2021/07/18 (更新日: 2023/12/06)

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる

実験計画法

「母平均の点推定値を計算公式が複雑で覚えられない」、「有効反復数、田口の式や伊奈の式がうまく使いこなせない」などで困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【簡単】データの構造式から母平均の点推定が導出できる

データの構造式から母平均の点推定が導出できる

➀データの構造式から母平均の点推定を求める方法は１つ
②多元配置実験の母平均の点推定の導出方法
③直交表を使った多因子実験の母平均の点推定の導出方法

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データの構造式から実験計画法はすべて解けます。
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さっそく見ていきましょう。

➀データの構造式から母平均の点推定を求める方法は１つ

【重要】母平均の点推定の導出方法

(A)データの構造式を用意する。
(B)(左辺)に調べたい効果の平均μを、(右辺)に調べたい効果を含む項をデータの構造式から残す。
(C)(B)の式の主効果・交互作用の項をすべて\(x\)についての項に直す。
(D)残った項を\(\widehat{μ+●}\) の項に変える。

二元配置実験の場合

(A)データの構造式を用意します。
\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}\)+\(e_{ijk}\)
とします。

(B)最適条件\(μ(A_i B_j)\)の点推定値を求めましょう。
データ構造式のうち、ABを含む項だけ残します。
\(μ(A_i B_j)\)=\(μ+α_i+β_j+ (αβ)_{ij}\)

(C) 主効果・交互作用の項をすべて\(x\)についての項に直します。
\(μ\)=\(\bar{\bar{x}}\)
\(α_i\)=\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\)
\(β_j\)=\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
\( (αβ)_{ij}\)=\(\bar{x_{ij･}}\)-\(\bar{x_{i‥}}\)-\(\bar{x_{･j･}}\)+\(\bar{\bar{x}}\)
を代入します。

\(μ(A_i B_j)\)
=\(μ+α_i+β_j+ (αβ)_{ij}\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{ij･}}\)-\(\bar{x_{i‥}}\)-\(\bar{x_{･j･}}\)+\(\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{ij･}}\)

(D)残った項を\(\widehat{μ+●}\) の項に変えます。
\(\bar{x_{ij･}}\)=\(\widehat{μ+a_i+b_j+(ab)_{ij}}\)
を代入します。

\(μ(A_i B_j)\)
=\(\bar{x_{ij･}}\)
=(\(\widehat{μ+a_i+b_j+(ab)_{ij}}\))

初めて見ると難しそうと思いますが、この(A)から(D)の方法で、全実験パターンで使えます。

以下応用事例を挙げますが、同じ方法で解説します。

②多元配置実験の母平均の点推定の導出方法

【重要】母平均の点推定の導出方法

三元配置実験の場合

(A)データの構造式を用意します。
\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+γ_k\)+\(e_{ijk}\)
とします。

(B)最適条件\(μ(A_i B_j C_k)\)の点推定値を求めましょう。
データ構造式のうち、ABCを含む項だけ残します。
\(μ(A_i B_j C_k)\)=\(μ+α_i+β_j+γ_k\)

(C) 主効果・交互作用の項をすべて\(x\)についての項に直します。
\(μ\)=\(\bar{\bar{x}}\)
\(α_i\)=\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\)
\(β_j\)=\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\)
\(γ_k\)=\(\bar{x_{‥k}}-\bar{\bar{x}}\)
を代入します。

\(μ(A_i B_j C_k)\)
=\(μ+α_i+β_j+γ_k\)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_{i‥}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{‥k}}-\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{i‥}}+\bar{x_{･j･}}\)+\(\bar{x_{‥k}}-2\bar{\bar{x}}\)

(D)残った項を\(\widehat{μ+●}\) の項に変えます。
\(\bar{x_{i‥}}=\widehat{μ+a_i}\)
\(\bar{x_{･j･}}=\widehat{μ+b_j}\)
\(\bar{x_{‥k}}=\widehat{μ+c_k}\)
\(\bar{\bar{x}}=\widehat{μ}\)
を代入します。

\(μ(A_i B_j C_k)\)
=\(\bar{x_{i‥}}\)+\(\bar{x_{･j･}}\)+\(\bar{x_{‥k}}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)
=(\(\widehat{μ+a_i}\))+(\(\widehat{μ+b_j}\))+(\(\widehat{μ+c_k}\))-2\(\widehat{μ}\)

演習問題(解説は解説書をご覧ください。)
問：次のような、データの構造式を定義した場合、母平均の点推定を導出せよ。
\(x_{ijk} =μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}\)+\((βγ)_{jk}+e_{ijk}\)
母平均の点推定 \(μ(A_i B_j)\)

詳細な解説は、演習問題集にあります。

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③直交表を使った多因子実験の母平均の点推定の導出方法

どんどん、複雑なデータの構造式にしますが、導出方法は同じです。

【重要】母平均の点推定の導出方法

直交表L₁₆(2¹⁵)に因子A,B,C,D,Fと交互作用A×B,C×Dを割り付けた。
データの構造式は
x=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)+e (eは誤差)
とする。この時、ABCDFの水準組み合わせで母平均を推定する。
\( \widehat{μ(ABCDF)}\)を導出せよ。

(A)から(D)の方法で導出します。全く同じ方法で攻略できるので大丈夫です。

(A)データの構造式を用意します。
x=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)+e

(B)最適条件μ(ABCDF)の点推定値を求めましょう。
直交表に多因子を割り付けているので、添字は簡略化します。
データ構造式のうち、ABCDFを含む項だけ残します。
μ(ABCDF)= μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)

(C) 主効果・交互作用の項をすべて\(x\)についての項に直します。
ここで、直交表に多因子を割り付けているので、添字は簡略化します。
\(μ\)=\(\bar{\bar{x}}\)
a=\(\bar{x_a}-\bar{\bar{x}}\)
b=\(\bar{x_b}-\bar{\bar{x}}\)
c=\(\bar{x_c}-\bar{\bar{x}}\)
d=\(\bar{x_d}-\bar{\bar{x}}\)
f=\(\bar{x_f}-\bar{\bar{x}}\)
ab=\(\bar{x_{ab}}-\bar{x_a}-\bar{x_b}+\bar{\bar{x}}\)
cd=\(\bar{x_{cd}}-\bar{x_c}-\bar{x_d}+\bar{\bar{x}}\)
を代入します。

μ(ABCDF)
=μ+a+b+c+d+f+(ab)+(cd)
=\(\bar{\bar{x}}\)+(\(\bar{x_a}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_b}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_c}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_d}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_f}-\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{ab}}-\bar{x_a}-\bar{x_b}+\bar{\bar{x}}\))+(\(\bar{x_{cd}}-\bar{x_c}-\bar{x_d}+\bar{\bar{x}}\))
=\(\bar{x_{ab}}\)+\(\bar{x_{cd}}\)+\(\bar{x_f}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)

(D)残った項を\(\widehat{μ+●}\) の項に変えます。
\(\bar{x_{ab}}=\widehat{μ+a+b+(ab)}\)
\(\bar{x_{cd}}=\widehat{μ+c+d+(cd)}\)
\(\bar{x_f}=\widehat{μ+f}\)
\(\bar{\bar{x}}=\widehat{μ}\)
を代入します。

μ(ABCDF)
=\(\bar{x_{ab}}\)+\(\bar{x_{cd}}\)+\(\bar{x_f}\)-2\(\bar{\bar{x}}\)
=(\(\widehat{μ+a+b+(ab)}\))+(\( \widehat{μ+c+d+(cd)}\))+(\( \widehat{μ+f}\))-2\(\widehat{μ}\)

以下の演習問題もちょっと考えてみてください。

演習問題(解説は解説書をご覧ください。)
問：次のデータの構造式において、母平均の点推定を導出せよ。
直交表L₁₆(2¹⁵)に因子R(反復),A,B,D,Fと交互作用A×D,eを割り付けた。
分割法を適用しており、1次単位がR,A,B、2次単位がD,F,A×Dである。
(1)データの構造式を作れ。
(2)最適条件の母平均の点推定μ(ABDF)を導出せよ。

最強に難しいですが、データの構造式をたてて、(A)から(D)の流れで解けば必ず導出できます。

答えだけ書いておきます。
(1) x=μ+r+a+b+\(e_{(1)}\)+d+f+\(e_{(2)}\)
(2) μ(ABDF)=(\(\widehat{μ+a+d+(ad)}\))+(\(\widehat{μ+b}\))+(\(\widehat{μ+f}\))-2\(\widehat{μ}\)

詳細な解説は、演習問題集にあります。

まとめ

データの構造式から母平均の点推定の導出ができます。導出方法は１つだけなので、何度も読んで確実に身につけてください。

➀データの構造式から母平均の点推定を求める方法は１つ
②多元配置実験の母平均の点推定の導出方法
③直交表を使った多因子実験の母平均の点推定の導出方法

読んでおくべき関連記事

実験計画法