カテゴリー: 統計学

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慣れてきたら、公式を見ましょう。

1変数の確率変数の変換方法と同様に決まった解法があります。

変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。

ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。

A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。

計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます！

では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます！

解いていきましょう。解法は、

ですから、１つずつ行きましょう。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{1}{5}(2z+w)\)
\(y\)=\(\frac{1}{5}(z-2w)\)
連立方程式から求められます。

次に、ヤコビアン行列から行列式ヤコビアンを求めます。

\(det J\)=\(\frac{2}{5}・(-\frac{2}{5})\)-\(\frac{1}{5}・\frac{1}{5}\)
=\(-\frac{1}{5}\)
で計算できます。

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(\frac{1}{2} × \frac{1}{5}(2z+w) ×\frac{1}{25}(z-2w)^2 ×|-\frac{1}{5}| dzdw\)
=\(\frac{1}{1250} (2z+w) (z-2w)^2 dzdw\)

よって、同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)= \frac{1}{1250} (2z+w) (z-2w)^2 \)
と計算できます。

なお、ここから\(z\)または、\(w\)だけの周辺確率分布関数が必要なら、不要な変数について積分が必要となります。

やってみましょう。

まず、\(X,Y\)の確率密度関数を定義します。
\(f(x)=1\) (0 ≤ \(x\) ≤ 1)
\(g(y)=1\) (0 ≤ \(y\) ≤ 1)

解き方は、

ですから、１つずつ行きましょう。

ここで、変換する変数を定義します。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{z}{w}\)
\(y\)=\(w\)

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
\frac{1}{w} & -\frac{z}{w^2} \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(\frac{1}{w}・1-0・(-\frac{z}{w^2}) \)
=\(\frac{1}{w} \)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね！

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
\(f(x(z,w)\)=1, \(g(x(z,w)\)=1に注意して、
=\( 1・1 \frac{1}{w} dzdw\)
=\(p(z,w)dzdw\)
=(式1)

結構、スッキリしますね！

2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。

なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。

ここで、注意なのが、

変数\(w\)については、以下の3つの場合分けが発生します。

となります。ここが難しいですね！

もう１つ事例を挙げます。次は、積分が困難なので、途中で終わる場合です。

やってみましょう。

解き方は、事例1と同じです。

ですから、１つずつ行きましょう。

ここで、変換する変数を定義します。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{z}{w}\)
\(y\)=\(w\)

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
\frac{1}{w} & -\frac{1}{w^2} \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(\frac{1}{w}・1-0・(-\frac{1}{w^2}) \)
=\(\frac{1}{w} \)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね！

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(λe^{-λx}・μe^{-μy}\)
=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}dw\)
=(式1)

よって、2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)は、
\(p(z,w)dzdw\)=\(λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}\)

2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。

なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。

ここで、注意なのが、

変数\(w\)については、以下2つの場合分けが発生します。

実は、この
\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞} λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}dw \)
の積分が非常に難しいです。なぜなら、

\(e^{-\frac{1}{w}}・e^{-w}\)の積分で、特に、\(e^{-\frac{1}{w}}\)が難しいです。

一旦ここで、保留しましょう。

うまく計算ができないパターンもブログとして掲載しますね。
教科書は、うまく計算ができる例だけしかないので、あたかもどんな関数でも変換ができるように錯覚しがちです。

とは、言っても、伝えたいことは

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=XY積の場合)」を解説しました。

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QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。勉強してスキルを高めましょう。

確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！

１つ条件があります！

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

関連記事に2変数の確率変数の変換の求め方をわかりやすく解説しています。

2変数の確率変数の変換がよくわかる(１変数の積の場合) 　2変数の変換の基礎と、積の場合をわかりやすく解説しています！

同じ１つの解法でイケますので、ご安心ください。

1変数の確率変数の変換方法と同様に決まった解法があります。

変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。

ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。

A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。

計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます！

では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます！

QCプラネッツでは、５つの事例を関連記事で紹介していきます。ご確認ください。

今回は、その２「t分布の確率密度関数の導出」です。

まず、\(X,Y\)の確率密度関数を定義します。
\(f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\) (\(x\) ≥ 0)
\(g(y)=\frac{1}{2π}e^{-\frac{1}{2}y^2}\) (-∞ ≤ \(x\) ≤ ∞)

解いていきましょう。解法は、

ですから、１つずつ行きましょう。

★(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す

ここで、変換する変数を定義します。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(w\)
\(y\)=\(z\sqrt{\frac{w}{n}}\)

★(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
\sqrt{\frac{w}{n}}& \frac{1}{2\sqrt{w}}
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(0・\frac{1}{2\sqrt{w}}\)-1・\(\sqrt{\frac{w}{n}}\)
=\(-\sqrt{\frac{w}{n}}\)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね！

★(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}w^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}}\)\(\frac{1}{2π}e^{-\frac{1}{2}z^2\frac{w}{n}}dzdw\)
(|det J|=\(\frac{w}{n}\))

さらに変形していきます。
=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}w^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{w})}dzdw\)
=\(p(z,w)\)

よって、同時確率密度関数\(p(z,w)\)は
\(p(z,w)= \frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}w^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{w})}dzdw\)
と計算できます。

なお、ここから\(z\)または、\(w\)だけの周辺確率分布関数が必要なら、不要な変数について積分が必要となります。

今回は\(h(z)\)と\(z\)についての関数が欲しいので、\(p(z,w)\)について\(w\)で積分します。
\( h(z)=\displaystyle \int_{-∞}^{∞} p(z,w)dw \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}\displaystyle \int_{0}^{∞}w^{\frac{n-1}{2}}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{n})}dw \)
=(式1)

ここで、\(w=x\)はもともと\(x\) ≤ 0ですから、積分区間を[0,∞]に変えています。

次に、\(\displaystyle \int_{0}^{∞}w^{\frac{n-1}{2}}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{n})}dw \)を計算します。よく見るとΓ関数にもっていけそうです。

一旦、次の積分を考えます。
\(\displaystyle \int_{0}^{∞}w^p e^{-aw}dw \)=(式2)
\(t=aw\)とすると、
\(w=\frac{t}{a}\),\(\frac{dt}{dw}=a\)となり、これを(式2)に代入します。

(式2)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞}(\frac{t}{a})^p e^{-t} (\frac{1}{a})dt\)
=\(\frac{1}{a^{p+1}}\displaystyle \int_{0}^{∞}t^p e^{-t}dt\)
=\(\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\)
=(式3)

ここで、Γ関数は
\(Γ(p+1)= \displaystyle \int_{0}^{∞}t^p e^{-t}dt\)\)
です。

(式1)に代入するため、(式3)の文字を置き換えます。
\(p=\frac{n-1}{2}\)
\(a=\frac{1}{2}(1+\frac{z^2}{n})\)
とおいて、(式１)に代入します。

(式1)
=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}\displaystyle \int_{0}^{∞}w^{\frac{n-1}{2}}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{n})}dw \)

=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}Γ(\frac{n}{2})}}\)\(\frac{Γ(\frac{n+1}{2})}{(\frac{1}{2}(1+\frac{z^2}{n})^{\frac{n+1}{2}})}\)
=(式4)

さらに、Γの式が複数あるので、ベータ関数でまとめられないか？を見ましょう。

普通気が付かないのですが、よくみると
\(\sqrt{π}\)=Γ\((\frac{1}{2})\)
とわかります。これを(式4)に代入します。

(式4)
=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}Γ(\frac{n}{2})}}\)\(\frac{Γ(\frac{n+1}{2})}{(\frac{1}{2}(1+\frac{z^2}{n})^{\frac{n+1}{2}})}\)
=\(\frac{1}{\sqrt{π}}B(\frac{1}{2},\frac{n}{2})(1+\frac{z^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}}\)
=(式5)

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

「t分布の確率密度関数の導出がよくわかる」を解説しました。