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四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

実験計画法

「四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析や期待値の導出が複雑でわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析や期待値の導出ができる

四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析や期待値の導出

  • ①四元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける
  • ②四元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける
  • ③四元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
  • ④四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる
  • ⑤四元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
  • ⑥四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。4因子繰返し有りの分散分析はなかなか見る機会がないので、本記事は必見です。実験計画法の肝なので、必読です!

●You tube動画もご確認ください

①四元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける

データの構造式

4因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。

四元配置実験のデータの構造式

xijklm=μ+αijkl
+ (αβ) ij+(αγ) ik+(αδ)il
+(βγ) jk+(βδ) jl+(γδ)kl
+(αβγ) ijk+ (αβδ) ijl+(αγδ)ikl+(βγδ)jkl
+(αβγδ) ijkl+ eijklm

各平均値をデータの構造式で作る

α、β、γ、δは母数因子なので、1つの添え字についての合計がすべて0となります。

\(\sum_{i=1}^{a} α_i\)=0
\(\sum_{j=1}^{b} β_j\)=0
\(\sum_{k=1}^{c} γ_k\)=0
\(\sum_{l=1}^{d} δ_l\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αγ)_{ik}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(αγ)_{ik}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αδ)_{il}\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(αδ)_{ il }\)=0
\(\sum_{j=1}^{b}(βγ)_{jk}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(βγ)_{jk}\)=0
\(\sum_{j=1}^{b}(βδ)_{jl}\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(βδ)_{ jl }\)=0
\(\sum_{k=1}^{c}(γδ)_{kl}\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(γδ)_{kl}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβγ)_{ijk}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβγ)_{ijk}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(αβγ)_{ijk}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβδ)_{ijl}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβδ)_{ijl}\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(αβδ)_{ijl}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αγδ)_{ikl}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(αγδ)_{ikl}\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(αγδ)_{ikl}\)=0
\(\sum_{j=1}^{b}(βγδ)_{jkl}\)=0, \(\sum_{k=1}^{c}(βγδ)_{ jkl }\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(βγδ)_{ jkl }\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}(αβγδ)_{ijkl}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβγδ)_{ijkl}\)=0,
\(\sum_{k=1}^{c}(αβγδ)_{ijkl}\)=0, \(\sum_{l=1}^{d}(αβγδ)_{ijkl}\)=0

この関係が、平方和の分解にて
(x+y)2=x2+ y2, xy=0
を満たします。

なお、母数因子ではない変量因子の場合は上の式が0ではない値になります。

平均値の式の代表例

データの構造式

xijklm=μ+αijkl
+ (αβ) ij+(αγ) ik+(αδ)il
+(βγ) jk+(βδ) jl+(γδ)kl
+(αβγ) ijk+ (αβδ) ijl+(αγδ)ikl+(βγδ)jkl
+(αβγδ) ijkl+ eijklm

\(\bar{x_{i・・・・}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{e_{i・・・・}}\)
\(\bar{x_{・j・・・}}\)=μ+\(β_j\)+\(\bar{e_{・j・・・}}\)
\(\bar{x_{・・k・・}}\)=μ+\(γ_k\)+\(\bar{e_{・・k・・}}\)
\(\bar{x_{・・・l・}}\)=μ+\(δ_l\)+\(\bar{e_{・・・l・}}\)
\(\bar{x_{ij・・・}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{ij・・・}}\)
\(\bar{x_{i・k・・}}\)=μ+\(α_i\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\(\bar{e_{i・k・・}}\)
\(\bar{x_{i・・l・}}\)=μ+\(α_i\)+\(δ_l\)+\((αδ)_{il}\)+\(\bar{e_{i・・l・}}\)
\(\bar{x_{・jk・・}}\)=μ+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((βγ)_{jk}\)+\(\bar{e_{・jk・・}}\)
\(\bar{x_{・j・l・}}\)=μ+\(β_j\)+\(δ_l\)+\((βδ)_{jl}\)+\(\bar{e_{・j・l・}}\)
\(\bar{x_{・・kl・}}\)=μ+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((γδ)_{kl}\)+\(\bar{e_{・・kl・}}\)
\(\bar{x_{ijk・・}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{ijk・・}}\)
\(\bar{x_{ij・l・}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(δ_l\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αδ)_{il}\)+\((βδ)_{jl}\)+\((αβδ)_{ijl}\)+\(\bar{e_{ij・l・}}\)
\(\bar{x_{i・kl・}}\)=μ+\(α_i\)+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((αγ)_{ik}\)+\((αδ)_{il}\)+\((γδ)_{kl}\)+\((αγδ)_{ikl}\)+\(\bar{e_{i・kl・}}\)
\(\bar{x_{・jkl・}}\)=μ+\(β_j\)+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((βγ)_{jk}\)+\((βδ)_{jl}\)+\((γδ)_{kl}\)+\((βγδ)_{jkl}\)+\(\bar{e_{・jkl・}}\)
\(\bar{x_{ijkl・}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αγ)_{ik}\)+\((αδ)_{il}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((βδ)_{jl}\)+\((γδ)_{kl}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\((αβδ)_{ijl}\)+\((αγδ)_{ikl}\)+\((βγδ)_{jkl}\)+\((αβγδ)_{ijkl}\)+\(\bar{e_{ijkl・}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)

②四元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです

SA SB SC SD SA×B SA×C SA×D SB×C
\(x_{ijklm}\)
\(\bar{x_{i・・・・}}\) 1 -1 -1 -1
\(\bar{x_{・j・・・}}\) 1 -1 -1
\(\bar{x_{・・k・・}}\) 1 -1 -1
\(\bar{x_{・・・l・}}\) 1 -1
\(\bar{x_{ij・・・}}\) 1
\(\bar{x_{i・k・・}}\) 1
\(\bar{x_{i・・l・}}\) 1
\(\bar{x_{・jk・・}}\) 1
\(\bar{x_{・j・l・}}\)
\(\bar{x_{・・kl・}}\)
\(\bar{x_{ijk・・}}\)
\(\bar{x_{ij・l・}}\)
\(\bar{x_{i・kl・}}\)
\(\bar{x_{・jkl・}}\)
\(\bar{x_{ijkl・}}\)
\(\bar{\bar{x}}\) -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

SB×D SC×D SA×B×C SA×B×D SA×C×D SB×C×D SA×B×C×D Se
\(x_{ijklm}\) 1
\(\bar{x_{i・・・・}}\) 1 1 1 -1
\(\bar{x_{・j・・・}}\) -1 1 1 1 -1
\(\bar{x_{・・k・・}}\) -1 1 1 1 -1
\(\bar{x_{・・・l・}}\) -1 -1 1 1 1 -1
\(\bar{x_{ij・・・}}\) -1 -1 1
\(\bar{x_{i・k・・}}\) -1 -1 1
\(\bar{x_{i・・l・}}\) -1 -1 1
\(\bar{x_{・jk・・}}\) -1 -1 1
\(\bar{x_{・j・l・}}\) 1 -1 -1 1
\(\bar{x_{・・kl・}}\) 1 -1 -1 1
\(\bar{x_{ijk・・}}\) 1 -1
\(\bar{x_{ij・l・}}\) 1 -1
\(\bar{x_{i・kl・}}\) 1 -1
\(\bar{x_{・jkl・}}\) 1 -1
\(\bar{x_{ijkl・}}\) 1 -1
\(\bar{\bar{x}}\) 1 1 -1 -1 -1 -1 1

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。SD、SA×C×D,Seを例に挙げます。

\(S_D\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (\bar{x_{・・・l・}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{ A×B×D }\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{x_{ij・l・}}-\bar{x_{ij‥}}-\bar{x_{i‥l・}}-\bar{x_{・j・l・}}\)
\(\bar{x_{i・・・・}}+\bar{x_{・j・・・}}+\bar{x_{・・・l・}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)

\((x_{ijklm}-\bar{x_{ijkl・}})^2\)

と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣΣΣ( )^2で計算できます。

③四元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事をご覧下さい。

本記事では因子D、残差eについて導出過程を詳しく見ていきます。

●因子A,Bについては、次の関連記事で導出過程を確認ください。

二元配置実験(繰り返し有り)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
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因子Cについては、次の関連記事で導出過程を確認ください。

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実験計画法の、三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか?公式暗記で済ませていませんか?本記事は、三元配置実験(繰り返し有り)の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。

主効果の分散の期待値の導出

E[\(S_D\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)\((\bar{x_{・・・l・}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\( (δ_l+\bar{e_{・・・l・}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((δ_l )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{e_{・・・l・}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=\(abce(d-1)σ_D^2\) +\((d-1)(σ_e^2\))

主効果Dの自由度は(d-1)より、分散の期待値E[VD]が求まります。

E[\(V_D\)]=\(abceσ_C^2\) +\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_D^2\)=E[\(\frac{\sum_{l=1}^{d}δ_l^2}{d-1}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

交互作用の分散の期待値の導出

E[\(S_{ A×B×D }\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d} \sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{x_{ij・l・}}-\bar{x_{ij‥・}}-\bar{x_{i・・l・}}-\bar{x_{・j・l・}}\)
\(\bar{x_{i・・・・}}+\bar{x_{・j・・・}}+\bar{x_{・・・l・}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\(((αβδ)_{ijl}+(\bar{e_{ij・l・}}-\bar{e_{ij・‥}}-\bar{e_{i・・l・}}-\bar{e_{・j・l・}}\)
+\(\bar{e_{i‥・・}}-\bar{e_{・j‥・}}-\bar{e_{・・・l・}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\(((αβδ)_{ijl}^2)\)]
+ E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)
\((\bar{e_{ij・l・}}-\bar{e_{ij‥・}}-\bar{e_{i・・l・}}-\bar{e_{・j・l・}}\)
+\(\bar{e_{i‥・・}}-\bar{e_{・j‥・}}-\bar{e_{・・・l・}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項:
=ceE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αβδ)_{ijl}^2)\)
=\(ce(a-1)(b-1)(d-1)σ_{A×B×D}^2\)

第2項:
=\((a-1)(b-1)(d-1)σ_e^2\)

E[\(S_{A×B×D}\)]
=\(ce(a-1)(b-1)(d-1)σ_{A×B×D}^2\)+\((a-1)(b-1)(d-1)σ_e^2\)

交互作用A×B×Dの自由度は(a-1)(b-1)(d-1)より、分散の期待値E[VA×B×D]が求まります。

E[\(V_{A×B×D}\)]=\(ceσ_{A×B×D}^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_{ A×B×D }^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{l=1}^{d}(αβδ)_{ijl}^2}{(a-1)(b-1)(d-1)}\)]

\(σ_{e}^2\)については解説集にあります。

残差の分散の期待値の導出

E[\(S_e\)]= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)

\((x_{ijklm}-\bar{ x_{ijkl・}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\sum_{m=1}^{e}\)

\((e_{ijklm}-\bar{ e_{ijkl・}})^2\)]
=abcd(e-1)\(σ_e^2\)
E[\(S_e\)]= abcd (e-1)\(σ_e^2\)
(全計算過程は解説集にあります)

残差eの自由度はabcd (e-1)より、分散の期待値E[Ve]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。計算は複雑ですが、自由度で割ると\(σ_e^2\)になることがわかります。

E[e]=\(σ_e^2\)

④四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事に解説しています。まとめると次の3つです。

  1. データの構造式を書く
  2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
  3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

自由度をまとめます。

SA SB SC SD SA×B SA×C SA×D SB×C
a 1 -1 -1 -1
b 1 -1 -1
c 1 -1 -1
d 1 -1
ab 1
ac 1
ad 1
bc 1
bd
cd
abc
abd
acd
bcd
abcd
abcde
1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1

SB×D SC×D SA×B×C SA×B×D SA×C×D SB×C×D SA×B×C×D Se
a 1 1 1 -1
b -1 1 1 1 -1
c -1 1 1 1 -1
d -1 -1 1 1 1 -1
ab -1 -1 1
ac -1 -1 1
ad -1 -1 1
bc -1 -1 1
bd 1 -1 -1 1
cd 1 -1 -1 1
abc 1 -1
abd 1 -1
acd 1 -1
bcd 1 -1
abcd 1 -1
abcde 1
1 1 1 -1 -1 -1 -1 1

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

φ E[V]
A a-1 \(σ_e^2\)+bcde\(σ_A^2\)
B b-1 \(σ_e^2\)+acde\(σ_B^2\)
C c-1 \(σ_e^2\)+abde\(σ_C^2\)
D d-1 \(σ_e^2\)+abce\(σ_D^2\)
A×B (a-1)(b-1) \(σ_e^2\)+cde\(σ_{A×B}^2\)
A×C (a-1)(c-1) \(σ_e^2\)+bde\(σ_{A×C}^2\)
A×D (a-1)(d-1) \(σ_e^2\)+bce\(σ_{A×D}^2\)
B×C (b-1)(c-1) \(σ_e^2\)+ade\(σ_{B×C}^2\)
B×D (b-1)(d-1) \(σ_e^2\)+ace\(σ_{B×D}^2\)
C×D (c-1)(d-1) \(σ_e^2\)+abe\(σ_{C×D}^2\)
A×B×C (a-1)(b-1)(c-1) \(σ_e^2\)+de\(σ_{A×B×C}^2\)
A×B×D (a-1)(b-1)(d-1) \(σ_e^2\)+ce\(σ_{A×B×D}^2\)
A×C×D (a-1)(c-1)(d-1) \(σ_e^2\)+be\(σ_{A×C×D}^2\)
B×C×D (b-1)(c-1)(d-1) \(σ_e^2\)+ae\(σ_{B×C×D}^2\)
A×B×C×D (a-1)(b-1)(c-1)(d-1) \(σ_e^2\)+e\(σ_{A×B×C×D}^2\)
e abcd(e-1) \(σ_e^2\)
T abcde-1

⑤四元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

  1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
  2. 誤差eの自由度φeである。
  3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

  

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
Ve=\(σ_e^2\)
よって、
\(\widehat{σ_e^2}\)= Ve

主効果の点推定と区間推定

点推定: \(\widehat{μ}(D_l)=\bar{x_{‥・l・}}\)=\(\widehat{μ+δ_l}\)
=\(μ+\bar{e_{‥・l・}}\)

分散:\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(D_l))\)
=V[μ+\(\bar{e_{‥・l・}}\)]
=V[\(\bar{e_{‥・l・}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{abce}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

交互作用の区間推定

点推定: \(\widehat{μ}(A_i B_j D_l)\)=\(\bar{x_{ij・l・}}\)
=\(μ+α_i+β_j+δ_l+(αβδ)_{ijl}+\bar{e_{ij・l・}}\)

分散:\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j D_l))\)
=V[μ+\(α_i+β_j+δ_l+(αβδ)_{ijl}+\bar{e_{ij・l・}}\)]
=V[\(\bar{e_{ij・l・}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{ce}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑥四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。

【問】四元配置実験(繰り返し有り)について、次のデータの構造式を考える。
xijklm=μ+αijkl
+ (αβ) ij+(αγ) ik+(αδ)il
+ (βδ) jl+(γδ)kl
+ (αβδ) ijl+(βγδ)jkl
+(αβγδ) ijkl+ eijklm
((βγ) jk,(αβγ) ijk,(αγδ)ikl
eijklmにプーリングした場合を考える。)
因子A,B,C,Dの自由度はそれぞれa,b,c,dとする。
(1)主効果、交互作用,残差eの自由度と分散の期待値を導出せよ。
(2)主効果,交互作用の点推定と区間推定を計算せよ。
(詳細は解説集にあります。)

まとめ

四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

  • ①四元配置実験(繰り返し有り)のデータの構造式が書ける
  • ②四元配置実験(繰り返し有り)の平方和の分解の式が書ける
  • ③四元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
  • ④四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析ができる
  • ⑤四元配置実験(繰り返し有り)の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
  • ⑥四元配置実験(繰り返し有り)の分散分析を導出できる演習問題


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