【本記事限定】3水準以上の直交表には交互作用が複数列ある理由

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公式がありますので紹介します。

$$ S_{[k]}= \sum_{i=1}^{3} \frac{(第i水準のデータ和)^2}{ 第i水準のデータ数 }-CT $$

S[k]は第[k]列の平方和、CTは修正項です。

関連記事「【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】」で紹介したように、データの構造式を作ってから直交表に割当てしましょう。

【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】 本記事では、教科書では書いていない直交表の構成やデータの構造式から直交表が作れることをわかりやすく解説します。

3水準で3因子(A,B,C)を事例に挙げます。すべての場合を実験すると、実験回数は27回です。データの構造式は、
\(x_{ijk}=μ+α_i+β_j+γ_k+(αβ)_{ij}+(βγ)_{jk}+(αγ)_{ik}+e_{ijk} \)
ですね。

ですから、主効果A,B,Cと交互作用A×B,A×C,B×C,残差eの7列が直交表に割当てます。ん？　直交表L27は13列だけど？と思ったでしょう。7列ではなく13列必要な理由をこれから解説します。

データを用意します。

完全配置実験として、三元配置実験の分散分析の結果を示します。

次に、7列の直交表を作って割当てましょう。交互作用の列の水準のつくり方は、関連記事「【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】」で確認しましょう。

【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】 本記事では、教科書では書いていない直交表の構成やデータの構造式から直交表が作れることをわかりやすく解説します。

上の図にあるように、各列の平方和を算出しましょう。

$$ S_{[k]}= \sum_{i=1}^{3} \frac{(第i水準のデータ和)^2}{ 第i水準のデータ数 }-CT $$

より、第１列(主効果A)は、
第1水準の和： 119
第2水準の和： 145
第3水準の和： 114
修正項CT=378^2/27=5292
$$S[1]= \frac{119^2+145^2+114^2}{9}-5292=61.56$$

となります。

同様に、主効果B,C, 交互作用A×B,A×C,B×C,残差eの平方和を直交表から算出します。

完全配置実験した場合と7列の直交表から算出した分散分析の結果を比較しましょう。

変ですね。主効果は一致するのに、交互作用、残差は一致しませんし、直交表の方が値は少ないです。

直交表L27は計13列が必要です。各列に割当てて平方和を計算しましょう。全列の平方和の総和が全平方和と一致します。

交互作用について、
\(S_{A×B}=S_3+S_4\)=44.22+113.56=157.78
\(S_{A×C}=S_6+S_7\)=16.89+88.67=105.56
\(S_{B×C}=S_8+S_{11}\)=14.89+26.89=41.78
\(S_e=S_9+S_{10}+S_{12}+S_{13}\)=88.22+60.67+14.89+32.67=196.44

完全配置実験と直交表の分散分析結果が一致します。

実際に、データの構造式から計算すると、2因子交互作用は複数列必要になることがわかります。

$$ S_A =Sa $$
$$ S_{A×B} = S_{a×b} + S_{a×2b} $$
$$ S_{A×B} = S_{a×b} + S_{2a×b} $$

計算するとわかったのですが、交互作用は2種類と複数あります。つまり、直交表は同じ\(L_{27} (3^{13})\)でも、１つではなく、多数があります。これもここで、解説します。もっというと、直交表は無数にあります。教科書は１つしか書いていませんけど。

教科書には、交互作用には2乗をつけて、\(ab^2\),\(ac^2\)と表記しますが、本記事は積ではなく和で記載します。

\( ab^2 → a2b\)と書きます。

★例えば、3水準、3因子の場合

★例えば、3水準、4因子の場合

いろいろな直交表の列数がどのように決まるかが理解いただけたと思います。

以上、「【本記事限定】3水準以上の直交表には交互作用が複数列ある理由」を解説しました。