四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
「四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析や期待値の導出が複雑でわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析や期待値の導出
- ①四元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける
- ②四元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける
- ③四元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
- ④四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる
- ⑤四元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
- ⑥四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題
記事の信頼性
記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。4因子繰返し有りの分散分析はなかなか見る機会がないので、本記事は必見です。実験計画法の肝なので、必読です！
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①四元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける
データの構造式
4因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。
四元配置実験のデータの構造式
xijklm=μ+αi+βj+γk+δl
+ (αβ) ij+(αγ) ik+(αδ)il
+(βγ) jk+(βδ) jl+(γδ)kl
+(αβγ) ijk+ (αβδ) ijl+(αγδ)ikl+(βγδ)jkl
+(αβγδ) ijkl+ eijklm
各平均値をデータの構造式で作る
α、β、γ、δは母数因子なので、１つの添え字についての合計がすべて0となります。
\(\sum_{i=1}^{a} α_i\)=0
\(\sum_{j=1}^{b} β_j\)=0
\(\sum_{k=1}^{c} γ_k\)=0
\(\sum_{l=1}^{d} δ_l\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αγ)_{ik}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(αγ)_{ik}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αδ)_{il}\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(αδ)_{ il }\)=0
\(\sum_{j=1}^{b}(βγ)_{jk}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(βγ)_{jk}\)=0
\(\sum_{j=1}^{b}(βδ)_{jl}\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(βδ)_{ jl }\)=0
\(\sum_{k=1}^{c}(γδ)_{kl}\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(γδ)_{kl}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβγ)_{ijk}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβγ)_{ijk}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(αβγ)_{ijk}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβδ)_{ijl}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβδ)_{ijl}\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(αβδ)_{ijl}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αγδ)_{ikl}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(αγδ)_{ikl}\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(αγδ)_{ikl}\)=0
\(\sum_{j=1}^{b}(βγδ)_{jkl}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(βγδ)_{ jkl }\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(βγδ)_{ jkl }\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβγδ)_{ijkl}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβγδ)_{ijkl}\)=0,
\(\sum_{k=1}^{c}(αβγδ)_{ijkl}\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(αβγδ)_{ijkl}\)=0
この関係が、平方和の分解にて
(x+y)2=x2+ y2, xy=0
を満たします。
なお、母数因子ではない変量因子の場合は上の式が0ではない値になります。
平均値の式の代表例
データの構造式
xijklm=μ+αi+βj+γk+δl
+ (αβ) ij+(αγ) ik+(αδ)il
+(βγ) jk+(βδ) jl+(γδ)kl
+(αβγ) ijk+ (αβδ) ijl+(αγδ)ikl+(βγδ)jkl
+(αβγδ) ijkl+ eijklm
\(\bar{x_{i････}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{e_{i････}}\)
\(\bar{x_{･j･･･}}\)=μ+\(β_j\)+\(\bar{e_{･j･･･}}\)
\(\bar{x_{･･k･･}}\)=μ+\(γ_k\)+\(\bar{e_{･･k･･}}\)
\(\bar{x_{･･･l･}}\)=μ+\(δ_l\)+\(\bar{e_{･･･l･}}\)
\(\bar{x_{ij･･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{ij･･･}}\)
\(\bar{x_{i･k･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\(\bar{e_{i･k･･}}\)
\(\bar{x_{i･･l･}}\)=μ+\(α_i\)+\(δ_l\)+\((αδ)_{il}\)+\(\bar{e_{i･･l･}}\)
\(\bar{x_{･jk･･}}\)=μ+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((βγ)_{jk}\)+\(\bar{e_{･jk･･}}\)
\(\bar{x_{･j･l･}}\)=μ+\(β_j\)+\(δ_l\)+\((βδ)_{jl}\)+\(\bar{e_{･j･l･}}\)
\(\bar{x_{･･kl･}}\)=μ+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((γδ)_{kl}\)+\(\bar{e_{･･kl･}}\)
\(\bar{x_{ijk･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{ijk･･}}\)
\(\bar{x_{ij･l･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(δ_l\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αδ)_{il}\)+\((βδ)_{jl}\)+\((αβδ)_{ijl}\)+\(\bar{e_{ij･l･}}\)
\(\bar{x_{i･kl･}}\)=μ+\(α_i\)+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((αγ)_{ik}\)+\((αδ)_{il}\)+\((γδ)_{kl}\)+\((αγδ)_{ikl}\)+\(\bar{e_{i･kl･}}\)
\(\bar{x_{･jkl･}}\)=μ+\(β_j\)+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((βγ)_{jk}\)+\((βδ)_{jl}\)+\((γδ)_{kl}\)+\((βγδ)_{jkl}\)+\(\bar{e_{･jkl･}}\)
\(\bar{x_{ijkl･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αγ)_{ik}\)+\((αδ)_{il}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((βδ)_{jl}\)+\((γδ)_{kl}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\((αβδ)_{ijl}\)+\((αγδ)_{ikl}\)+\((βγδ)_{jkl}\)+\((αβγδ)_{ijkl}\)+\(\bar{e_{ijkl･}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)
②四元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける
データの構造式を変形
式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。
| SA | SB | SC | SD | SA×B | SA×C | SA×D | SB×C | |
| \(x_{ijklm}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{i････}}\) | 1 | -1 | -1 | -1 | ||||
| \(\bar{x_{･j･･･}}\) | 1 | -1 | -1 | |||||
| \(\bar{x_{･･k･･}}\) | 1 | -1 | -1 | |||||
| \(\bar{x_{･･･l･}}\) | 1 | -1 | ||||||
| \(\bar{x_{ij･･･}}\) | 1 | |||||||
| \(\bar{x_{i･k･･}}\) | 1 | |||||||
| \(\bar{x_{i･･l･}}\) | 1 | |||||||
| \(\bar{x_{･jk･･}}\) | 1 | |||||||
| \(\bar{x_{･j･l･}}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{･･kl･}}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{ijk･･}}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{ij･l･}}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{i･kl･}}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{･jkl･}}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{ijkl･}}\) | ||||||||
| \(\bar{\bar{x}}\) | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| SB×D | SC×D | SA×B×C | SA×B×D | SA×C×D | SB×C×D | SA×B×C×D | Se | |
| \(x_{ijklm}\) | 1 | |||||||
| \(\bar{x_{i････}}\) | 1 | 1 | 1 | -1 | ||||
| \(\bar{x_{･j･･･}}\) | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | |||
| \(\bar{x_{･･k･･}}\) | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | |||
| \(\bar{x_{･･･l･}}\) | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | ||
| \(\bar{x_{ij･･･}}\) | -1 | -1 | 1 | |||||
| \(\bar{x_{i･k･･}}\) | -1 | -1 | 1 | |||||
| \(\bar{x_{i･･l･}}\) | -1 | -1 | 1 | |||||
| \(\bar{x_{･jk･･}}\) | -1 | -1 | 1 | |||||
| \(\bar{x_{･j･l･}}\) | 1 | -1 | -1 | 1 | ||||
| \(\bar{x_{･･kl･}}\) | 1 | -1 | -1 | 1 | ||||
| \(\bar{x_{ijk･･}}\) | 1 | -1 | ||||||
| \(\bar{x_{ij･l･}}\) | 1 | -1 | ||||||
| \(\bar{x_{i･kl･}}\) | 1 | -1 | ||||||
| \(\bar{x_{･jkl･}}\) | 1 | -1 | ||||||
| \(\bar{x_{ijkl･}}\) | 1 | -1 | ||||||
| \(\bar{\bar{x}}\) | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 |
表から各平方和の導出式が簡単にでますね。SD、SA×C×D,Seを例に挙げます。
\(S_D\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (\bar{x_{･･･l･}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_{ A×B×D }\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{x_{ij･l･}}-\bar{x_{ij‥}}-\bar{x_{i‥l･}}-\bar{x_{･j･l･}}\)
\(\bar{x_{i････}}+\bar{x_{･j･･･}}+\bar{x_{･･･l･}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((x_{ijklm}-\bar{x_{ijkl･}})^2\)
と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣΣΣ( )^2で計算できます。
③四元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。
本記事では因子D、残差eについて導出過程を詳しく見ていきます。
●因子A,Bについては、次の関連記事で導出過程を確認ください。
 |
二元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】 実験計画法の、二元配置実験(繰り返し有り)の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、二元配置実験(繰り返し有り)の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。 |
因子Cについては、次の関連記事で導出過程を確認ください。
 |
三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】 実験計画法の、三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。 |
主効果の分散の期待値の導出
E[\(S_D\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)\((\bar{x_{･･･l･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (δ_l+\bar{e_{･･･l･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((δ_l )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{e_{･･･l･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(abce(d-1)σ_D^2\) +\((d-1)(σ_e^2\))
主効果Dの自由度は(d-1)より、分散の期待値E[VD]が求まります。
E[\(V_D\)]=\(abceσ_C^2\) +\(σ_e^2\)
なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_D^2\)=E[\(\frac{\sum_{l=1}^{d}δ_l^2}{d-1}\)]
\(σ_e^2\)については解説集にあります。
交互作用の分散の期待値の導出
E[\(S_{ A×B×D }\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d} \sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{x_{ij･l･}}-\bar{x_{ij‥･}}-\bar{x_{i･･l･}}-\bar{x_{･j･l･}}\)
\(\bar{x_{i････}}+\bar{x_{･j･･･}}+\bar{x_{･･･l･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\(((αβδ)_{ijl}+(\bar{e_{ij･l･}}-\bar{e_{ij･‥}}-\bar{e_{i･･l･}}-\bar{e_{･j･l･}}\)
+\(\bar{e_{i‥･･}}-\bar{e_{･j‥･}}-\bar{e_{･･･l･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\(((αβδ)_{ijl}^2)\)]
+ E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{e_{ij･l･}}-\bar{e_{ij‥･}}-\bar{e_{i･･l･}}-\bar{e_{･j･l･}}\)
+\(\bar{e_{i‥･･}}-\bar{e_{･j‥･}}-\bar{e_{･･･l･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]
第1項：
=ceE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αβδ)_{ijl}^2)\)
=\(ce(a-1)(b-1)(d-1)σ_{A×B×D}^2\)
第2項：
=\((a-1)(b-1)(d-1)σ_e^2\)
E[\(S_{A×B×D}\)]
=\(ce(a-1)(b-1)(d-1)σ_{A×B×D}^2\)+\((a-1)(b-1)(d-1)σ_e^2\)
交互作用A×B×Dの自由度は(a-1)(b-1)(d-1)より、分散の期待値E[VA×B×D]が求まります。
E[\(V_{A×B×D}\)]=\(ceσ_{A×B×D}^2\)+\(σ_e^2\)
なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_{ A×B×D }^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{l=1}^{d}(αβδ)_{ijl}^2}{(a-1)(b-1)(d-1)}\)]
\(σ_{e}^2\)については解説集にあります。
残差の分散の期待値の導出
E[\(S_e\)]= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((x_{ijklm}-\bar{ x_{ijkl･}})^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((e_{ijklm}-\bar{ e_{ijkl･}})^2\)]
=abcd(e-1)\(σ_e^2\)
E[\(S_e\)]= abcd (e-1)\(σ_e^2\)
(全計算過程は解説集にあります)
残差eの自由度はabcd (e-1)より、分散の期待値E[Ve]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。計算は複雑ですが、自由度で割ると\(σ_e^2\)になることがわかります。
E[e]=\(σ_e^2\)
④四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる
自由度の計算
各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。
- データの構造式を書く
- 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
- 自由度は表を活用すると簡単に求まる
自由度をまとめます。
| SA | SB | SC | SD | SA×B | SA×C | SA×D | SB×C | |
| a | 1 | -1 | -1 | -1 | ||||
| b | 1 | -1 | -1 | |||||
| c | 1 | -1 | -1 | |||||
| d | 1 | -1 | ||||||
| ab | 1 | |||||||
| ac | 1 | |||||||
| ad | 1 | |||||||
| bc | 1 | |||||||
| bd | ||||||||
| cd | ||||||||
| abc | ||||||||
| abd | ||||||||
| acd | ||||||||
| bcd | ||||||||
| abcd | ||||||||
| abcde | ||||||||
| 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| SB×D | SC×D | SA×B×C | SA×B×D | SA×C×D | SB×C×D | SA×B×C×D | Se | |
| a | 1 | 1 | 1 | -1 | ||||
| b | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | |||
| c | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | |||
| d | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | ||
| ab | -1 | -1 | 1 | |||||
| ac | -1 | -1 | 1 | |||||
| ad | -1 | -1 | 1 | |||||
| bc | -1 | -1 | 1 | |||||
| bd | 1 | -1 | -1 | 1 | ||||
| cd | 1 | -1 | -1 | 1 | ||||
| abc | 1 | -1 | ||||||
| abd | 1 | -1 | ||||||
| acd | 1 | -1 | ||||||
| bcd | 1 | -1 | ||||||
| abcd | 1 | -1 | ||||||
| abcde | 1 | |||||||
| 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 |
分散分析の結果
分散分析表を作ります。
| φ | E[V] | |
| A | a-1 | \(σ_e^2\)+bcde\(σ_A^2\) |
| B | b-1 | \(σ_e^2\)+acde\(σ_B^2\) |
| C | c-1 | \(σ_e^2\)+abde\(σ_C^2\) |
| D | d-1 | \(σ_e^2\)+abce\(σ_D^2\) |
| A×B | (a-1)(b-1) | \(σ_e^2\)+cde\(σ_{A×B}^2\) |
| A×C | (a-1)(c-1) | \(σ_e^2\)+bde\(σ_{A×C}^2\) |
| A×D | (a-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+bce\(σ_{A×D}^2\) |
| B×C | (b-1)(c-1) | \(σ_e^2\)+ade\(σ_{B×C}^2\) |
| B×D | (b-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+ace\(σ_{B×D}^2\) |
| C×D | (c-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+abe\(σ_{C×D}^2\) |
| A×B×C | (a-1)(b-1)(c-1) | \(σ_e^2\)+de\(σ_{A×B×C}^2\) |
| A×B×D | (a-1)(b-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+ce\(σ_{A×B×D}^2\) |
| A×C×D | (a-1)(c-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+be\(σ_{A×C×D}^2\) |
| B×C×D | (b-1)(c-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+ae\(σ_{B×C×D}^2\) |
| A×B×C×D | (a-1)(b-1)(c-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+e\(σ_{A×B×C×D}^2\) |
| e | abcd(e-1) | \(σ_e^2\) |
| T | abcde-1 |
⑤四元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
母平均の点推定の導出方法
有効繰返し数と区間推定の導出方法
区間推定は、下の式で算出します。
$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$
区間推定のポイント
- ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
- 誤差eの自由度φeである。
- Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出
サタースウェイトの式については、ここを見てください。
主効果の点推定と区間推定の導出
分散の期待値から分散の推定値を導出
分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
Ve=\(σ_e^2\)
よって、
\(\widehat{σ_e^2}\)= Ve
主効果の点推定と区間推定
点推定： \(\widehat{μ}(D_l)=\bar{x_{‥･l･}}\)=\(\widehat{μ+δ_l}\)
=\(μ+\bar{e_{‥･l･}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(D_l))\)
=V[μ+\(\bar{e_{‥･l･}}\)]
=V[\(\bar{e_{‥･l･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{abce}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。
交互作用の区間推定
点推定： \(\widehat{μ}(A_i B_j D_l)\)=\(\bar{x_{ij･l･}}\)
=\(μ+α_i+β_j＋δ_l+(αβδ)_{ijl}+\bar{e_{ij･l･}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j D_l))\)
=V[μ+\(α_i+β_j＋δ_l+(αβδ)_{ijl}+\bar{e_{ij･l･}}\)]
=V[\(\bar{e_{ij･l･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{ce}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。
一連の導出過程を解説しました。
⑥四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題
本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。
xijklm=μ+αi+βj+γk+δl
+ (αβ) ij+(αγ) ik+(αδ)il
+ (βδ) jl+(γδ)kl
+ (αβδ) ijl+(βγδ)jkl
+(αβγδ) ijkl+ eijklm
((βγ) jk,(αβγ) ijk,(αγδ)iklを
eijklmにプーリングした場合を考える。)
因子A,B,C,Dの自由度はそれぞれa,b,c,dとする。
(1)主効果、交互作用,残差eの自由度と分散の期待値を導出せよ。
(2)主効果,交互作用の点推定と区間推定を計算せよ。
(詳細は解説集にあります。)
まとめ
四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。
- ①四元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける
- ②四元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける
- ③四元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
- ④四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる
- ⑤四元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
- ⑥四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題
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