二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】
「平方和がなぜ分解できるのかがわからない、解けない」、「主効果、交互作用、残差の各値が計算できない」、「主効果、交互作用、残差の和が0になる理由がわからない」、など、実験計画法や分散分析に不慣れで困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解
- ①二元配置実験(交互作用有り)のデータの分解方法がわかる
- ②二元配置実験(交互作用有り)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
- ③二元配置実験(交互作用有り)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる
記事の信頼性
記事を書いている私は、QC検定®１級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけています。とはいえ、QC検定®1級合格前の1.5年前までは、実験計画法すら知りませんでした。実験計画法を初めて勉強して3ヶ月後にQC検定®2級を合格しました。実験計画法はまったく理解できていませんでしたが、計算方法だけ暗記して点数を稼ぐレベルでした。
本記事は、実験計画法を学び始めるときに、なぜ？と不思議に思う内容をわかりやすく解説します。すぐ読めます！
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①二元配置実験(交互作用有り)のデータの分解方法がわかる
データの構造式
二因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。
実験計画法は慣れないうちは、分散分析ができることを最優先するので、
データの構造式は見なくてもOKです。
しかし、データの構造式さえあれば全部計算できるので、機械的に書きましょう。
二元配置実験(交互作用有り)のデータの構造式
xijk=μ+αi+βj+(αβ)ij+eijk
二元配置実験をデータ分解する
因子と水準の違いは説明できますか？
関連記事一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】に解説していますが、
一言でいうと次の通りです。
【簡単】因子と水準の違い
水準はレベル(英語にするとわかりやすい)
二元配置実験(交互作用有り)のデータを用意します。
| xijk | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 11 | 4 | 19 | 19 |
| 5 | 14 | 7 | 1 | |
| A2 | 3 | 21 | 15 | 31 |
| 13 | 9 | 23 | 21 | |
| A3 | 24 | 15 | 46 | 54 |
| 10 | 33 | 34 | 48 | |
データの分解方法
- 全体の平均μを求める
- 主効果\(α_i\)、\(β_j\)の各値を求める
- 交互作用\((αβ)_{ij}\)の各値を求める
- 残差\(e_{ijk}\)は残りの値
計算して、表を作ってみた方がわかりやすいです。
(i)全体の平均μを求める。
μ=合計/個数=480/24=20
| xijk | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 11 | 4 | 19 | 19 |
| 5 | 14 | 7 | 1 | |
| A2 | 3 | 21 | 15 | 31 |
| 13 | 9 | 23 | 21 | |
| A3 | 24 | 15 | 46 | 54 |
| 10 | 33 | 34 | 48 | |
(ii)主効果\(α_i\)の各値(i=1,2,3)を求める
\(α_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{11+4+19+19+5+14+7+1}{8}\)-20=-10
\(α_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{3+21+15+31+13+9+23+21}{8}\)-20=-3
\(α_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{24+15+46+54+10+33+34+48}{8}\)-20=13
| αi | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | -10 | |||
| A2 | -3 | |||
| A3 | 13 | |||
(ii)主効果\(β_j\)の各値(j=1,2,3,4)を求める
\(β_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{11+5+3+13+24+10}{6}\)-20=-9
\(α_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{4+14+21+9+15+33}{6}\)-20=-4
\(α_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{19+7+15+23+46+34}{6}\)-20=4
\(α_4\)=(水準4の平均)―μ=\(\frac{19+1+31+21+54+48}{6}\)-20=9
| βj | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | -9 | -4 | 4 | 9 |
| A2 | ||||
| A3 | ||||
(iii)交互作用\((αβ)_{ij}\)の各値を求める
\((αβ)_{11}\)～\((αβ)_{34}\)の全12種類を計算します。
\(αβ_{11}\)=(AB11の平均)―μ―α1―β1=\(\frac{11+5}{2}\)-20-(-10)-(-9)=7
\(αβ_{12}\)=(AB12の平均)―μ―α1―β2=\(\frac{4+14}{2}\)-20-(-10)-(-4)=3
…
\(αβ_{14}\)=(AB14の平均)―μ―α1―β4=\(\frac{19+1}{2}\)-20-(-10)-9=-9
…
\(αβ_{34}\)=(AB34の平均)―μ―α3―β4=\(\frac{54+48}{2}\)-20-13-9=9
ちょっとややこしい計算ですが、
SA×B=SAB– SA– SB
と連想すれば計算式が理解しやすいですね。
| (αβ)ij | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 7 | 3 | -1 | -9 |
| A2 | 0 | 2 | -2 | 0 |
| A3 | -7 | -5 | 3 | 9 |
(iv) 残差\(e_{ijk}\)は残りの値
\(ε_{ijk}\)=\(x_{ijk}\)-μ-\(α_i\)-\(β_j\)-\((αβ)_{ij}\)
例えばi=2,j=3,k=2としましょう。
\(ε_{232}\)=\(x_{232}\)-μ-\(α_2\)-\(β_3\)-\((αβ)_{23}\)
=23-20-(-3)-4-(-2)=4
これをすべてのijkについて計算します。
| εijk | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 3 | -5 | 6 | 9 |
| -3 | 5 | -6 | -9 | |
| A2 | -5 | 6 | -4 | 5 |
| 5 | -6 | 4 | -5 | |
| A3 | 7 | -9 | 6 | 3 |
| -7 | 9 | -6 | -3 | |
まとめると次のようにデータが分解できます。
データの分解のまとめ
| xijk | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 11 | 4 | 19 | 19 |
| 5 | 14 | 7 | 1 | |
| A2 | 3 | 21 | 15 | 31 |
| 13 | 9 | 23 | 21 | |
| A3 | 24 | 15 | 46 | 54 |
| 10 | 33 | 34 | 48 | |
=
| μ | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 20 | |||
| A2 | ||||
| A3 | ||||
+
| αi | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | -10 | |||
| A2 | -3 | |||
| A3 | 13 | |||
+
| βj | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | -9 | -4 | 4 | 9 |
| A2 | ||||
| A3 | ||||
+
| (αβ)ij | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 7 | 3 | -1 | -9 |
| A2 | 0 | 2 | -2 | 0 |
| A3 | -7 | -5 | 3 | 9 |
+
| εijk | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 3 | -5 | 6 | 9 |
| -3 | 5 | -6 | -9 | |
| A2 | -5 | 6 | -4 | 5 |
| 5 | -6 | 4 | -5 | |
| A3 | 7 | -9 | 6 | 3 |
| -7 | 9 | -6 | -3 | |
②二元配置実験(交互作用有り)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
データの構造式
xijk=μ+ αi+βj+(αβ)ij+eijk
の、各i,j,kに対する値について、表を使って計算しました。
次に平方和を導出しましょう。
平方和の分解を導出
データの構造式
xijk=μ+ αi+βj+(αβ)ij+eijk
を
xijk-μ=αi+βj+(αβ)ij+eijk
と変形し、両辺を2乗したものにΣiΣjΣkをつけます。
\(\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}( x_{ijk}-μ)^2\)
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(α_i+β_j+(αβ)_{ij}+e_{ijk})^2\)
右辺は、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)\)
+2\((α_i β_j+α_i (αβ)_{ij}+α_i e_{ijk}+β_j (αβ)_{ij} +β_j e_{ijk} +(αβ)_{ij} e_{ijk})\)
ここで、(右辺の) 2乗項以外の中間項の和はすべて0になるため、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)\)
となります。中間項の和が0になることを後で１つずつ数値をいれて計算して確かめましょう。
まとめると、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}( x_{ijk}-μ)^2\)
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)\)
これが、
ST= SA+ SB+ SA×B+ Se
となり、平方和の分解ができるのです。
平方和は分解できるのです。
でも、慣れないうちは難解なので、
次の表を使って平方和の分解ができることを理解しましょう。
データの分解した表から平方和の分解を導出
データの構造式
xijk=μ+ αi+βj+(αβ)ijeijk
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。
すべての値を2乗しましょう。
| xijk | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 121 | 16 | 361 | 361 |
| 25 | 196 | 49 | 1 | |
| A2 | 9 | 441 | 225 | 961 |
| 169 | 81 | 529 | 441 | |
| A3 | 576 | 225 | 2116 | 2916 |
| 100 | 1089 | 1156 | 2304 | |
| 計 | 14468 | |||
| μ | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 400 | 400 | 400 | 400 |
| 400 | 400 | 400 | 400 | |
| A2 | 400 | 400 | 400 | 400 |
| 400 | 400 | 400 | 400 | |
| A3 | 400 | 400 | 400 | 400 |
| 400 | 400 | 400 | 400 | |
| 計 | 9600 | |||
| αi | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 100 | 100 | 100 | 100 |
| 100 | 100 | 100 | 100 | |
| A2 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 9 | 9 | 9 | 9 | |
| A3 | 169 | 169 | 169 | 169 |
| 169 | 169 | 169 | 169 | |
| 計 | 2224 | |||
| βj | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 81 | 16 | 16 | 81 |
| 81 | 16 | 16 | 81 | |
| A2 | 81 | 16 | 16 | 81 |
| 81 | 16 | 16 | 81 | |
| A3 | 81 | 16 | 16 | 81 |
| 81 | 16 | 16 | 81 | |
| 計 | 1164 | |||
| (αβ)ij | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 49 | 9 | 1 | 81 |
| 49 | 9 | 1 | 81 | |
| A2 | 0 | 4 | 4 | 0 |
| 0 | 4 | 4 | 0 | |
| A3 | 49 | 25 | 9 | 81 |
| 49 | 25 | 9 | 81 | |
| 計 | 624 | |||
| εijk | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 9 | 25 | 36 | 81 |
| 9 | 25 | 36 | 81 | |
| A2 | 25 | 36 | 16 | 25 |
| 25 | 36 | 16 | 25 | |
| A3 | 49 | 81 | 36 | 9 |
| 49 | 81 | 36 | 9 | |
| 計 | 856 | |||
表の和をまとめると、
14468=9600+2224+1164+624+856
と一致します。あら、不思議！
実際、合計,因子A,残差eに対する平方和Sは、
ST14468-9600=4868
SA=2224
SB=1164
SA×B=624
Se=856
となります。
表から中間項の和が0になることを確認
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i β_j\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i (αβ)_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i e_{ijk}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}β_j (αβ)_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}β_j e_{ijk} \)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβ)_{ij} e_{ijk}\)=0
となります。式変形で証明しても良いですが、慣れないうちは、具体的に計算して確認しましょう。
6つ紹介するとくどいので、１つだけ代表例をみましょう。
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβ)_{ij} e_{ijk}\)=0
をやってみましょう。
| (αβ)ij | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 7 | 3 | -1 | -9 |
| A2 | 0 | 2 | -2 | 0 |
| A3 | -7 | -5 | 3 | 9 |
×
| εijk | ||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | |
| A1 | 3 | -5 | 6 | 9 |
| -3 | 5 | -6 | -9 | |
| A2 | -5 | 6 | -4 | 5 |
| 5 | -6 | 4 | -5 | |
| A3 | 7 | -9 | 6 | 3 |
| -7 | 9 | -6 | -3 | |
=
| (αβ)ij×εijk | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | 計 | |
| A1 | 21 | -15 | -6 | -81 | 0 |
| -21 | 15 | 6 | 81 | ||
| A2 | 0 | 12 | 8 | 0 | 0 |
| 0 | -12 | -8 | 0 | ||
| A3 | -49 | 45 | 18 | 27 | 0 |
| 49 | -45 | -18 | -27 | ||
| 計 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
黄色枠のとおり、合計は0になります。
③二元配置実験(交互作用有り)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる
数式から理由を理解する
【簡単】主効果、交互作用、残差の和が0である理由
その他の主効果、交互作用、残差の和は0になるのは当然！
データの構造式
xijk=μ+ αi+βj+(αβ)ij+ eijk
から、両辺に和をとります。
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}x_{ijk}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}μ\)=abcμ
より、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)αi+βj+(αβ)ij+ eijk
=0
で、α,β、εは独立した関係なので、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)αi=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)βj=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)(αβ)ij=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\) eijk=0
となります。
データの分解した表から理由を理解する
表でも確認しましょう。
主効果αi
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)αi=0
を確認します。
| αi | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | 計 | |
| A1 | -10 | 0 | |||
| A2 | -3 | ||||
| A3 | 13 | ||||
主効果βj
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)βj=0
を確認します。
| βj | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | 計 | |
| A1 | -9 | -4 | 4 | 9 | 0 |
| A2 | |||||
| A3 | |||||
交互作用αβij
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)αi=0
を確認します。さらにいうと、
\(\sum_{i=1}^{a}\)(αβ)ij=0
\(\sum_{j=1}^{b}\)(αβ)ij=0
が成り立つことを確認します。
| (αβ)ij | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | 計 | |
| A1 | 7 | 3 | -1 | -9 | 0 |
| A2 | 0 | 2 | -2 | 0 | 0 |
| A3 | -7 | -5 | 3 | 9 | 0 |
| 計 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
残差eij
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)eijk=0
を確認します。さらにいうと、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\)eijk=0
\(\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)eijk=0
が成り立つことを確認します。
| εijk | |||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | 計 | |
| A1 | 3 | -5 | 6 | 9 | 0 |
| -3 | 5 | -6 | -9 | ||
| A2 | -5 | 6 | -4 | 5 | 0 |
| 5 | -6 | 4 | -5 | ||
| A3 | 7 | -9 | 6 | 3 | 0 |
| -7 | 9 | -6 | -3 | ||
| 計 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
公式暗記の前に、具体的な数字を使った計算結果を見て、慣れていきましょう。
次のデータから成る三元配置実験において、データの分解と平方和の分解をせよ。
| C1 | C2 | C3 | C4 | ||
| A1 | B1 | 10 | 11 | 15 | 18 |
| 12 | 14 | 16 | 19 | ||
| B2 | 13 | 19 | 16 | 20 | |
| 14 | 22 | 17 | 22 | ||
| B3 | 15 | 16 | 20 | 23 | |
| 16 | 17 | 21 | 24 | ||
| A2 | B1 | 11 | 13 | 13 | 14 |
| 12 | 14 | 15 | 15 | ||
| B2 | 14 | 20 | 17 | 21 | |
| 15 | 23 | 18 | 23 | ||
| B3 | 17 | 15 | 20 | 13 | |
| 19 | 16 | 21 | 15 |
(詳細は解説集にあります。)
まとめ
二元配置実験の平方和の分解を詳細に解説しました。
- ①二元配置実験(交互作用有り)のデータの分解方法がわかる
- ②二元配置実験(交互作用有り)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
- ③二元配置実験(交互作用有り)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119