投稿者: QCプラネッツ

「確率変数の期待値と分散がいまいち解けない」などと困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

おさえておきたいポイント

• ①確率分布関数と確率の違いを理解する
• ➁確率変数の期待値と分散が解ける演習問題
• ➂確率変数の期待値と分散が解ける演習問題1
• ➃確率変数の期待値と分散が解ける演習問題2
• ➄確率変数の期待値と分散が解ける演習問題3
• ⑥確率変数の期待値と分散が解ける演習問題4

①確率分布関数と確率の違いを理解する

確率分布関数とは

実は、そんなに違いを意識する必要なく、

という感覚でOKです。

確率分布関数の和・積分が確率

確率を求める際、

数列のΣが出て来ます。

積分の∫が出て来ます。

なので、数列・積分・確率の練習をしましょう。

➁確率変数の期待値と分散が解ける演習問題

4問用意しました。

演習問題1

演習問題2

演習問題3

演習問題4

どうでしょうか？　すべて高校数学で解ける問題で、大学入試で出題されても良い良問ばかりです。この４問を使って、確率を数列と積分で解く習慣をつけましょう。

➂確率変数の期待値と分散が解ける演習問題1

問題

回答

【解】大学入試で出題された問題です。実際に書き出して、期待値と分散を計算します。

上表をもとに、数列を使って期待値、分散を計算します。

●期待値E(X)は
E(X)=1・\(\frac{2}{10}\)+2・\(\frac{1}{10}\)+3・\(\frac{2}{10}\)+4・\(\frac{1}{10}\)+5・\(\frac{2}{10}\)+7・\(\frac{1}{10}\)+9・\(\frac{1}{10}\)=4

●分散V(X)は
V(X)=\((1-4)^2\)・\(\frac{2}{10}\)+\((2-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)+\((3-4)^2\)・\(\frac{2}{10}\)+\((4-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)+\((5-4)^2\)・\(\frac{2}{10}\)+\((7-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)+\((9-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)=6

数列を使った１問でした。

➃確率変数の期待値と分散が解ける演習問題2

問題

回答

サイコロの問題は超有名なので、是非解きましょう。

1つ目のサイコロの目と２つ目のサイコロの目の出方はそれぞれ独立とします。
●E(X)=\(\frac{1}{6}\)(1+2+3+4+5+6)=\(\frac{7}{2}\)
●E(X²)=\(\frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)\)=\(\frac{91}{6}\)
●E(X)E(Y)=E(X)E(Y)= \(\frac{49}{4}\)
を使って問を解きます

(1)
● E(X+Y)=E(X)+E(Y)= \(\frac{7}{2}\)+\(\frac{7}{2}\)=7
●E((X+Y)²)=E(X²)+2E(X)E(Y)+E(Y²)
= \(\frac{91}{6}\)+2・\(\frac{7}{2}\)・\(\frac{7}{2}\)+ \(\frac{91}{6}\)= \(\frac{329}{6}\)
●V(X+Y)= E((X+Y) ²)- E(X+Y) ²
=\(\frac{329}{6}\)-49=\(\frac{35}{6}\)

(2)
● E(XY)=E(X)E(Y)= \(\frac{7}{2}\)・\(\frac{7}{2}\)=\(\frac{49}{4}\)
●E((XY)²)=E(X²)・E(Y²)= \(\frac{91}{6}\)・\(\frac{91}{6}\)= \(\frac{8281}{36}\)
●V(XY)= E((XY)²)- E(XY) ²=\(\frac{8281}{36}\)-\(\frac{2401}{16}\)=\(\frac{11515}{144}\)

機械的に計算しながら、公式や数列の計算に慣れていきましょう。

➄確率変数の期待値と分散が解ける演習問題3

問題

回答

【問3】、【問4】は積分の演習問題です。

高校数学ですね。簡単な式で期待値、分散の積分計算に慣れていきましょう。

(1) \( \displaystyle \int_{-3}^{3} f(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{36}(-x^2+9)dx \)
=\(\frac{1}{36}\)\(\left[ -\frac{1}{3}x^3+9x \right]_{-3}^{3}\)=1
全区間の積分、つまり、全確率は合計１です。そりゃ、そうですよね！

(2)
●E[X]= \( \displaystyle \int_{-3}^{3} xf(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{36}x(-x^2+9)dx \)
=\(\frac{1}{36}\)\(\left[ -\frac{1}{4}x^4+\frac{9}{2}x^2 \right]_{-3}^{3}\)=0
となります。確かにy軸に対象な関数なので、平均は0ですね！確かに！

●E[X²]= \( \displaystyle \int_{-3}^{3} x^2f(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{36}x^2(-x^2+9)dx \)
=\(\frac{1}{36}\)\(\left[ -\frac{1}{5}x^5+3x^3 \right]_{-3}^{3}\)=\(\frac{9}{5}\)
より、
●V[X]= E[X²]―E[X] ²=\(\frac{9}{5}\)

積分慣れていきましょう。
●E[X]= \( \displaystyle \int_{a}^{b} xf(x)dx \)
●E[X²]= \( \displaystyle \int_{a}^{b} x^2 f(x)dx \)
を定義どおり、積分すれば確率・期待値・分散は計算できます。

⑥確率変数の期待値と分散が解ける演習問題4

問題

回答

(1)は離散系なので数列∑、(2)は連続系なので積分を使います。同じ問題ですが、連続系と離散系で計算結果が若干変わる点が面白いので、解いてみましょう！

(1)
●期待値E=\(\sum_{i=1}^{n} i \frac{1}{n}\)=\(\frac{1}{n} \frac{1}{2}n(n+1)\)=\(\frac{1}{2}(n+1)\)
●分散V＝\(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}(i-\frac{n+1}{2})^2 \)=\(\frac{1}{12}(n+1)(n-1)\)

(2)
●期待値E=\( \displaystyle \int_{0}^{n} xf(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{0}^{n} x \frac{1}{n})dx \)=\(\frac{n}{2}\)
●分散V＝E(X²)-E(X) ²=\( \displaystyle \int_{0}^{n} x^2 f(x)dx \)-\((\frac{n}{2})^2\)=\(\frac{n^2}{12}\)

表にすると、離散系と連続系で結果が若干かわります。

以上、数列・積分を使って、確率・期待値・分散が計算できることを確認しました。

まとめ

「【初心者必見！】確率変数の期待値と分散が解ける(高校数学で解ける！)」を解説しました。

• ①確率分布関数と確率の違いを理解する
• ➁確率変数の期待値と分散が解ける演習問題
• ➂確率変数の期待値と分散が解ける演習問題1
• ➃確率変数の期待値と分散が解ける演習問題2
• ➄確率変数の期待値と分散が解ける演習問題3
• ⑥確率変数の期待値と分散が解ける演習問題4

基本統計量

「正規分布がいまいちよくわからない」などと困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

おさえておきたいポイント

• ①正規分布の概形を描いてみよう！(高3レベル)
• ➁正規分布に近いグラフを描いてみよう！(高3レベル)
• ➂正規分布の積分の近似値を解いてみよう！(高2レベル)

正規分布に慣れる良問を持ってきましたので、一緒に解きながら慣れていきましょう！

①正規分布の概形を描いてみよう！(高3レベル)

例題

　理系の高校数学の定期試験問題レベルです。ここは、しっかり解けるようにしましょう。

問(1)の回答

微分します。
●\(f’(x)\)=\(-x e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\(f’’(x)\)=\((-1+x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}\)

ここで、極値と変曲点を考えます。
●\(f’(x)\)=0のときは、\(x\)=0 で、
●\(f’’(x)\)=0のときは、\(x\)=±1 なので、
増減表ができますね。

増減表をもとに、概形を描くと下図になります。

高校数学では、あまり\(e^{-\frac{x^2}{2}}\)の式が出ませんが、特に気にせず、普通に微分積分すれば解けます！

➁正規分布に近いグラフを描いてみよう！(高3レベル)

正規分布の式になぜ正規分布表があるのか？

統計学やQCを勉強すると、必ず、正規分布表の読み方などを勉強しますが、
何で、あんな表があるかわかりますか？　この疑問を持つことの方が表の読み方の勉強より大事です！

不定積分が計算できないのに、なぜか定積分は計算できる
変な式です。だから、理解が難しい！

次の例題に行きましょう。

例題

問(1)の回答

テイラー展開は教科書どおりで、\(x=0\)のまわりで、テイラー展開すると
\(f(x)\)=\(f(0)\)+\(\frac{f^{(1)}(0)}{1!} x^1\)+\(\frac{f^{(2)}(0)}{2!} x^2\)+\(\frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3\)+\(\frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4\)+…

どんどん微分しましょう。この微分は良い練習です。是非計算しましょう！
●\( f^{(1)}(x)\)=\(-x e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\( f^{(2)}(x)\)=\((-1+x^2) e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\( f^{(3)}(x)\)=\((-x^3+3x) e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\( f^{(4)}(x)\)=\((x^4-6x^2+3) e^{-\frac{x^2}{2}}\)

より、\(x=0\)を代入して、\(f(x)\)の近似式を計算すると、
●\( f^{(1)}(0)\)=0
●\( f^{(2)}(0)\)=-1
●\( f^{(3)}(0)\)=0
●\( f^{(4)}(0)\)=3
となるので、

近似式の概形と正規分布の概形を描いてみる

近似式は４次関数で高２レベルですね。Excelでグラフを描いてみましょう。

確かに、\(x=0\)付近は２つのグラフは重なっていますね。近似値からでも正規分布の定積分は精度よく求められそうですね。

➂正規分布の積分の近似値を解いてみよう！(高2レベル)

問(2)を再掲

では、２つの関数の積分を解いてみましょう。

正規分布表から確認

正規分布表から値を読みます。正規分布表の読み方は大丈夫でしょうか？一応解説します。

上表のマーカ部でKp＝1.00の値「0.1587」を見ますが、
これは、\( \displaystyle \int_{1}^{∞}\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx \)の値なので、
0.5-0.1587=0.3413が、求めたい積分値\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx \)です。

何を言っているかわからない場合は、正規分布の基礎を復習しましょう。関連記事を紹介します。

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近似式の定積分

\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}}(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8})dx \)を計算します。高２レベルです。

\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}}(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8})dx \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{103}{120}\)=0.3425
となります。この計算もやってみてください。

積分値の比較

●正規分布の場合は、0.3413
●近似式の場合は、0.3425
とほぼ一致していますね。差は0.4%!

グラフ見れば、x=0～1の区間は2つのグラフのｙの値はほぼ一致していますね。

まとめ

「【初心者必見！】正規分布の概形、近似式、定積分が解ける！(高校数学で解ける！)」を解説しました。

• ①正規分布の概形を描いてみよう！(高3レベル)
• ➁正規分布に近いグラフを描いてみよう！(高3レベル)
• ➂正規分布の積分の近似値を解いてみよう！(高2レベル)

基本統計量