「畳み込み積分が、わからない、解けない？」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①畳み込み積分とは
- ➁畳み込み積分(X+Y=Z）
- ➂畳み込み積分(X-Y=Z）
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①畳み込み積分とは
畳み込み積分の基本をまとめた関連記事を確認ください。
簡単にわかる解説と、身近な事例を挙げています。高校数学で理解できるレベルなので安心ください。
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畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 畳み込み積分が計算できますか？本記事では畳み込み積分のイメージを高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。畳み込み積分の計算ができず困っている方は必見です。 |
➁畳み込み積分(X+Y=Z）
正規分布どうしの畳み込み積分を解析します。これがいわゆる「再生性」を確認する計算になります。計算を簡単にするため平均μ=0、標準偏差σ=1の正規分布で計算します。
例題
●\(f(x)\)= \(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}x^2}\)
●\(g(y)\)= \(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}y^2}\)
において、Z=X+Yを満たす確率密度関数\(h(z)\)を作れ。
難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。
- 畳み込み積分の式を作る
- 積分区間を確認(ここが一番難しい)
- 積分区間の場合分けに合わせて丁寧に計算
解法step1(畳み込み積分の式を作る)
\((t)+(x-t)=x\)の関係が成り立っています。
解法step2(積分区間を確認)
積分区間は全領域[-∞,∞]で、畳み込み積分をします。
難しそうに見えますが、この場合分けも高校数学、領域のところで学ぶ内容です。
解法step3(積分計算)
畳み込み積分
\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(z-x)dx \)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}x^2}・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(z-x)^2} dx \)
=\(\frac{1}{2π}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}(2(x-\frac{z}{2})^2+\frac{z^2}{2})} dx \)
=\(\frac{1}{2π} e^{-\frac{1}{2}・\frac{z^2}{2}} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}・2(x-\frac{z}{2})^2} dx \) ⇒(式1)
ここで、
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}・2(x-\frac{z}{2})^2} dx \)
において、
\(t=x-\frac{z}{2}\)とおくと、\(dt=dx\)なので、代入すると、
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}・2t^2} dt \)
この式は、ガウス積分となって
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}・2t^2} dt \)=\(\sqrt{π}\)
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx \)=\(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{a}}\) (\( a > 0 \))
(教科書に載っていますし、是非証明してみてください。)
(式1)は
=\(\frac{1}{2\sqrt{π}} e^{-\frac{1}{2}・\frac{z^2}{2}} \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}・\sqrt{2}} e^{-\frac{(z-0)^2}{2(\sqrt{2})^2}} \)⇒(式2)
平均μ、標準偏差σの正規分布の式は
\(\frac{1}{\sqrt{2π}・σ} e^{-\frac{(z-μ)^2}{2σ^2}} \)
ですから、（式２）は
μ=0,σ=\(\sqrt{1+1}\)=\(\sqrt{2}\)
を代入したものとなります。
平均=0+0=0,標準偏差σ=\(\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\)の正規分布になる
これは、正規分布の再生性という性質ですね。
正規分布の再生性
N(\(aμ_1+bμ_2\),\(a^2σ_1^2+b^2σ_2^2\))も正規分布になる
証明は正規分布の式を変形していくので、煩雑ですが淡泊です。本記事では割愛します。
正規分布どうしの畳み込み積分もできましたね！
➂畳み込み積分(X-Y=Z）
X+Y=ZからX-Y=Zに変えますが、解き方は全く同じです。でも端折らずに解説します。統計学は途中経過を端折ると読者が困ってしまいますから。
●\(f(x)\)= \(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}x^2}\)
●\(g(y)\)= \(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}y^2}\)
において、Z=X-Yを満たす確率密度関数\(h(z)\)を作れ。
難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。
- 畳み込み積分の式を作る
- 積分区間を確認(ここが一番難しい)
- 積分区間の場合分けに合わせて丁寧に計算
解法step1(畳み込み積分の式を作る)
\((t)-(t-x)=x\)の関係が成り立っています。
解法step2(積分区間を確認)
積分区間は全領域[-∞,∞]で、畳み込み積分をします。
難しそうに見えますが、この場合分けも高校数学、領域のところで学ぶ内容です。
解法step3(積分計算)
\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(z-x)dx \)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}x^2}・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(x-z)^2} dx \)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}x^2}・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(z-x)^2} dx \)
となり、実は、
なので、ここから先は、➁で解析した結果と同じになります。
いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！
本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！
まとめ
「畳み込み積分がよくわかる(畳み込み積分がよくわかる(正規分布どおし、再生性))」を解説しました。
- ①畳み込み積分とは
- ➁畳み込み積分(X+Y=Z）
- ➂畳み込み積分(X-Y=Z）
