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乱塊法(2因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

実験計画法

乱塊法

「乱塊法って何なの？」、「乱塊法の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、乱塊法の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

乱塊法(2因子)の分散分析や期待値の導出ができる

乱塊法(2因子)の分散分析や期待値の導出

  • ➀乱塊法とは何かがわかる
  • ②乱塊法(2因子)のデータの構造式が書ける
  • ③乱塊法(2因子)の平方和の分解の式が書ける
  • ④乱塊法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
  • ⑤乱塊法の分散分析ができる
  • ⑥乱塊法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
  • ⑦乱塊法(2因子)の分散分析を導出できる演習問題

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！

●You tube動画もご確認ください。

➀乱塊法とは何かがわかる

関連記事に解説しています。

ポイントは次の3つです。

  1. 英語をそのまま日本語にするから変な言葉(乱塊法)になる
  2. フィッシャーの農場の歴史や局所管理の内容は理解しなくても大丈夫
  3. データの構造式を理解すれば乱塊法は怖くない！

データの構造式から乱塊法を理解する

  1. 完全配置実験のデータの構造式を作る
  2. 一部の項を変形すれば乱塊法になる

完全配置実験のデータの構造式を乱塊法へ変形するプロセスが理解できれば十分です。

②乱塊法(2因子)のデータの構造式が書ける

データの構造式

2因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。

二元配置実験のデータの構造式

xijk=μ+αi+βj+(αβ) ij+eijk

次に、乱塊法に変形します。ここで、βjを反復因子としてブロック因子に定義します。因子Aは調べたい因子、Bは反復因子として区別します。

  1. 調べたい因子A：主効果と互いの交互作用を対象
  2. 反復因子B:主効果のみ

反復因子Bと因子Aとの交互作用に意味を持たないため、残差にプーリング

します。

まとめると、次の式変形を行います。

  1. βjをαiの前に持っていく
  2. (αβ) ijとeijkをeijに合併する。
    (添字kを消去します。)

乱塊法(2因子)のデータの構造式

xij=μ+βj+αi+ eij
とすれば、乱塊法に変えることができます。
二元配置実験で交互作用を含まない場合のデータの構造式と同じですね。

各平均値をデータの構造式で作る

母数因子と変量因子の違い

関連記事にて、母数因子と変量因子を解説しました。

母数因子と変量因子

母数因数：α
変量因子：β、e

平均値

母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。

平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。

平均値の式の代表例

データの構造式

xij=μ+βj+αi+ eij
\(\bar{x_{i･}}\)=μ+\(\bar{β}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{i･}}\)
\(\bar{x_{･j}}\)=μ+\(β_j\)+\(\bar{e_{･ｊ}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{β}\)+\(\bar{\bar{e}}\)

③乱塊法(2因子)の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。

SA SB Se
\(x_{ij}\) 1
\(\bar{x_{i･}}\) 1 -1
\(\bar{x_{･j}}\) 1 -1
\(\bar{\bar{x}}\) -1 -1 1

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。SB ,Seを例に挙げます。

\(S_B\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\( (\bar{x_{･j}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_e\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i･}}-\bar{x_{･j}}+\bar{\bar{x}})^2\)

と書けますね。

④乱塊法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事をご覧下さい。

主効果の分散の期待値の導出

E[\(S_B\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\( (\bar{x_{i･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\( (β_j+\bar{e_{･j}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((β_j )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((\bar{e_{･j}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(a(b-1)σ_B^2\) +\((b-1)(σ_e^2\))

主効果Bの自由度は(b-1)より、分散の期待値E[VB]が求まります。
E[\(V_B\)]=\(aσ_C^2\) +\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_B^2\)=E[\(\frac{\sum_{j=1}^{b}β_j^2}{b-1}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

残差の分散の期待値の導出

E[\(S_e\)]= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((x_{ij}-\bar{x_{i･}}-\bar{x_{･j}}+\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((e_{ij}-\bar{e_{i･}}-\bar{e_{･j}}+\bar{\bar{e}})^2\)]
=(ab-a-b+1)\(σ_e^2\)
=(a-1)(b-1) \(σ_e^2\)
E[\(S_e\)]=(a-1)(b-1)\(σ_e^2\)
(全計算過程は解説集にあります)

残差eの自由度は(a-1)(b-1)より、分散の期待値E[Ve]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。計算は複雑ですが、自由度で割ると\(σ_e^2\)になることがわかります。

E[e]=\(σ_e^2\)

⑤乱塊法の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事に解説しています。まとめると次の3つです。

  1. データの構造式を書く
  2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
  3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

自由度をまとめます。

SA SB Se
a 1 -1
b 1 -1
ab 1
1 -1 -1 1

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

φ E[V]
A a-1 \(σe^2\)+b\(σ_A^2\)
B b-1 \(σe^2\)+a\(σ_B^2\)
e (a-1)(b-1) \(σe^2\)
T ab-1 –

⑥乱塊法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

  1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
  2. 誤差eの自由度φeである。
  3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

　　

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
VB=\(σe^2\)+a\(σ_B^2\)
Ve=\(σe^2\)
よって、
\(\widehat{σ_B^2}\)= \(\frac{1}{a}\)( VB-Ve)
\(\widehat{σ_e^2}\)= Ve

主効果Aの点推定と区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i･}}\)=\(\widehat{μ+α_i}\)
=\(μ+\bar{β}＋α_i +\bar{e_{i･}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}( A_i))\)
=V[μ+\(\bar{β} +\bar{e_{i･}}\)]
=V[\(\bar{β}\)]+V[\(\bar{e_{i･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_B^2}}{b}\)+\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{b}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

主効果Bの点推定と区間推定

点推定：　\(\widehat{μ}(B_j)=\bar{x_{･j}}\)=\(\widehat{μ+β_j}\)
=\(μ+\bar{r}＋β_j +\bar{e_{･j}}\)

分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}( B_j))\)
=V[μ+β_j +\bar{e_{･j}}\)]
=V[\(β_j \)]+V[\(\bar{e_{･j}}\)]
=\(\widehat{σ_B^2}\)+\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{a}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑦乱塊法(2因子)の分散分析を導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。

【問】2因子交互作用を含む乱塊法について、次のデータの構造式を考える。
xij=μ+βj+αi+ eij
因子A,Bの自由度はそれぞれa,bとする。
また因子Bは反復として変量因子として扱う。
(1)主効果、交互作用、残差eの自由度と分散の期待値を導出せよ。
(詳細は解説集にあります。)

まとめ

乱塊法(2因子)の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

  • ➀乱塊法とは何かがわかる
  • ②乱塊法(2因子)のデータの構造式が書ける
  • ③乱塊法(2因子)の平方和の分解の式が書ける
  • ④乱塊法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
  • ⑤乱塊法の分散分析ができる
  • ⑥乱塊法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
  • ⑦乱塊法(2因子)の分散分析を導出できる演習問題


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