「混合系直交表L18がわからない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
混合系直交表L18がわかる
おさえておきたいポイント
- ①混合系直交表L18とは
- ➁L18のデータの構造式
- ➂L18の平方和の分解
- ➃L18の分散の期待値と分散分析
- ➄母平均の点推定と区間推定
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データの構造式
実験計画法を理論的に理解してから
ロバストパラメータ設計に入ろう！
①混合系直交表L18とは
混合系直交表L18って例外パターンだよ！
ロバストパラメータ設計やタグチメソッドでは
突然変異型である
混合直交表L18や直交表L12などを使いたがります。
なぜかは、よくわかりません。
直交表を自分で作るとよくわかるのですが、
- データの構造式と直交表列は連動する
- 主効果、交互作用を網羅した直交表がスタンダート
- 8,16,9,27,などの素数のべき乗の方が網羅できる
- 混合直交表L18や直交表L12などは例外的にたまたま見つかったもの
という感情が出ます。実際に自力で直交表を作ってみてください。関連記事にもご参照ください。
さらに頭を悩ませるのが、
ロバストパラメータ設計や
タグチメソッドは
混合系直交表L18や直交表L12などが前提になる事が多いが
なぜなんだろう？
ちゃんと理論を理解した上で、
必要に応じて混合系など使った方がいい。
計算機が未熟な時代は
確かに必須な手法。
でも、今はExcelでも簡単に解析できる時代。
だから理論をしっかり理解したい！
まずは、混合系直交表L18を攻略しましょう。
直交表L18とは
下表が直交表L18です。狙って設計するよりは、振ってたまたま出てきた表というイメージが強いです。
ＱＣプラネッツはExcel VBAを使って、実際に直交表を作ったので、L18はたまたまできた副産物的なイメージがありますし、結構、計算機を何度も回して見つけた努力の結晶かもしれません。
| L18 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
e |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
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1 |
2 |
2 |
2 |
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2 |
2 |
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3 |
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3 |
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1 |
| 6 |
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1 |
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| 7 |
1 |
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| 9 |
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1 |
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2 |
3 |
3 |
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1 |
2 |
3 |
1 |
特徴的なのが、
1列だけ2水準で、残り7列が3水準系という不規則な混合系であること
交互作用が一切ないところ
L18について、
●データの構造式
●平方和の分解
●母平均の点推定と区間推定
を解いてみましょう。
本記事は、実験計画法ですが、L18はロバストパラメータ設計によく使うので、ロバストパラメータ設計の章で解説します。
なお、実験計画法については、しっかりまとめた関連記事がありますので、確認ください。70記事もある超大作です。
➁L18のデータの構造式
L18は交互作用がないので、全列独立した変数で表記します。これがL8,L9,L16の一般的な直交表と違う点ですね。
なので、データの構造式は
\(x\)=\(μ\)+\(a\)+\(b\)+…+\(g\)+\(ε\)
(8番目を\(ε\)とします)
もう少し詳細に書くと、
(\(x_i-\bar{\bar{x}}\))=(\(\bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{bi}}-\bar{\bar{x}}\))+…+(\(\bar{x_{gi}}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(x_i –(\bar{x_{ai}}+…+\bar{x_{ji}})+6\bar{\bar{x}}\))
と書けますね。慣れないと難しいかもしれませんが、頑張っていきましょう。
➂L18の平方和の分解
データの構造式から平方和を計算
データの構造式を再掲すると、
(\(x_i-\bar{\bar{x}}\))=(\(\bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{bi}}-\bar{\bar{x}}\))+…+(\(\bar{x_{gi}}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(x_i –(\bar{x_{ai}}+…+\bar{x_{ji}})+6\bar{\bar{x}}\))
ですね。
これを2乗和すると、各項の平方和とその合計が全体の平方和に一致します。
ただし、式で証明するのは、大変なので、直交表を使って後で証明します。
証明したい式は
\(\sum_{i=1}^{12}( x_i-\bar{\bar{x}})^2\)
=\(\sum_{i=1}^{12}( \bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}})^2\) (⇒直交表１列目の平方和\(S_1\)に相当)
+\(\sum_{i=1}^{12}( \bar{x_{bi}}-\bar{\bar{x}})^2\) (⇒直交表2列目の平方和\(S_2\)に相当)
+…
+\(\sum_{i=1}^{12}( \bar{x_{gi}}-\bar{\bar{x}})^2\) (⇒直交表7列目の平方和\(S_7\)に相当)
+\(\sum_{i=1}^{12} ((x_i –(\bar{x_{ai}}+…+\bar{x_{gi}})+6\bar{\bar{x}})^2\)
(⇒直交表8列目の平方和\(S_8\)に相当)
です。
直交表を使って各列の平方和を計算
2水準系,3水準系の直交表各列の平方和を計算する公式があります。
もちろん自力で導出できます！関連記事で確認ください。
公式は、
●2水準系の場合
\(S_[k]\)=\(\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}\)
●3水準系の場合
\(S_[k]\)=\(\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2+(T_{[k]2}-T_{[k]3})^2+(T_{[k]3}-T_{[k]1})^2}{3N}\)
この式を使って直交表の各列の平方和を計算します。
直交表L18の各列の平方和を計算
では、データを用意して、直交表各列の平方和を計算します。その結果は下表のとおりです。実際に計算してみてくださいね。
| L18 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
e |
データ |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
12 |
| 2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
14 |
| 3 |
1 |
1 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
16 |
| 4 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
8 |
| 5 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
1 |
1 |
10 |
| 6 |
1 |
2 |
3 |
3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
11 |
| 7 |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
14 |
| 8 |
1 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
| 9 |
1 |
3 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
10 |
| 10 |
2 |
1 |
1 |
3 |
3 |
2 |
2 |
1 |
6 |
| 11 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
3 |
3 |
2 |
18 |
| 12 |
2 |
1 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
3 |
15 |
| 13 |
2 |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
2 |
11 |
| 14 |
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
13 |
| 15 |
2 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
8 |
| 16 |
2 |
3 |
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
2 |
12 |
| 17 |
2 |
3 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
3 |
14 |
| 18 |
2 |
3 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
20 |
| 1の合計 |
99 |
81 |
63 |
70 |
88 |
67 |
72 |
60 |
216 |
| 2の合計 |
117 |
61 |
73 |
84 |
61 |
71 |
67 |
76 |
– |
| 3の合計 |
0 |
74 |
80 |
62 |
67 |
78 |
77 |
80 |
– |
| 計 |
216 |
216 |
216 |
216 |
216 |
216 |
216 |
216 |
平方和計 |
| 平方和 |
27 |
34.33 |
24.33 |
41.33 |
67 |
10.33 |
8.33 |
37.33 |
250 |
なお、全体の平方和は
S=\(\sum_{i=1}^{18}x_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{18}x_i)^2}{12}\)
=280
になります。
ん？？？
おかしいぞ！
って気が付きませんか？
【注意！】直交表の平方和総和 <総平方和
直交表の全列の平方和の総和は、「250」
総平方和は、「280」
直交表の平方和総和 <総平方和！
何で一致しないの？
L12は一致したぞ！
直交表の平方和総和 <総平方和の理由
理由は簡単で、
3水準系の直交表に
1列だけ3より少ない2水準系を割り当てているから、
直交表の平方和総和がその分少なくなる
総平方和と直交表の平方和総和の差は何か？
自由度で評価すると、
●L12の場合、直交表は 11列、データは12個ある。自由度は12-1=11で列分ある。だから
直交表の平方和総和=総平方和
一方
●L18の場合、直交表は 8列、データは18個ある。自由度は18-1=17で
各列の自由度の和は (2-1)×1+(3-1)×7=15と17に比べて2少ないだから
直交表の平方和総和 <総平方和
つまり、
3水準系に2水準系を割当たため
自由度が2だけ小さくなった分
直交表の平方和総和 <総平方和
面白いですね。初めて知った人も多いはず。
さらに面白いのが、
少ない自由度2を
2=(2-1)×(3-1)と書くと
2水準系1列と3水準系1列の交互作用に相当する成分の差が
総平方和と直交表の平方和総和の差ともいえる
なので、その列をＡ、Ｂとすると、
\(S_{AB}\)成分の差が、総平方和と直交表の平方和総和の差と言うこともできますね。
式で書くと
●L12の場合
\(S_T\)=\(S_A\)+\(S_B\)+…+\(S_K\)
と(両辺)が一致するが、
●L18の場合
\(S_T\) >\(S_A\)+\(S_B\)+…+\(S_H\)
と(両辺)が一致せず、自由度2の交互作用に該当する成分を入れると
\(S_T\) =\(S_{A×B}\)+\(S_A\)+\(S_B\)+…+\(S_H\)
となる。
そうなると、
L18に
\(S_{A×B}\)成分の１列を追加したらいいじゃん！
と思いますが、
１列追加すると直交表の各列の直交条件が満たせなくなるため、
\(S_{A×B}\)成分の１列追加は直交表にはできません！
「混合系直交表の平方和の総和は
総平方和より小さくなる点に注意しよう！」
を理解しておきましょう。
混合系直交表などのトリッキーな直交表を使うと
追加で注意しないといけないことが増えるので、ＱＣプラネッツはL8,L16,L9,L27を使いたいという気持ちになってしまいます。
➃L18の分散の期待値と分散分析
平方和の分解を確認できたら、ＱＣプラネッツのこだわりである、
分散の期待値と分散分析表を確認しましょう。
先に結論を述べると、
混合系直交表の分散の期待値は綺麗に導出できない。式を立てて終わり
です。
1列目の平方和は
\(S_1\)=\(\sum_{i=1}^{18}(\bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}})^2\)
と書けます。
概略的な式変形になりますが、期待値の平方和を計算すると
E[\(S_1\)]=E[\(\sum_{i=1}^{18}(\bar{x_{ai}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{18}((\bar{x_{ai}}-\bar{x_{ea}})-\bar{\bar{x}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{18}( \bar{x_{ai}}-\bar{x_{ea}}) ^2\)]+ E[\(\sum_{i=1}^{18}(\bar{\bar{x}}^2\))]
=ここから文字式で計算ができません。
おそらく、
E[\(S_1\)]= E[\(\sum_{i=1}^{18}( \bar{x_{ai}}-\bar{x_{ea}}) ^2\)]+1×\(σ_e^2\)
となるはずです。これ以上、首をつっこんでも収集つかないので、一旦止めます。
直交表の全列も同様に途中まで解けます。
分散分析表をまとめます。
| – |
S |
Φ |
V |
F |
E[V] |
| A |
27 |
1 |
27 |
1.45 |
??+\(σ_e\) |
| B |
34.33 |
2 |
17.17 |
0.92 |
??+\(σ_e\) |
| C |
24.33 |
2 |
12.17 |
0.65 |
??+\(σ_e\) |
| D |
41.33 |
2 |
20.67 |
1.11 |
??+\(σ_e\) |
| E |
67 |
2 |
33.5 |
1.79 |
??+\(σ_e\) |
| F |
10.33 |
2 |
5.17 |
0.28 |
??+\(σ_e\) |
| G |
8.33 |
2 |
4.17 |
0.22 |
??+\(σ_e\) |
| e |
37.33 |
2 |
18.67 |
– |
\(σ_e\) |
| 計 |
250 |
15 |
– |
– |
– |
分散の期待値が？？としていますが、話を続けます。
➄母平均の点推定と区間推定
次の２つを考えましょう。
例題
次の母平均と区間推定を求めよ。
(i) \(μ_{A1}\)
(ii) \(μ_{A1B2C1}\)
データの構造式から母平均を計算
まず、データの構造式から母平均を計算します。
関連記事はここです。
●\(μ_{A1}\)=\(μ+a_1\)
=\(μ+(\bar{a_1})\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+\((\bar{x_{a1}}-\bar{\bar{x}})\)
=\(\bar{x_{a1}}\)⇒(式1)
=99/9=11
●\(μ_{A1B2C1}\)=\(μ+a_1+b_2+c_1\)
=\(μ+\bar{a_1}+ \bar{b_2}+ \bar{c_1})\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{a1}}-\bar{\bar{x}}\))
+(\(\bar{x_{b2}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{c1}}-\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{a1}}\)+ \(\bar{x_{b2}}\)+ \(\bar{x_{c1}}\)-2\(\bar{\bar{x}}\) ⇒(式2)
=99/9+61/6+63/6-2×216/18
=7.67
データの構造式から有効繰返数と区間推定を計算
次に区間推定を求めたいので、有効繰返数をデータの構造式から計算します。関連記事はここです。
●\(μ_{A1}\)の場合は
\(μ_{A1}\)=\(μ+a_1\) ⇒((式1)より)
=\(μ+(\bar{a_1}+\bar{e_a})\)
V[\(μ_{A1}\)]=V[\(\bar{e_a}\)]
=\(\frac{1}{9}σ_e^2\)=18.67/9=2.07
●\(μ_{A1B2C1}\)の場合は
\(μ_{A1B2C1}\)=\(μ+a_1+b2+c1\)
=\(\bar{x_{a1}}\)+ \(\bar{x_{b2}}\)+ \(\bar{x_{c1}}\)-2\(\bar{\bar{x}}\) ⇒((式2)より)
=\(μ+a_1+\bar{e_a}\)+\(μ+b_2+\bar{e_b}\)+\(μ+c_1+\bar{e_c}\)-2\((μ+\bar{\bar{e}})\)
=\(μ+a_1+b_2+c_1\)+\((\bar{e_a}+\bar{e_b}+\bar{e_c}-2\bar{\bar{e}})\)
V[\(μ_{A1B2C1}\)]=V[\(μ+a_1+b_2+c_1\)+\((\bar{e_a}+\bar{e_b}+\bar{e_c}-2\bar{\bar{e}})\)]
=V[\((\bar{e_a}+\bar{e_b}+\bar{e_c}-2\bar{\bar{e}})\)]
=(\(\frac{1}{9}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-2×\frac{1}{18})σ_e^2\)
=\(\frac{1}{3}σ_e^2\)=18.67/3=6.22
また、推定区間を求めるt(Φe,α=t(2,0.05)=4.303)より、
●\(μ_{A1B2C1}\)＝7.67(=母平均)±4.303(=t(Φe,α))×2.494(=\(\sqrt{V}\))=-3.06,18.40
となります。
まとめ
「混合系直交表L18がわかる」を解説しました。
- ①混合系直交表L18とは
- ➁L18のデータの構造式
- ➂L18の平方和の分解
- ➃L18の分散の期待値と分散分析
- ➄母平均の点推定と区間推定
ロバストパラメータ設計
