bar{e_{ijkl･}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{α}}\)+\(\bar{\bar{β}}\)+\(\bar{\bar{γ}}\)+\(\bar{\bar{δ}}\)+\(\bar{\bar{e}}\)

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。S_A、S_C、S_eを例に挙げます。

\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (\bar{x_{i･‥･}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_C\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (\bar{x_{ijk･･}}-\bar{x_{ij･･･}})^2\)
\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)

\( (\bar{x_{ijklm}}-\bar{x_{ijkl･}})^2\)
と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。

期待値については、関連記事「確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】」をご覧下さい。

確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】 期待値と分散の導出過程を確認しましょう！

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{x_{i･‥･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( ((α_i-\bar{\bar{α}})+(\bar{β_{i･}}-\bar{\bar{β}})+(\bar{γ_{i･･}}-\bar{\bar{γ}})\)
+\( (\bar{δ_{i･･･}}-\bar{\bar{δ}})+(\bar{e_{i････}}-\bar{\bar{e}}))^2\)

=bcdeE[\(\sum_{i=1}^{a}(α_i-\bar{\bar{α}})^2\)]
+cdeE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\bar{β_{i･}}-\bar{\bar{β}})^2\)]
+deE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(\bar{γ_{i･･}}-\bar{\bar{γ}})^2\)
+dE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}(\bar{δ_{i･･･}}-\bar{\bar{δ}})^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{e_{i････}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=\((a-1)bcdeσ_A^2\)+\((a-1)cdeσ_B^2\)+\((a-1)deσ_C^2\)+\((a-1)eσ_D^2\)+\((a-1)σ_e^2\)

主効果Aの自由度は(a-1)より、分散の期待値E[V_A]が求まります。

以上より、

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_A^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}(α_i-\bar{\bar{α}})^2}{a-1}\)]

E[\(S_C\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{x_{ijk･･}}-\bar{x_{ij･･･}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\(((\bar{γ_{ijk}}-\bar{γ_{ij･}})\)+\((\bar{δ_{ijk･}}-\bar{δ_{ij‥}})+(\bar{e_{ijk･･}}-\bar{e_{ij…}}))^2\)

=deE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} (\bar{γ_{ijk}}-\bar{γ_{ij･}})^2\)]
+eE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}(\bar{δ_{ijk･}}-\bar{δ_{ij‥}})^2\)
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}(\bar{e_{ijk･･}}-\bar{e_{ij…}}))^2\)

=\(ab(c-1)deσ_C^2\)+\(ab(c-1)eσ_D^2\)+\(ab(c-1)σ_e^2\)

主効果Cの自由度はab(c-1)より、分散の期待値E[V_C]が求まります。

自由度の導出は難しいので次の節で解説します。

以上より、

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_C^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{c} (γ_{ijk}-\bar{γ_{ij･}})^2}{ab(c-1)}\)]

E[\( S_e\)]= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)

\( (\bar{x_{ijklm}}-\bar{x_{ijkl･}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (\bar{e_{ijklm}}-\bar{e_{ijkl･}})^2\)]
=abcd(e-1) \(σ_e^2\)

E[\( S_e\)]= abcd(e-1) \(σ_e^2\)

残差eの自由度はabcd(e-1)より、分散の期待値E[V e]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。

以上より、

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_e^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e} (e_{ijklm}-\bar{e_{ijkl･}})^2}{abcd(e-1)}\)]

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。
関連記事「【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)」に解説しています。

【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読) 実験計画法はデータの構造式ですべて解けることを解説します！

まとめると次の3つです。

因子BについてはAB全体の自由度から因子Aの自由度を引きます。
枝分かれイメージで、全体から残りを引く感じになります。
データの構造式の添字から自由度を求めることができます。

★因子Dの自由度

因子DについてはABCD全体の自由度からABC全体の自由度を引きます。
ABCD全体の自由度＝abcd-1
ABC全体の自由度=abc-1
因子Dの自由度=(abcd-1)-(abc-1)=abcd-abc=abc(d-1)
データの構造式の添字を見ると (ijkl･)-(ijk‥)から(abcd-1)-(abc-1)とイメージしてもOKです。

★残差eの自由度

残差eについてはABCDE全体の自由度からABCD全体の自由度を引きます。
ABCDE全体の自由度＝abcde-1
ABCD全体の自由度=abcd-1
残差eの自由度=(abcde-1)-(abcd-1)=abcde-abcd=abcd(e-1)

データの構造式の添字を見ると (ijklm)-(ijkl･)から(abcde-1)-(abcd-1)とイメージしてもOKです。

以上をまとめましょう。

自由度をまとめます。

分散分析表を作ります。

関連記事で確認ください。

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる 母平均の点推定の公式はデータの構造式から導出できます！

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

★区間推定のポイント

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

サタースウェイトの等価自由度が導出できる【本記事限定】 サタースウェイトの等価自由度が導出できる方法をわかりやすく解説します！

★分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、a,b,c,d,eの分散の推定値E[V]を導出します。すべて変量因子なのでE[V]を求めます。

上の表から、分散の推定値を求めます。
・\(\widehat{σ_A}^2=\frac{1}{bcde}(V_A-V_B)\)
・\(\widehat{σ_B}^2=\frac{1}{cde}(V_B-V_C)\)
・\(\widehat{σ_C}^2=\frac{1}{de}(V_C-V_D)\)
・\(\widehat{σ_D}^2=\frac{1}{e}(V_D-V_e\)
・\(\widehat{σ_e^2}\)=V_e

データの構造式

★主効果Aの点推定と区間推定

●点推定：　\(\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i･･‥}}\)=\(\widehat{μ+α_i}\)
=\(μ+α_i +\bar{β_{i･}}+\bar{γ_{i‥}}+\bar{δ_{i‥･}}+\bar{e_{i･…}}\)

●分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(α_i))\)
=V[\(μ+α_i +\bar{β_{i･}}+\bar{γ_{i‥}}+\bar{δ_{i‥･}}+\bar{e_{i･…}}\)]
=V[\(\bar{β_{i･}}+\bar{γ_{i‥}}+\bar{δ_{i‥･}}+\bar{e_{i･…}}\)]
=\(\frac{1}{b}V_B\)+ \(\frac{1}{bc}V_C\)+\(\frac{1}{bcd}V_C\)+\(\frac{1}{bcde}V_e\)

Vが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

★主効果Cの点推定と区間推定

●点推定：　\(\widehat{μ}(C_k)=\bar{x_{ijk‥}}\)=\(\widehat{μ+α_i+β_{ij}+γ_{ijk}}\)
=\(μ+α_i +β_{ij}+γ_{ijk}+\bar{δ_{ijk･}}+\bar{e_{ijk‥}}\)

●分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(α_i+β_{ij}+γ_{ijk}))\)
=V[\(μ+α_i +β_{ij}+γ_{ijk}+\bar{δ_{ijk･}}+\bar{e_{ijk‥}}\)]
=V[\(\bar{δ_{ijk･}}+\bar{e_{ijk‥}}\)]
=\(\frac{1}{d}V_D\)+\(\frac{1}{de}V_e\)

Vが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。

QC検定®１級、過去全回分の問題と実験計画法参考書を研究して、作り上げたオリジナル良問30題を1500円で提供します。ぜひご購入、学習して合格しましょう。

実験計画法をマスターしたい方に、必須な演習問題集(2500円)を作成しました。しっかり勉強して究めましょう。

以上、「枝分かれ実験(直列型)の分散分析・区間推定が解ける【必見】」を解説しました。