カテゴリー: 統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量の教科書的な確率密度関数の導出
• ➂順序統計量確率密度関数の導出がもっと理解できる

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‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量の教科書的な確率密度関数の導出

(1) 順序統計量の教科書的な確率密度関数の導出

関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-1} f(x)\)の導出についてです。

教科書の導出方法を解説します。

\(X\)=(\(X_1,…,X_n\))を\(n\)個の独立な確率標本とし、確率密度関数、および分布関数をそれぞれ\(f(x)\),\(F(x)\)とする。また、\(F_{(i)}\),\(i=1,…,n\)を\(i\)番目の順序統計量\(X_{(i)}\)の分布案数とする。

上図のように、事象\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx\)(\(δx\)は微小とする)の起こる確率Prは、二項定理を使って
Pr(\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx)\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\) \(F(x)^{i-1} (1-F(x+δx))^{n-i} (F(x+δx)-F(x))\)
=(式1)
と表現できる。

二項定理から見ると、
●\(F(x)\)が\(i-1\)個
●\(F(x+δx)-F(x)\)が1個
●残り\(1F(x+δx)\)が\(n-i\)個
を選ぶ、場合の数を求めるイメージです。

(式１)の微分が関数\(f_{(i)}(x)\)になるので、
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{ Pr}{δx} \)
=\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-1} f(x)\)
=(式2)

((式1)の中の、\((F(x+δx)-F(x))/δx\)⇒\(f(x)\)になります。)

続いて、教科書的な同時確率密度関数の導出も見ましょう。

(2) 順序統計量の教科書的な同時確率密度関数の導出

関数\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)の導出についてです。

教科書の導出方法を解説します。

2つの順序統計量\(X_{(i)}\)、\(X_{(ij)}\)について考えるが、
●1 < \(i\) < \(j\) < \(n\)
とする。この場合、
\(x_i\) < \(X_{(i)}\) \(X_{(i)}\) \(x_i + δx_i\)および\(x_j\) < \(X_{(j)}\) \(X_{(j)}\) \(x_j + δx_j\)が同時に起こる確率Prは、下図と二項定理を使って以下で表現できる。

Pr(\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx\),\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx\))
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(j-i-1)!1!(n-j)!}\) \(F(x)^{i-1} (F(x_j)-F(x_i +δx_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j + δx_j))^{n-j} (F(x_i +δx_i)-F(x_i)) (F(x_j +δx_j)-F(x_j))\)
=(式3)
で表現できる。

二項定理から見ると、
●\(F(x_i)\)が\(i-1\)個
●\(F(x_i+δx_i)-F(x_i)\)が1個
●\(F(x_j)-F(x_i + δx_i)\)が\(j-i-1\)個
●\(F(x_j+δx_j)-F(x_j)\)が1個
●1-\(F(x_j+δx_j)\)が\(n-j\)個
を選ぶ、場合の数を求めるイメージです。

(式3)の微分が関数\(f_{(i),(j)}(x)\)になるので、
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{ Pr}{δx_i δx_j} \)
=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
(ここで、\(C_{i,j}=\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}\))
=(式4)

((式3)の中の、
\((F(x_i+δx_i)-F(x_i))/δx_i\)⇒\(f_(i)(x)\)と
\((F(x_j+δx_j)-F(x_j))/δx_j\)⇒\(f_(j)(x)\)に
なります。)

➂順序統計量確率密度関数の導出がもっと理解できる

二項定理から導出できるのは事実ですが、順序よく並ぶイメージがまったくありません。

むしろ、順序よく並ぶ関数が先にあって、それを整えて作られたのが順序統計量の確率密度関数の形であるとQCプラネッツでは考えています。

なので、

1. 順序よく並ぶ関数の形を探す
2. 関数の値が綺麗になるように係数で整える

の順番で順序統計量の確率密度関数を考えていきます。

高校数学の関数で期待値が昇順に並ぶ例を学ぶ

1. 順序よく並ぶ関数の形を探す
2. 関数の値が綺麗になるように係数で整える

を簡単な事例で解説します！　しかも高校数学でできます！　

高校数学でしかも、\(x^n\)の式で、期待値が昇順に並ばせることができる関数があります。面白い！ので次の例題を提示します！大学入試に出題されてもいい良問です！

順序統計量の確率密度関数が理解できる高校数学問題

どうでしょう。見た目、大学入試か高校の実力試験に出ても違和感ないですよね！

ここからは、関連記事で詳細に解説しているので、読んでください。

順序統計量 確率密度関数の考え方がよくわかる 順序統計量が説明できますか？ 順序統計量の確率密度関数の式が理解・導出できますか？ 本記事では、確率密度関数の式の構成や理論をわかりやすく解説します。統計学を学ぶ方は必読です。

実は、上の例の(3)
期待値E’ [\(x_i\)]=\(\frac{5!}{i!(5-i)!}\)E[\(x_i\)]こそが順序統計量の確率密度関数の形になっていますし、この期待値を計算すると\(i/n\)に近い式になり、\(i\)を増やすと期待値もそれに従って順序よく増加し、下の図のイメージになります。

順序統計量の確率密度関数を理解する方法

再掲しますが、

1. 順序よく並ぶ関数の形を探す
2. 関数の値が綺麗になるように係数で整える

最初の、順序よく並ぶ関数の形を探すは、上の例題と関連記事の解説から
\(x^{i}(1-x)^{n-i}\)が関数の項にあれば、期待値は\(i\)を増やすごとに増加し、順序どおり並びます。

もっと一般化すると、
●\(x^{i}(1-x)^{n-i}\)が関数の項にあること
●\(f(x)^{i}(1-f(x))^{n-i}\)が関数の項にあること
●\(x^{i}(y-x)^{j-i} (1-y)^{n-j}\)が関数の項にあること
となると、これらも順序よく並びます。

まず、二項定理から導出するのではなく、順序よく並ぶ関数を用意することが先とQCプラネッツは考えます。

次に、関数の値が綺麗になるように係数で整えるために二項定理のような係数がつきます。

実際に、\(x^{i}(1-x)^{n-i}\)を積分するとベータ関数を適用し、計算結果が階乗!を使いまくる式になります。そのままは使いにくいので、「!」を無くすように関数の前に係数が付きます。

つまり、下図のように順序統計量の式は構成されています。これは同時確率密度関数の場合も同じです。

難しい公式を無理に暗記せず、意味を理解しましょう。順序統計量は意味をよく理解することが大事です。

まとめ

「順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量の教科書的な確率密度関数の導出
• ➂順序統計量確率密度関数の導出がもっと理解できる

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量の期待値・分散を復習する
• ➂順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の期待値・分散の導出
• ➃順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の期待値の導出
• ➄順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の分散の導出

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‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量の期待値・分散を復習する

いきなり、同時分布の事例を読むと、苦戦します。なので、最初は、一変数の事例から読んで欲しいです。関連記事を紹介します。

一様分布

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

指数分布

順序統計量(指数関数)がよくわかる 順序統計量が説明できますか？ 本記事は指数分布の場合における順序統計量の期待値と分散を丁寧に導出します。順序統計量や統計学を学ぶ人は必読です。

正規分布

順序統計量(正規分布)がよくわかる 順序統計量は説明できますか？本記事では正規分布の順序統計量をわかりやすく解説します。正規分布の順序統計量を定義式から解析的に導出できないため、順序統計量の定義を見直す必要があることを提案します。数学は公式として従うのものではなく式を理解して定義するものでもあります。順序統計量や統計学を学ぶ方は必読です。

➂順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の期待値・分散の導出

実例として一様分布で期待値・分散を計算します。他の分布関数ではちょっと計算が大変なので。

同時確率密度関数\(f_{(i),(j)}(x_i,x_j)\)

同時確率密度関数を確認しましょう。関連記事で導出やイメージを解説しますが、ここでは式を実際に使って慣れましょう。

\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
(－∞ < \(x_i\) < \(x_j\) < ∞ )

期待値・分散の導出例題

次の例題を考えます。

➃順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の期待値の導出

期待値の公式を確認

変数が2つ\(x_i\), \(x_j\)あるので、期待値は3種類考えます。
(i)E[\(X_{(i)}\)]
(ii)E[\(X_{(j)}\)]
(iii)E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]

(i)E[\(X_{(i)}\)]と(ii)E[\(X_{(j)}\)]は文字\(i\)と\(j\)を変えるだけで式は同じです。なので、
(1)期待値E[\(X_{(i)}\)]⇒(i)E[\(X_{(i)}\)]
(2)期待値E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]⇒(iii)E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]
を解いていきます。

期待値E[\(X_{(i)}\)]の導出

2変数ある同時確率密度関数は
\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
ですが、１変数の確率密度関数は何でしょうか？　

というと、すでに関連記事でも解説しているとおり、
確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)=\(n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i}\)
です。

関連記事で期待値まで導出していますので、関連記事の内容を確認しておいてください。

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

期待値の計算結果だけ書くと

期待値E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]の導出

期待値E[\(x_i\)]公式通りです。確認すると、
E[\(x_{(i)}\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x_{(i)} f_{(i)}(x) dx\)
E[\(x_{(i)} x_{(j)}\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \int_{0}^{x_{(j)}}\)\( x_{(i)} x_{(j)} f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)}) dx_{(i)} dx_{(j)}\)
ですよね。

なお、
0 < \(X_{(i)}\) < \(X_{(j)}\) < 1
より、積分区間は
●\(x_{(i)}\)⇒ 0～\(x_{(j)}\)
●\(x_{(j)}\)⇒ 0～1
とします。

期待値E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]の導出

E[\(x_{(i)} x_{(j)}\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \int_{0}^{x_{(j)}}\)\( x_{(i)} x_{(j)} f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)}) dx_{(i)} dx_{(j)}\)

=\( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \int_{0}^{x_{(j)}} x_{(i)} x_{(j)} \)
\(C_{i,j} x_{(i)}^{i-1} (x_{(j)}-x_{(i)})^{j-i-1} (1-x_{(j)})^{n-j} ・1・1 dx_{(i)} dx_{(j)} \)
(\(F(x_i)= x_{(i)}\), \(F(x_j)= x_{(j)}\), \(f(x_i)=1,f(x_j)=1\)を代入)

=\( \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \int_{0}^{x_{(j)}} C_{i,j} x_{(i)}^i x_{(j)} (x_{(j)}-x_{(i)})^{j-i-1} (1-x_{(j)})^{n-j} dx_{(i)} dx_{(j)} \)
=(式1)

(式1)の\(x_{(i)}\)について先に積分します。つまり、
\( \displaystyle \int_{0}^{x_{(j)}} \)\(x_{(i)}^i (x_{(j)}-x_{(i)})^{j-i-1} dx_{(i)} \)
は第１種オイラーの積分
\( \displaystyle \int_{α}^{β} (x-α)^m (β-x)^n dx \)=\(\frac{m! n!}{(m+n+1)!} (β-α)^{m+n+1}\)
を使って、
●\(x\)⇒\(x_{(i)}\)
●\(α\)⇒0
●\(m\)⇒\(i\)
●\(β\)⇒\(x_{(j)}\)
●\(n\)=\(j-i-1\)
を代入します。

よって、(式1)の\(x_{(i)}\)についての積分部分は
\( \displaystyle \int_{0}^{x_{(j)}} \)\(x_{(i)}^i (x_{(j)}-x_{(i)})^{j-i-1} dx_{(i)} \)
=\(\frac{i! (j-i-1)!}{j!} x_{(j)}^j\)
=(式2)

(式2)を(式1)に代入します。
(式1)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} C_{i,j} x_{(j)} (1-x_{(j)})^{n-j} \frac{i! (j-i-1)!}{j!} x_{(j)}^j dx_{(j)} \)
一旦係数を外に出します。
=\( C_{i,j} \frac{i! (j-i-1)!}{j!} \displaystyle \int_{0}^{1} x_{(j)}^{j+1} (1-x_{(j)})^{n-j} dx_{(j)} \)
=(式3)

(式3)の積分を見ると、ベータ関数が使えることが分かります。
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x_{(j)}^{j+1} (1-x_{(j)})^{n-j} dx_{(j)} \)
=B(\(j+2,n-j+1\))
=\(\frac{(j+1)! (n-j)!}{(n+2)!}\)
=(式4)

(式4)を(式3)に代入し、\(C_{i,j}\)=\(\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}\)を代入すると
(式3)
=\(\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!} \frac{i! (j-i-1)!}{j!} \frac{(j+1)! (n-j)!}{(n+2)!} \)
=\(\frac{i(j+1)}{(n+1)(n+2)}\)

よって、

計算できました。2変数\(i,j\)の積が入るんだろうなという予想通りの式ですね。

期待値をまとめると

➄順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の分散の導出

分散の公式を確認

変数が2つ\(x_i\), \(x_j\)あるので、分散と共分散の計3種類考えます。
(i)V[\(X_{(i)}\)]
(ii)V[\(X_{(j)}\)]
(iii)Cov[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]

(i)V[\(X_i\)]と(ii)V[\(X_j\)]は文字\(i\)と\(j\)を変えるだけで式は同じです。なので、
(1)分散V[\(X_{(i)}\)]⇒(i)E[\(X_i\)]
(2)分散Cov[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]⇒(iii)Cov[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]
を解いていきます。

分散V[\(X_{(i)}\)]の導出

分散もすでに関連記事で解説しています。こちらで確認ください。

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

分散の計算結果だけ書くと

共分散V[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]の導出

共分散V[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]という公式があり、
V[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]= E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)- E[\(X_{(i)}\)] E[\(X_{(j)}\)]
から計算できます。

よって、
V[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]=E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)- E[\(X_{(i)}\)] E[\(X_{(j)}\)]
=\(\frac{i(j+1)}{(n+1)(n+2)}\)- \(\frac{i}{n+1}\) \(\frac{j}{n+1}\)
=\(\frac{i(n-j+1)}{(n+1)^2 (n+2)}\)

よくみると、
V[\(X_{(i)}\)]=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2 (n+2)}\)
V[\(X_{(i)} X_{(j)}\)] =\(\frac{i(n-j+1)}{(n+1)^2 (n+2)}\)
分子を比較するとよく似ているのがわかります。

分散、共分散をまとめると

まとめ

「順序統計量の同時確率密度関数の期待値・分散がよくわかる」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量の期待値・分散を復習する
• ➂順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の期待値・分散の導出
• ➃順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の期待値の導出
• ➄順序統計量(一様分布)の同時確率密度関数の分散の導出

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量(正規分布)の期待値、分散は手計算ではしんどい
• ➂順序統計量を扱う関数を自分で定義する
• ➃(提案)順序統計量(正規分布)の期待値、分散を簡単に解ける方法

QCに必要な数学問題集をを販売します！

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‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量(正規分布)の期待値、分散は手計算ではしんどい

まずは、一様分布、指数分布の事例から読もう！

いきなり、正規分布の事例を読むと、苦戦します。なので、最初は、一様分布の事例から読んで欲しいです。関連記事を紹介します。

一様分布

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

指数分布

順序統計量(指数関数)がよくわかる 順序統計量が説明できますか？ 本記事は指数分布の場合における順序統計量の期待値と分散を丁寧に導出します。順序統計量や統計学を学ぶ人は必読です。

正規分布の順序統計量は導出できない。。。

導出問題を出します。

重要なポイント

関連記事から以下が重要ですね。確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)の求め方は、
● \(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
ですが、

なので、

実際は、近似式や数値解析を使って、無理矢理に正規分布の順序統計量を導出しますが、手計算で解析はムリです。

じゃー、どうしようか？　正規分布の順序統計量は諦めるか？

➂順序統計量を扱う関数を自分で定義する

教科書の順序統計量の定義の特徴

順序統計量とは、定義を確認すると、

確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)が自然数\(i\)を増やすと、期待値が昇順に増えていきますが、この秘訣は
\(F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}\)の式にありました。

つまり、

しかし、この確率密度関数だと、

もっと簡単に順序統計量が定義できないか？

現行では、順序を表現するのは、確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)であり、元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)ではないから計算がしんどい。
だったら、元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)に順序を与えて、確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)を簡単に定義してはどうか？

つまり

1. 元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)ではなく、確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)に順序を与える考え方
2. 元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)に順序を与える考え方

の２つの順序統計量の考え方ができそうです。特に後者側をQCプラネッツの提案型としたいです。

➃(提案)順序統計量(正規分布)の期待値、分散を簡単に解ける方法

正規分布の順序統計量

問いをこう変えます。

こう考えると、
ただのN(\(μ_i\),\(σ_i^2\))の正規分布期待値\(E(X_i)\)と分散値\(V(X_i)\)を解くだけの問いになります。

要は、
正規分布 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ_i}e^{-\frac{(x-μ_i)^2}{2σ_i^2}}\)
のN(\(μ_i\),\(σ_i^2\))として扱えばよいという考え方です。

なお、
正規分布 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ_i}e^{-\frac{(x-μ_i)^2}{2σ_i^2}}\)
から、期待値\(μ_i\)と分散\(σ_i^2\)の導出は割愛します。教科書や他のサイトでも多々に書いていますので。

順序統計量は自分で定義していい

1. 元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)ではなく、確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)に順序を与える考え方
2. 元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)に順序を与える考え方

変数に順序を持たせるなどの性質を確率密度関数に入れる場合、どこに性質を仕込むかは考えてもよいでしょう。

まとめ

「順序統計量(正規分布)がよくわかる」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量(指数関数)が理解できる
• ➂順序統計量(指数関数)の期待値が計算できる
• ➃順序統計量(指数関数)の分散が計算できる
• ➄自分で解いてわかった面白い事実

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量(指数関数)が理解できる
• ➂順序統計量(指数関数)の期待値が計算できる
• ➃順序統計量(指数関数)の分散が計算できる
• ➄自分で解いてわかった面白い事実

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①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量(指数関数)が理解できる

まずは、一様分布の事例から読もう！

いきなり、指数関数の事例を読むと、苦戦します。なので、最初は、一様分布の事例から読んで欲しいです。関連記事を紹介します。

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

重要なポイント

関連記事から以下が重要ですね。

順序統計量(指数関数)が理解できる

次の場合を考えます。

とても複雑な式になりますが、解いてみましょう。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)は
確率分布関数\(f_{(i)} (x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} (1-e^{-x})^{i-1}[1-(1-e^{-x})]^{n-i} e^{-x}\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} (1-e^{-x})^{i-1} (e^{-x})^{n+1-i} \)
と素直に代入すればＯＫですね。

➂順序統計量(指数関数)の期待値が計算できる

期待値\(E(X_i)\)

期待値\(E(X_i)\)は定義通り、
\(E(X_i)\)=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x f_{(i)}(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x \frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\((1-e^{-x})^{i-1} (e^{-x})^{n+1-i} dx\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x (1-e^{-x})^{i-1}\)\( (e^{-x})^{n+1-i} dx\)
=(式1)

(式1)の\( (1-e^{-x})^{i-1}\)を、二項定理を使って展開します。
\( (1-e^{-x})^{i-1}\)=\(\sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1} C_r 1^r (-e^{i-1-r})\)ですね。
(\((p+q)^n\)=\(\sum_{r=0}^{n} \)\({}_n C_r p^r q^{n-r}\)と同じことをやっています。)

(式1)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1} C_r 1^r (-e^{i-1-r}) (e^{-x})^{n+1-i} dx\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1} C_r (-1)^{i-1-r} (e^{-x})^{n-r} dx\)
=(式2)

\( \displaystyle x e^{-nx} dx\)の計算

ここで、部分積分を実施します。⇒を微分する方向として、

\(-\frac{1}{n} x e^{-nx}\) ⇒\(x e^{-nx}\) -\(\frac{1}{n} e^{-nx}\)

\(-\frac{1}{n^2} e^{-nx}\)⇒\(\frac{1}{n} e^{-nx}\)
より、
\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x e^{-nx} dx\)=\(\left[ -\frac{1}{n} x e^{-nx} -\frac{1}{n^2} e^{-nx} \right]_{0}^{∞}\)=\(-\frac{1}{n^2}\)
となります。

n⇒n-rに変えて、(式2)に代入します。

(式2)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{1}{(n-r)^2}\)

よって、期待値\(E(X_i)\)は
\(E(X_i)\)= \(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{1}{(n-r)^2}\)
となります。

ところで、問題を見ると、
\(E(X_i)\)=\(\sum_{r=1}^{i}\frac{1}{n-r+1}\)
と全く違う式です。

でも、

図の通りです。

期待値を可視化

図のようになります。

面白い事に、順序が増えることに　1/nずつ期待値が増えていきます。
\(i=1\): \(\frac{1}{5}\)
\(i=2\): \(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\)
\(i=3\): \(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\)
\(i=4\): \(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\)
…

➃順序統計量(指数関数)の分散が計算できる

分散\(V(X_i)\)

まず期待値\(E(X_i^2)\)を求める必要がありますが、定義通り、
\(E(X_i^2)\)=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 f_{(i)}(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 \frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( (1-e^{-x})^{i-1} (e^{-x})^{n+1-i} dx\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 \)\((1-e^{-x})^{i-1} (e^{-x})^{n+1-i} dx\)
=(式3)

(式3)の\( (1-e^{-x})^{i-1}\)を、二項定理を使って展開します。
\( (1-e^{-x})^{i-1}\)=\(\sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r 1^r (-e^{i-1-r})\)ですね。
(\((p+q)^n\)=\(\sum_{r=0}^{n} {}_{n}C_r p^r q^{n-r}\)と同じことをやっています。)

(式3)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r 1^r (-e^{i-1-r}) (e^{-x})^{n+1-i} dx\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r} (e^{-x})^{n-r} dx\)
=(式4)

\( \displaystyle x^2 e^{-nx} dx\)の計算

ここで、部分積分を実施します。⇒を微分する方向として、

\(-\frac{1}{n} x^2 e^{-nx}\) ⇒\(x^2 e^{-nx}\) -\(\frac{2}{n}x e^{-nx}\)

\(-\frac{2}{n^2}x e^{-nx}\)⇒\(\frac{2}{n}x e^{-nx}\)-\(\frac{2}{n^2} e^{-nx}\)
\(-\frac{2}{n^3}x e^{-nx}\)⇒\(\frac{2}{n^2} e^{-nx}\)
より、
\( \displaystyle \int_{0}^{∞} x^2 e^{-nx} dx\)=\(\left[ -\frac{1}{n} x^2 e^{-nx} –\frac{2}{n^2}x e^{-nx}-\frac{2}{n^3}x e^{-nx} \right]_{0}^{∞}\)=\(-\frac{2}{n^3}\)
となります。

n⇒n-rに変えて、(式4)に代入します。

(式4)
=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{2}{(n-r)^3}\)
=(式5)

よって、分散\(V(X_i)\)は
(式5)- \(E(X_i)^2\)より、
\(V(X_i)\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{2}{(n-r)^3}\)-
\((\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{1}{(n-r)^2})^2\)
=(式6)
となります。

訳わからない式になりました。

ところで、問題を見ると、
\(V(X_i)\)=\(\sum_{r=1}^{i}\frac{1}{(n-r+1)^2}\)
と全く違う式です。

でも、

図の通りです。

➄自分で解いてわかった面白い事実

全く式が違うのに計算結果は同じとなったこと

●期待値\(E(X_i)\)は
\(E(X_i)\)= \(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{1}{(n-r)^2}\)
と
\(E(X_i)\)=\(\sum_{r=1}^{i}\frac{1}{n-r+1}\)
は同じ値になります。

●分散\(V(X_i)\)は
●\(V(X_i)\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{2}{(n-r)^3}\)-
\((\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( \sum_{r=0}^{i-1} {}_{i-1}C_r (-1)^{i-1-r}\)\(\frac{1}{(n-r)^2})^2\)
と、
\(V(X_i)\)=\(\sum_{r=1}^{i}\frac{1}{(n-r+1)^2}\)
が同じ結果になります。

数学的に一致する証明はこれからしますが、面白い結果が得られました。自分で実際解いてみるといろんなことが発見できますね。

まとめ

「順序統計量(指数関数)がよくわかる」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量(指数関数)が理解できる
• ➂順序統計量(指数関数)の期待値が計算できる
• ➃順序統計量(指数関数)の分散が計算できる
• ➄自分で解いてわかった面白い事実

統計学

「順序統計量の確率密度関数がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量の確率密度関数とは
• ➁昇順に並べられるように確率密度関数を作った
• ➂もっと簡単に順序統計量の確率密度関数を作っても良いのでは？

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①順序統計量の確率密度関数とは

確率密度関数の求め方

関数は、

で、感想は

教科書、wikiなど導出過程を確認ください。

でも、

確率密度関数の求め方が理解できない

いくつか疑問に思うのが、
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}F(x)^{i-1} (1-F(x))^{n-i} f(x)\)
を
●\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)
●\(F(x)^{i-1} (1-F(x))^{n-i} \)
●\( f(x)\)
に分解すると

1. \(f_i(x)\)は何で、\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n^i} \)の形なの？
2. \(f_i(x)\)に何で、\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)が係数に入っているの？
3. 最後の\(f(x)\)を積するイメージが沸かない

QCプラネッツも最近までは、順序統計量は理解できず諦めていました。

➁昇順に並べられるように確率密度関数を作った

順序統計量の確率密度関数がわかりにくい理由は再掲すると

1. \(f_i(x)\)は何で、\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n^i} \)の形なの？
2. \(f_i(x)\)に何で、\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)が係数に入っているの？
3. 最後の\(f(x)\)を積するイメージが沸かない

(i)期待値E[X]を計算すると確率密度関数の構成の意図が見える

まず、

• \(f_i(x)\)は何で、\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n^i} \)の形なの？

が理解できるよう解説します。

一様分布と指数関数を例に\(n=5\)の場合の\(i\)を1から5まで変えた場合の期待値E[X]の変化を先に見ましょう。

一様分布

関数は、
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}x^{i-1} (1-x)^{n-i} \)
(\(F(x)=x\),\(f(x)=1\))

期待値は、
E[\(X_i\)]=\(\displaystyle \int_{0}^{1} xf_i(x)\)

導出過程は関連記事にあります。

順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。

指数分布

関数は、
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}(1-e^{-x})^{i-1} (e^{-x})^{n+1-i} \)
(\(F(x)=1-e^{-x}\),\(f(x)=e^{-x}\))

期待値は、
E[\(X_i\)]=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} xf_i(x)\)

導出過程は関連記事にあります。

図のポイント

上の２つの図で着目点は、\(i\)が増えることによってグラフのピークが右にズレていっている点です。これが期待値E[X]を昇順に並べる秘訣なんです！

昇順に並べる秘訣は\((1-f(x))^i f(x)^{n-i}\)の形

面白い事に、次の関数をグラフで描いてみましょう。

つまり、
●\(f_1(x)\)=\(x(1-x)^4\)
●\(f_2(x)\)=\(x^2 (1-x)^3\)
●\(f_3(x)\)=\(x^3 (1-x)^2\)
●\(f_4(x)\)=\(x^4 (1-x)\)
●\(f_5(x)\)=\(x^5 \)
の5本です。単純な５次関数なので、これは簡単に描けますよね！

よく見ると面白いことに気が付きませんか？

つまり、順序に並べるには、一般化すると

これ結構大事なポイントです！

(ii)期待値、分散を簡易にするための係数がついている

次に、

• \(f_i(x)\)に何で、\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)が係数に入っているの？

を解説します。

では、何で、

これは、ベータ関数を知っていれば、計算を楽にするためだ！っとわかります。

一様分布の例で紹介します！

先ほどの場合、関数は、
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}x^{i-1} (1-x)^{n-i} \)
(\(F(x)=x\),\(f(x)=1\))
でしたね。

期待値は、
E[\(X_i\)]=\(\displaystyle \int_{0}^{1} xf_i(x)\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}x^{(i-1)+1} (1-x)^{n-i}dx \)
=\( \frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\( (\displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i}dx \)
で、積分の部分に注目すると、ベータ関数になっていますよね。

\(\displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx \)
=\(B(i+1,n-i+1)\)
=\(\frac{(i)! (n-i)!}{(n+1)!}\)
と「！」だらけですよね。

実際に
E[\(X_i\)]
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}x^i (1-x)^{n-i}dx \)
=\( \frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\) \(\frac{i! (n-i)!}{(n+1)!}\)
=\(\frac{ n!}{ (n+1)!}\) \(\frac{ i!}{ (i-1)!}\) \(\frac{ (n-i)!}{ (n-i)!}\)
=\(\frac{i}{n+1}\)
とシンプルになります。

(iii)最後の\(f(x)\)を積するイメージが沸かない

最後に、

• 最後の\(f(x)\)を積するイメージが沸かない

最後の\(f(x)\)は、計算してわかったのは、あっても無くても影響はない。

一様分布の期待値なら、最後の\(f(x)\)があっても無くても
E[\(X_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)のままです。

指数関数の場合は積分の計算の一部の指数の値が変わる程度と、あっても無くても影響はない。です。後ろについてる尻尾と思う感じでOKです。

順序統計量の確率密度関数の式のイメージ

1. \(f_i(x)\)は何で、\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n^i} \)の形なの？
   ⇒昇順に期待値を並べるため
2. \(f_i(x)\)に何で、\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)が係数に入っているの？
   ⇒期待値の値をシンプルにするため
3. 最後の\(f(x)\)を積するイメージが沸かない⇒期待値の値をシンプルにするため
   ⇒期待値の値には大きな影響はない

と理解しておけば、
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}F(x)^{i-1} (1-F(x))^{n-i} f(x)\)
もわかりやすくなったと思います。

➂もっと簡単に順序統計量の確率密度関数を作っても良いのでは？

昇順に期待値が並べたらいい

確率密度関数の式の構成を理解すると、次の疑問が沸きませんか？

現状、順序統計量の確率密度関数は、関数\(f(x)\)に昇順の項を入れずに、順序統計量の式を
\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}F(x)^{i-1} (1-F(x))^{n-i} f(x)\)として、昇順に並ぶように関数を作っていますよね！

つまり、

実際、\(f_i(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}F(x)^{i-1} (1-F(x))^{n-i} f(x)\)で手計算で解析できるのは、一様分布と指数分布くらいで、正規分布は解析できません。

一方、式を簡単にしておけば、どんな分布関数でも順序統計量を表現する確率密度関数は作れます。ＱＣ
プラネッツではいくつか具体事例を挙げて解説していきます。

大事なのは、式から順序統計量をしっかり理解すること

どの式が良いかの比較ではなく、いろいろな式を提案してもよいです。それによって、順序統計量の理解を深めることができるからです。

まとめ

「順序統計量 確率密度関数の考え方がよくわかる」を解説しました。

• ①順序統計量の確率密度関数とは
• ➁昇順に並べられるように確率密度関数を作った
• ➂もっと簡単に順序統計量の確率密度関数を作っても良いのでは？

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量がよく理解できる例題

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

●定義は、

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

もともと確率分布関数\(f_{(i)}x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量がよく理解できる例題

いろいろな関数を使ってよいですが、順序統計量を理解しやすく、簡単な関数を提示すると、
\(f(x)=x^p (1-x)^{n-p}\)
とQCプラネッツは考えています。

QCでもおなじみの二項分布、二項定理、OC曲線、抜取検査でもよく出で来る式ですし、
統計学でもベータ関数に持ち込めるし、
xの何とか乗なので、わかりやすいでしょう。

ベータ関数を復習する

順序統計量の前に、よく活用するベータ関数を復習します。

ベータ関数がよくわかる ベータ関数は自力で解けますか？本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。、大学受験で頻出問題となるベータ関数は受験でも統計学でも重要です。受験生と統計学を学ぶ人は必読です。

メインの公式は、以下です。よく使います！

例題

次の場合を考えます。

なぜか、\(n\)個ではなく\(n-1\)個のコインで、
なぜか、\(i\)個ではなく\(i-1\)個のコインの場合の確率の
\(n\)倍するって変ですが、

期待値、分散の計算を簡単にするために、あえてこのように設定しました。

確率分布関数\(f_{(i)}(x))\)=\(n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i}\)
となりますね。

いきなり難しい数学ではなく、よく勉強した高校数学からつなげて理解を深めましょう。

期待値E,分散Vの導出

期待値E[\(x_i\)]、分散V[\(x_i\)]は公式通りです。確認すると、
E[\(x_i\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_{(i)}(x) dx\)
E[\(x_i^2\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 f_{(i)}(x) dx\)
V[\(x_i\)]= E[\(x_i^2\)]- E[\(x_i\)]²
ですよね。

素直に代入します。

期待値E[\(x_i\)]

E[\(x_i\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_{(i)}(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x・ n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i} dx\)
=\( n _{n-1}C_{i-1} \displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx\)
=(式1)

(式1)において、
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx\)
はベータ関数を使うと
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^i (1-x)^{n-i} dx\)
=\(B(i+1,n-i+1)\)
=\(\frac{i!(n-i)!}{(n+1)!}\)
=(式2)

(式2)を(式1)に代入すると、
(式1)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)・\(\frac{i!(n-i)!}{(n+1)!}\)
=\(\frac{i}{n+1}\)

まとめると、
期待値E[\(x_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)
と随分スッキリした式で表現できます！

期待値E[\(x_i^2\)]

期待値E[\(x_i\)]と同様に解くと、

E[\(x_i^2\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 f_{(i)}(x) dx\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^2・ n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i} dx\)
=\( n _{n-1}C_{i-1} \displaystyle \int_{0}^{1} x^{i+1} (1-x)^{n-i} dx\)
=(式3)

(式3)において、
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^{i+1} (1-x)^{n-i} dx\)
はベータ関数を使うと
\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^{i+1} (1-x)^{n-i} dx\)
=\(B(i+2,n-i+2)\)
=\(\frac{(i+1)!(n-i)!}{(n+2)!}\)
=(式4)

(式4)を(式3)に代入すると、
(式3)=\(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)・\(\frac{(i+1)!(n-i)!}{(n+2)!}\)
=\(\frac{i(i+1)}{(n+1)(n+2)}\)

まとめると、
期待値E[\(x_i^2\)]=\(\frac{i(i+1)}{(n+1)(n+2)}\)

分散V[\(x_i\)]

V[\(x_i\)]= E[\(x_i^2\)]- E[\(x_i\)]²より
=\(\frac{i(i+1)}{(n+1)(n+2)}\)- \((\frac{i}{n+1})^2\)
=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2(n+2)}\)

結果を可視化してチェック

関数、期待値と分散は、それぞれ、
●関数\(f_{(i)}(x)\)=\(n _{n-1}C_{i-1} x^{i-1} (1-x)^{n-i}\)
●期待値E[\(x_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)
●分散V[\(x_i\)]=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2(n+2)}\)
でしたね。

具体的にn=5としてi=1,2,3,4,5を代入しましょう。

関数を具体的にn=5としてi=1,2,3,4,5を代入すると、
●\(f_{(1)}(x)\)=\(5(1-x)^4\)
●\(f_{(2)}(x)\)=\(20 x(1-x)^3\)
●\(f_{(3)}(x)\)=\(30 x^2 (1-x)^2\)
●\(f_{(4)}(x)\)=\(20 x^3 (1-x)\)
●\(f_{(5)}(x)\)=\(5 x^4\)

グラフにしましょう。Iの値によって形が変化しています。

期待値E[\(x_i\)]

●期待値E[\(x_i\)]=\(\frac{i}{n+1}\)
を実際に代入すると
●期待値E[\(x_1\)]=\(\frac{1}{6}\)
●期待値E[\(x_2\)]=\(\frac{2}{6}\)
●期待値E[\(x_3\)]=\(\frac{3}{6}\)
●期待値E[\(x_4\)]=\(\frac{4}{6}\)
●期待値E[\(x_5\)]=\(\frac{5}{6}\)
これをグラフにすると、確かに順序にそって、右に期待値が増加しているのがわかりますね。

分散V [\(x_i\)]

●期待値V[\(x_1\)]=\(\frac{5}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_2\)]=\(\frac{8}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_3\)]=\(\frac{9}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_4\)]=\(\frac{8}{6^2 7}\)
●期待値V[\(x_5\)]=\(\frac{5}{6^2 7}\)
となり、i=3の時が分散は最大になることがわかります。

まとめ

「順序統計量の考え方がよくわかる」を解説しました。

• ①順序統計量のイメージが理解できる
• ➁順序統計量がよく理解できる例題

統計学

「正規分布、カイ二乗分布、t分布、F分布の関係性がわからない」、「公式暗記ばかりで理解できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①分布関数を必要とする理由を理解する
• ➁正規分布、カイ二乗分布、t分布、F分布の関係性
• ➂分布関数を導出するために必要な数学手法
• ➃分布関数の学ぶ順番

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①分布関数を必要とする理由を理解する

なんで、いろいろ分布関数があるの？

分布関数が必要な理由を最初に理解しましょう。

それは、

なので、調べたい変数に合わせた確率密度関数があるわけです。

解析したい変数に合わせて分布関数がある

私たちが知りたい変数の情報は主に３つです。

1. 変数Xそのもの
2. 変数Xのばらつき（平方和）
3. 変数Xの分散の変化（分散比）

つまり、
①データxの値そのものをまず調べて
➁その値が妥当かどうかを見たいために、分散・平方和を求める
➂また、条件変化によるデータxの変化も分散比から求めたい
という３つの情報があります。

４つの分布関数がありますが、関係性は下表のとおりです。

ここまでの内容は大丈夫でしょうか？わかりやすいはずですが、結構重要なエッセンスです。

この重要なエッセンスを主に、実際数式を解いていきます。数式が複雑なだけで考え方はここまで理解できればＯＫです。

➁正規分布、カイ二乗分布、t分布、F分布の関係性

関係性は図で理解する

図を見ましょう。

勉強する順番は、

1. 変数Xそのもの
2. 変数Xのばらつき（平方和）
3. 変数Xの分散の変化（分散比）

ですから、
①最初に変位Ｘを表現する正規分布
➁正規分布の２乗和を表現するχ2乗分布で平方和・分散を評価します。
➂分散の変化があれば、分散比を使ってF分布を使います。
➃t分布はおまけ

ここで、t分布は　(t分布)=(正規分布)×1/√(χ2乗分布/n(自由度))な変換で導出します。イメージは

t分布が何者かわかりにくいですが、これで少しイメージが付いたと思います。

QC検定®では、
①正規分布
➁t分布
➂χ2乗分布
➃F分布
の順番ですが、

数学的には、
①正規分布
➁χ2乗分布
➂F分布
➃t分布
の順番の方が理解しやすいです。

➂分布関数を導出するために必要な数学手法

ここは、QC検定®１級以上のレベルなので、初めて確率密度関数を学ぶ人はスキップしてもOKです。

でも、導出過程を知らないと、わけのわからない関数のままです。

分布関数を導出するために必要な数学は以下です。すべて関連記事に書いていますのでご覧ください。

1. ベータ関数、ガンマ関数
   (正規分布の積分に必要)
2. 確率変数の変換
   (\(Y=X^2\)のχ２乗分布を作るときに必要)
3. 畳み込み積分
   (自由度1からnのχ2乗分布を作るときに必要)
4. 確率変数の変換
   (F分布を作るときに必要)

難しい式を並べず、高校数学の復習をしてから解説しているので、理解しやすいです。１つずつ何度も読んで理解を深めてください。一読でわかるものではないので注意です！

ベータ関数、ガンマ関数

ガンマ関数がよくわかる(その2_大学数学編) ガンマ関数がさらっと解けますか？本記事では、ガンマ関数の性質とベータ関数との関係式を高校数学を駆使してわかりやすく解説しています。ガンマ関数に慣れずに苦戦している人は必読です。

ベータ関数がよくわかる ベータ関数は自力で解けますか？本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。、大学受験で頻出問題となるベータ関数は受験でも統計学でも重要です。受験生と統計学を学ぶ人は必読です。

確率変数の変換

【まとめ】2変数の確率変数の変換がよくわかる 2変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説！教科書よりわかりやすく、 ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ t分布、F分布の確率密度関数を導出したい方は必読な記事です。

畳み込み積分

【まとめ】畳み込み積分がよくわかる 畳み込み積分が計算できますか？本記事では畳み込み積分のイメージを高校数学を使ってわかりやすく解説し、 さらに一様分布、指数分布、正規分布、ポアソン分布、χ2乗分布を組み合わせた畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。畳み込み積分の計算ができず困っている方は必見です。

➃分布関数の学ぶ順番

何度も書いていますが、

1. 変数Xの分布は正規分布からスタートする
2. ばらつきを調べたいので平方和を表現するχ2乗分布が欲しくなる
3. ばらつきの変化を調べたいので分散比を表現するF分布が欲しくなる
4. t分布はおまけ

を理解しましょう。ここからは、実際に数学を駆使して確率密度関数を導出しています。関連記事を見てください。

変数Xの分布は正規分布からスタートする

正規分布の導出がよくわかる 正規分布の導出ができますか？ 本記事では専門書を読んでも理解できない正規分布の導出をわかりやすく解説しています。統計学、品質管理に関わる人は必読です。意味不明な式を暗記する前に導出やグラフのイメージを理解しましょう。

大事なポイントは、
なぜ、\(e^{-x^2}\)型を正規分布は使うのかを理解することです！ この理由を考えながら関連記事を読んでください。

ばらつきを調べたいので平方和を表現するχ2乗分布が欲しくなる

【必読】χ2乗分布の導出がよくわかる χ2乗分布の確率密度関数が導出できますか？ 本記事では、計算に必要な数学を復習しながら、わかりやすく導出過程を解説します。導出過程でつまづきやすいポイントを丁寧に解説！ χ2乗分布を勉強している人は必見です。

大事なポイントは、

①確率変数変換\(Y=X^2\)で2乗の変数を作る事です。1つの解法でどんな変換もイケます！実際に使う式は
\(g(y)\) =\(\frac{1}{2\sqrt{y}}(f(\sqrt{y})+f(-\sqrt{y}))\)
暗記せず、導出過程も理解していきましょう。

➁２乗の変換ができたら、次は、2乗和して平方和・分散の確率密度関数を作ることです。
和は「畳み込み積分」で表現します。
\(Z=X_1^2+X_2^2\)⇒ \( g(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_1(x)f_2(z-x)dx \)
ですね。これをくりかえします。

\(Z=(X_1^2+X_2^2)+X_3^2\)⇒ \( g(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_{1,2}(x)f_3(z-x)dx \)
…
\(Z=(X_1^2+…+X_{n-1}^2)+X_n^2\)⇒ \( g(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_{1,…,n-1}(x)f_n(z-x)dx \)
こうやってχ2乗分布の確率密度関数を導出します！

ばらつきの変化を調べたいので分散比を表現するF分布が欲しくなる

F分布の確率密度関数の導出がよくわかる F分布の確率密度関数は導出できますか？本記事では、2つの確率変数の変換の解法パターンでわかりやすく丁寧にF分布の確率密度関数を導出します。統計学を学んでいる方は必読です。

大事なポイントは、
\(X,Y⇒Z=X/Y,W=Y\)と確率変数を変換して、
２変数の同時確率密度関数を導出します。
そして、変数を１つ減らすために、積分した周辺確率密度関数からF分布の確率密度関数が導出できます。

t分布はおまけ

t分布の確率密度関数の導出がよくわかる t分布の確率密度関数は導出できますか？本記事では、2つの確率変数の変換の解法パターンでわかりやすく丁寧にt分布の確率密度関数を導出します。統計学を学んでいる方は必読です。

大事なポイントは、
\(X,Y⇒Z=X/\sqrt{\frac{Y}{n}},W=Y\)と確率変数を変換して、
２変数の同時確率密度関数を導出します。
そして、変数を１つ減らすために、積分した周辺確率密度関数からt分布の確率密度関数が導出できます。

t分布の導出を最後として、F分布の導出の後にした理由は
F分布と導出方法が同じで、変換する変数が異なるだけだからです。

公式暗記に頼らず、確率密度関数の理解が深まります！相当の数学力が高まります！

まとめ

「【まとめ】正規分布、カイ二乗分布、t分布、F分布の関係性がよくわかる」を解説しました。

• ①分布関数を必要とする理由を理解する
• ➁正規分布、カイ二乗分布、t分布、F分布の関係性
• ➂分布関数を導出するために必要な数学手法
• ➃分布関数の学ぶ順番

統計学

「χ2乗分布を勉強してもイメージがつかない」、「χ2乗分布の確率密度関数の式が理解できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①χ2乗分布は正規分布の和の2乗で理解する
• ➁χ2乗分布を作るための数学を復習
• ➂χ2乗分布の導出がよくわかる

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

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①χ2乗分布は正規分布の和の2乗で理解する

χ2乗分布の確率密度関数を見る(わからなくていい！)

χ2乗分布の式をさらっと見てください。

χ2乗分布の最も大事なエッセンスをおさえる！

χ2乗分布の最も大事なエッセンスは、煩雑すぎる式ではなく、式の作り方です。

つまり、

χ2乗分布の複雑な式の作り方を理解する

もっかい見ましょう。

なので、簡単にいうと、

よく見ると、平均を無視して書くと
平方和S=\(x_1^2\)+\(x_2^2\)+…+\(x_n^2\)
です。まさに、平方和を表現した関数が、複雑な式であるχ2乗分布です。

➁χ2乗分布を作るための数学を復習

確率分布関数の2乗和をしますが、数学のルールがあるので、３つの手法を復習しましょう。

1. 確率変数の変換\(Y=X^2\)
2. 畳み込み積分
3. ベータ関数とガンマ関数の関係

(i)確率変数の変換\(Y=X^2\)

関連記事に変換方法をまとめています。先に解き方を理解しておきましょう。

1変数の確率変数の変換がよくわかる(2次式編) 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は1次式y=x^2型を解説！正規分布からχ2乗分布に変換する大事な問いを、教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！確率変数の変換が計算したい方は必読な記事です。

(ii)畳み込み積分

１つの解法で、いろいろな確率分布関数を畳み込み積分しています。これだけ見れば、解けるようになります！

【まとめ】畳み込み積分がよくわかる 畳み込み積分が計算できますか？本記事では畳み込み積分のイメージを高校数学を使ってわかりやすく解説し、 さらに一様分布、指数分布、正規分布、ポアソン分布、χ2乗分布を組み合わせた畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。畳み込み積分の計算ができず困っている方は必見です。

ベータ関数とガンマ関数の関係

ベータ関数とガンマ関数についても、高校数学・大学入試に出る問題から復習しています。χ2乗分布の導出過程でいい味を引き出してくれる関係式です。関連記事で確認しましょう。

ガンマ関数がよくわかる(その2_大学数学編) ガンマ関数がさらっと解けますか？本記事では、ガンマ関数の性質とベータ関数との関係式を高校数学を駆使してわかりやすく解説しています。ガンマ関数に慣れずに苦戦している人は必読です。

本当に、正規分布の関数を２乗和しているだけにすぎないので。
数式にビビる必要はありません。

➂χ2乗分布の導出がよくわかる

数学的帰納法で証明する！

では、いきます。

実際に、\(f_n(z)\)が自由度\(n\)のχ2乗分布に従う確率密度関数です。では証明していきます。

\(f_1(z)\)を計算

正規分布の確率密度関数を使って、
変数\(Z=X^2\)を満たす、確率変数\(Z\)の確率密度関数\(f_1(z)\)を求めます。

復習すべきポイントは以下です。

1. 確率変数の変換\(Z=X^2\)
2. 畳み込み積分

確率変数の変換\(Z=X^2\)

正規分布の２乗変換は次の公式を使います。詳細は関連記事にあります。

\( g(z) \) =\( \frac{1}{2\sqrt{z}}(f(+\sqrt{z})+ f(-\sqrt{z})\)
=\( \frac{1}{2\sqrt{z}}(\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}}+\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}})\)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}}z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{z}{2}}\) (\(z\) ≥ 0)

なお、
\(f_n(z)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}z^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}}z\) (\(z\) > 0)
に\(n\)=1を代入すると、
\(f_1(z)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}Γ(\frac{1}{2})}z^{\frac{1}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}}z\)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}}z^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{z}{2}}\)
に一致します。

よって、\(n=1\)の時は成立します。

数学的帰納法を使って\(f_n(z)\)を証明

\(n=k\)のとき、\(f_k(z)\)が問の式になると仮定すると、

\(n=k+1\)のとき\(f_{k+1}(z)\)を解いてみます。

復習すべきポイントは以下です。

1. 確率変数の変換\(Z=X^2\)
2. 畳み込み積分

\(f_{k+1}(z)\)= \(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} f_k(x) f_1(z-x) dx\)
と畳み込み積分します。もちろん計算が複雑な\((z-x)\)には簡単な式な\(f_1(z)\)とします。

\(f_{k+1}(z)\)= \(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} f_k(x) f_1(z-x) dx\)
= \(\displaystyle \int_{0}^{∞} \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}Γ({\frac{k}{2}})} x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{1}{2}x}・
\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}Γ({\frac{1}{2})}} (z-x)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(z-x)}dx\)
=(式1)

単純に代入しただけでも結構ムズイ式ですね。でも代入しただけです！大丈夫！

式変形を続けます。

(式1)
=\(\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}Γ({\frac{k}{2}})Γ({\frac{1}{2}})}・e^{-\frac{1}{2}z} \displaystyle \int_{0}^{∞}
x^{\frac{k}{2}-1} (z-x)^{-\frac{1}{2}}dx\)
=(式2)
(細かい式変形は少し端折っていますので、一回は解いてみてください。いい練習になります！)

式変形の途中では、
変数\(x\)は正なので、積分区間を[0,∞]に変更しました。

ここで、やや誘導的ですが、\(x,z\)の2変数を1変数に変換します。
\(u=\frac{x}{z}\)と置きます。すると、
●積分区間が[0,∞]⇒[0,1]に変換 (z/xの比なので)
●\(x=zu\)より\(dx=zdu\)と変換
できます。

(式2)
=\(\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}Γ({\frac{k}{2}})Γ({\frac{1}{2}})}・e^{-\frac{1}{2}z} \displaystyle \int_{0}^{1}
(zu)^{\frac{k}{2}-1} (z-zu)^{-\frac{1}{2}}zdu\)
=\(\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}Γ({\frac{k}{2}})Γ({\frac{1}{2}})}・e^{-\frac{1}{2}z} z^{\frac{k+1}{2}-1}\displaystyle \int_{0}^{1} u^{\frac{k}{2}-1} (1-u)^{-\frac{1}{2}}du\)
=(式3)

さらに(式3)の積分
\(\displaystyle \int_{0}^{1} u^{\frac{k}{2}-1} (1-u)^{-\frac{1}{2}}du\)
をよく見ると、ベータ関数が使えないか?、ベータ関数を使ってうまく逃げれないか？を企みましょう。

復習すべきポイントは以下です。

1. 確率変数の変換\(Z=X^2\)
2. 畳み込み積分
3. ベータ関数とガンマ関数

ベータ関数は
\(B(p,q)\)= \(\displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1}dx\)
です。よく見ると、
\(p=\frac{k}{2}\),\(q=\frac{1}{2}\)を代入すると
\(B(\frac{k}{2}, \frac{1}{2})\)= \(\displaystyle \int_{0}^{1} u^{\frac{k}{2}-1} (1-u)^{-\frac{1}{2}}dx\)
は(式3)の積分部分と全く同じですね！
この関係を(式3)に代入しましょう。

(式3)
=\(\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}Γ({\frac{k}{2}})Γ({\frac{1}{2}})}・e^{-\frac{1}{2}z} z^{\frac{k+1}{2}-1} B(\frac{k}{2}, \frac{1}{2})\)
=(式4)

ここで、うまくできているなあと感心するのは、
ベータ関数とガンマ関数の関係式から
\(\frac{ B(\frac{k}{2}, \frac{1}{2})}{Γ{\frac{k}{2}}Γ{\frac{1}{2}}}\)=\(\frac{1}{Γ({\frac{k+1}{2}})}\)
と上手に整理できる点です。

(式4)
=\(\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}Γ{\frac{k+1}{2}} }・e^{-\frac{1}{2}z} z^{\frac{k+1}{2}-1} \)
=(式5)

(式5)を見ると、確かに、
\(f_{k+1}(z)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{k+1}{2}}Γ({\frac{k+1}{2}})}・e^{-\frac{1}{2}z} z^{\frac{k+1}{2}-1} \)は、
\(f_n(z)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}z^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}}z\) (\(z\) > 0)を
\(n=k+1\)を代入した式と一致します。

よって、\(n=k+1\)のときも成立します。

よって、すべての自然数\(n\)に対して、
\(f_n(z)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}z^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}}z\) (\(z\) > 0)が成り立つ。

となります。

χ2乗分布の導出方法をわかりやすく解説しました。

まとめ

「χ2乗分布の導出がよくわかる」を解説しました。

• ①χ2乗分布は正規分布の和の2乗で理解する
• ➁χ2乗分布を作るための数学を復習
• ➂χ2乗分布の導出がよくわかる

統計学

「正規分布って何で\(e^{-x^2}\)なの？」、「正規分布の導出が理解できない！」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①正規分布の導出は難しすぎる
• ➁正規分布は何で\(e^{-x^2}\)の式を使うの？
• ➂わかりやすい正規分布の導出を伝授！

QCに必要な数学問題集をを販売します！

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①正規分布の導出は難しすぎる

正規分布の導出方法は専門書を読んでもわからない

実は、正規分布の導出をしっかりまとめた本があります(無理にポチる必要はありません！)。

正規分布ハンドブック [ 蓑谷千凰彦 ] 価格：19800円（税込、送料無料) (2022/9/10時点)

この本のP137～181まで、「正規分布の歴史」として、過去の偉大な数学者が式の導出を解説しています。

でも、

正規分布の導出方法が書いているサイトを見てもわからない。。。

ネットにも、いろいろ解説がありますが、

でも、でも、でも

だから、本記事を書くことにしました。

➁正規分布は何で\(e^{-x^2}\)の式を使うの？

正規分布の「正規」って何なの？

わかります？　この質問？

• 正規分布の「正規」って、何が「正規」なの？
• なんで、\(e^{-x^2}\)の式を使うの？

これを簡単に答えると、

1. 中心が0、標準偏差が1であること
2. 左右対称な分布関数であること
3. [-∞,∞]で分布関数を積分しても有限な値であること

でOKです。

もしあったら教えてください。

この定義でいくと、分布関数は
\(f(x)=x^a+・・・\)とかは、[-∞,∞]で積分すると∞に発散するのでNGです。

なので、\(f(x)=e^{-g(x)}\)型が有効なのは理解できます。

ここで、疑問が沸きます！

高校数学や大学入試で、出て来る関数は圧倒的に、
\(f(x)=e^{-x}\)の方です！

なぜなら、

じゃー、正規分布も\(f(x)=e^{-x}\)にすればいいじゃん！

これをわかりやすく解説します。

➂わかりやすい正規分布の導出を伝授！<

モデル式(微分方程式)を作る！

ガウスの公理というものがあります。感覚的に理解できるものです。

1. 大きさの大きい正と負の誤差は等しい確率で生じる
2. 小さい誤差は大きな誤差より起こりやすい
3. ある限界値より大きな誤差は実際上起こらない

モデル式で大事なのは、

これを式でＱＣプラネッツ的に考えます。

ヒントするのは、高校数学・物理で習う、「放射性物質の時間に対する質量の変化率は質量に変化する」です。

確率密度関数は下図のように、ある点\(x\)での確率\(f(x)\)(<1)の確率の変化\(f’(x)\)は、その確率\(f(x)\)(<1)に関係があるはずで、誤差が増える(\(x\)が増える)ほど、確率\(f(x)\)は0に近づくように値が下がっていきます。

この微分方程式を解くと、
\(\frac{df}{dx}=-af\)
\(\frac{df}{f}=-adx\)
両辺を積分すると
\(log(f(x))=-ax\)
\(f(x)=e^{-ax}\)
となります。

あれ？　正規分布の式\(f(x)=e^{-x^2}\)じゃない！

ヒストグラムを書くと、もう少し滑らかな確率分布関数ですよね！

なので、モデル式を改造して再検討しましょう！

モデル式(微分方程式)を修正して再度解く！

ヒストグラムを見ると、滑らかさの秘訣がわかります。

これを表現できるいい方法があります!
モデル式をこう変えます！

つまり、\(x\)の積を追加すればＯＫ！

\(x\)は 0 < \(x\) <1 の時、
\(f’(x)\)= \(axf(x)\) < \(af(x)\)より、
\(f’(x)\)は小さいから、\(f(x)\)の下がり方は小さい！

\(x\)は 1 < \(x\) の時、
\(f’(x)\)= \(axf(x)\) > \(af(x)\)より、
\(f’(x)\)は大きくなるから、\(f(x)\)は一気に下がる！

この微分方程式を解くと、
\(\frac{df}{dx}=-axf\)
\(\frac{df}{f}=-axdx\)
両辺を積分すると
\(log(f(x))=-\frac{1}{2}ax^2\)
\(f(x)=e^{-\frac{1}{2}ax^2}\)
となります。

この説明の方が、正規分布の導出は理解しやすい！です。

本記事の注意点

正規分布の導出を簡易的に理解できる方法を本記事で解説しました。

ただし、厳密な証明をやっぱり身に着けたい方は、本や他のサイトで勉強してください。

専門書と本記事を比較しても正規分布の導出については、
それほど説明力は変わらないのかもしれません。

わかりやすい正規分布の導出方法を解説しました。

まとめ

「正規分布の導出がよくわかる」を解説しました。

• ①正規分布の導出は難しすぎる
• ➁正規分布は何で\(e^{-x^2}\)の式を使うの？
• ➂わかりやすい正規分布の導出を伝授！

統計学

「ガンマ関数がわからない！」、「ガンマ関数の導出方法や性質を数式で解けない！」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①ガンマ関数とは
• ➁ガンマ関数が分からないなら高校数学を復習しよう！
• ➂ガンマ関数の性質
• ➃ガンマ関数の性質の証明
• ➄ガンマ関数とベータ関数の関係

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

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①ガンマ関数とは

ガンマ関数の式だけ紹介

こんな式ですね。ビビる必要はありません！

なんじゃこりゃ！ですが、大丈夫です！

➁ガンマ関数が分からないなら高校数学を復習しよう！

必ず、復習しておさえておきたいのが、3つ

1. 数学的帰納法
2. \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0\)
3. 部分積分から漸化式を作る流れ

さっと解けますか？　不安なら、関連記事でしっかり復習できますし、大学入試にも役立つ３問があります。

ガンマ関数がよくわかる(その1_高校数学復習編) ガンマ関数は使いこなせますか？いきなり大学の統計学とか学んで撃沈していませんか？本記事では、高校数学や大学受験問題に頻出な問題からガンマ関数の練習をします。ガンマ関数が分からない人は、必読です。

次の３問がさらっと解けますか？　難関大学の問題ですが、ガンマ関数の基礎が学べる良問です。関連記事で解説つきです。

下準備をした上で、本題に入ります。

➂ガンマ関数の性質

ガンマ関数をざっくり理解する

基本は、

ガンマ関数の性質

大事な性質が３つあります。正規分布の積分にもつながる大事な内容です。

1. (i) \(s\) > 1のとき、\(Γ(s)\)=\((s-1)Γ(s-1)\)
2. (ii) \(s\)が正の整数のとき、\(Γ(s)\)=\((s-1)!\)
3. (iii)\(Γ(\frac{1}{2})\)=\(\sqrt{π}\)

(i)と(ii)は階乗の関係だから、すぐ理解できますが、(iii)は別格に難しく感じます。そもそも階乗は整数なのに\(\frac{1}{2}\)が入っているし、しかも、\(\sqrt{π}\)ってどこから来たん？って感じですよね！

➃ガンマ関数の性質の証明

ガンマ関数に慣れるために証明も入れておきます。なぞってください。良い練習になります！

(i) \(s\) > 1のとき、\(Γ(s)\)=\((s-1)Γ(s-1)\)

●\(Γ(s)= \displaystyle \int_{0}^{∞} x^{s-1}e^{-x} dx\)
●\(Γ(s-1)= \displaystyle \int_{0}^{∞} x^{s-2}e^{-x} dx\)
です。

部分積分しましょう。⇒が微分する方向として、
\(-x^{s-1} e^{-x}\)⇒\(x^{s-1} e^{-x} –(s-1)x^{s-2} e^{-x}\)
つまり、
\(\left[-x^{s-1} e^{-x} \right]_{0}^{∞}\)=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} x^{s-1} e^{-x} dx\)―\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (s-1)x^{s-2} e^{-x} dx\)

まとめると、
\(\left[-x^{s-1} e^{-x} \right]_{0}^{∞}\)=\(Γ(s)\)―\((s-1)Γ(s-1)\)
一方、(左辺)=0なので、
\(Γ(s)\)=\((s-1)Γ(s-1)\)が成り立つ。

関連記事でも部分積分をいっぱい練習していますので、不安なら関連記事で復習しましょう。

ガンマ関数がよくわかる(その1_高校数学復習編)

(ii) \(s\)が正の整数のとき、\(Γ(s)\)=\((s-1)!\)

これは簡単ですね。

\(Γ(s)\) = \((s-1)Γ(s-1)\)= \((s-1)(s-2)Γ(s-2)\)=…
= \((s-1)(s-2)…1Γ(1)\)

ここで、Γ(1)は
\(Γ(s)= \displaystyle \int_{0}^{∞} x^{1-1}e^{-x} dx\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} e^{-x} dx\)
=\(\left[-e^{-x} \right]_{0}^{∞}\)
=1

よって、
\(Γ(s)\) =\((s-1)(s-2)…1・1\)=\((s-1)!\)

(iii)\(Γ(\frac{1}{2})\)=\(\sqrt{π}\)

実は、ベータ関数との関係式が必要なので、あとで解説します。

➄ガンマ関数とベータ関数の関係

ガンマ関数とベータ関数の関係式が重要です。

ベータ関数とは

これも関連記事で解説しています。復習しましょう。

ベータ関数がよくわかる ベータ関数は自力で解けますか？本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。、大学受験で頻出問題となるベータ関数は受験でも統計学でも重要です。受験生と統計学を学ぶ人は必読です。

ポイントは、

関連記事ベータ関数がよくわかるでも解説しているとおり、次の式が成り立ちます。

証明

関連記事では、階乗！に注目して証明しています。
\(B(p,q)\)=\(\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\)
\(Γ(p)=(p-1)!\)、\(Γ(q)=(q-1)!\)、\(Γ(p+q)=(p+q-1)!\)より
\(B(p,q)\)=\(\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\)= \(\frac{Γ(p)Γ(q)}{Γ(p+q)} \)と
階乗「！」でみていけば公式が成り立つのが、わかりますね。

教科書は別の２重積分から変数変換して証明する方法が書いていますが、難しすぎです。簡単でもいいからできる解法で理解すればOKです。

ただし、上の簡略化した証明は、p,qが整数の場合については証明できますが、実数の場合までは証明していません。実数の場合も証明が必要でしたら、教科書を読み進めてください。

以下、勝手ですが、p,qが実数の場合でも使えるとして進めます。

Γ関数の性質(iii)\(Γ(\frac{1}{2})\)=\(\sqrt{π}\)

ではやってみましょう。

\(B(p,q)\)= \(\frac{Γ(p)Γ(q)}{Γ(p+q)} \)
に\(p=\frac{1}{2}\)、\(q=\frac{1}{2}\)を代入します。

\(B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)= \(\frac{Γ(\frac{1}{2})Γ(\frac{1}{2})}{Γ(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})} \)
ここで、\(Γ(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})\)=\(Γ(1)\)=1です。

また、\(B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)は、
\(B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})= \displaystyle \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}-1}(1-x)^{ \frac{1}{2}-1} dx\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}dx\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2-(x-\frac{1}{2})^2}}dx\) (平方完成)
=(式1)

ここで、 \(tx-\frac{1}{2}\)とおくと、
●\(x\)：０⇒1が、\(t\):\(-\frac{1}{2}\)⇒\(\frac{1}{2}\)へ
●\(dt=dx\)より、(式1)に代入します。

(式1)
=\(\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2-t^2}}dt\)
=(式2)

さらに、\(t=\frac{1}{2}sinθ\)とおくと、
●\(t\):\(-\frac{1}{2}\)⇒\(\frac{1}{2}\)が、\(θ\):\(-\frac{π}{2}\)⇒\(\frac{π}{2}\)へ
●\(dt=\frac{1}{2}cosθdθ\)より、(式2)に代入します。

(式2)
=\(\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2} sinθ)^2}} \frac{1}{2} cosθ dθ\)
=\(\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\frac{1}{2} cosθ dθ} \frac{1}{2} cosθ dθ\)
=\(\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} dθ\)
=\(π\)
=(式3)

２回置換しましたが、何とか積分できました！まとめると、
\(B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)= \(\frac{Γ(\frac{1}{2})Γ(\frac{1}{2})}{Γ(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})} \)
\(π\)= \((Γ(\frac{1}{2}))^2・1\)
よって
\(Γ(\frac{1}{2})=\sqrt{π}\)
が出ました。

以上、ガンマ関数の性質についてまとめました。

まとめ

「ガンマ関数がよくわかる(その2_大学数学編)」を解説しました。

• ①ガンマ関数とは
• ➁ガンマ関数が分からないなら高校数学を復習しよう！
• ➂ガンマ関数の性質
• ➃ガンマ関数の性質の証明
• ➄ガンマ関数とベータ関数の関係

統計学