コレスポンデンス分析ができる
「コレスポンデンス分析がわからない」などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①コレスポンデンス分析とは
- ➁コレスポンデンス分析の解き方
- ➂解法1.データ表を用意
- ➃解法2. 相関係数が最大になる条件を求める
- ➄解法3.ラグランジュの未定乗数法を使う
- ⑥解法4.結果的に固有方程式になる
- ⑦解法5.固有値解からデータの関係性を求める
各欄の値が0以上の整数において
相関係数の最大化する条件を求めるもの
数量化3類と数量化4類の解法を合体させたものと
理解しよう！
①コレスポンデンス分析とは
コレスポンデンス分析とは
簡単にいうと
カテゴリーを数量化と重みづけしたもの。
重みづけは数量化4類の解法をベースに理解しよう！
なので、数量化3類と数量化4類の解法がベースとなります。関連記事で事前に確認しましょう。まったく同じ解法で本記事を解説します。
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➁コレスポンデンス分析の解き方
解法手順
では、コレスポンデンス分析の解法を解説します！ 次のステップで解いていきます。
- データ表を用意
- 相関係数が最大になる条件を求める
- ラグランジュの未定乗数法を使う
- 結果的に固有方程式になる
- 最大の固有値解からデータの関係性を求める
よく見ると、
なので、注意したいのは、
条件式がラグランジュの未定乗数法を用いた結果
固有方程式になるという意識が大事でしたね！
主成分分析でも同じことを解説しています。関連記事で紹介します。
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では、実データを使いながら解説します。
➂解法1.データ表を用意
データ表を用意
あるアンケートを取ったら、下表のようになったとしましょう。これをコレスポンデンス分析で分析しましょう。
| データ | \(b_1\) | \(b_2\) | \(b_3\) | 計 |
| \(a_1\) | 0 | 1 | 1 | 2 |
| \(a_2\) | 1 | 0 | 2 | 3 |
| \(a_3\) | 3 | 0 | 0 | 3 |
| 計 | 4 | 1 | 3 | 8 |
ここで、表の意味を説明します。
(\(a_i\),\(b_j\))においては、その点数が指定されています。
数量化3類は点数はなく、すべての(\(a_i\),\(b_j\))が1または0(空欄)でしたね。
1以上の整数が入るのが、コレスポンデンス分析と数量化３類との違いです。
その中で、表全体の相関係数が最大にとなる条件を考えます。
データの平均と分散を0,1と標準化する
解析しやすくするために、
●平均0
●分散1
とします。
平均
●\(\bar{a}\)=\(\frac{2a_1+3a_2+3a_3}{8}\)=0
●\(\bar{b}\)=\(\frac{4b_1+b_2+3b_3}{8}\)=0
分散V
●\(V_a\)=\(\sum_{i=1}^{8}\frac{(a_i-\bar{a})^2}{8}\)=\(\sum_{i=1}^{8}\frac{a_i}{8}\)
=\(\frac{1}{8}(2a_1^2+3a_2^2+3a_3^2)\)=1
●\(V_b\)=\(\sum_{i=1}^{8}\frac{(b_i-\bar{b})^2}{8}\)=\(\sum_{i=1}^{8}\frac{b_i}{8}\)
=\(\frac{1}{8}(4b_1^2+b_2^2+3b_3^2)\)=1
まとめると、
\(\frac{1}{8}(4b_1^2+b_2^2+3b_3^2)\)=1
後で使う式となります。
➃解法2.相関係数が最大になる条件を求める
解法は数量化３類と全く同じです。
相関係数を計算
相関係数\(r\)は
\(r\)=\(\frac{S_{ab}}{S_{a} S_{b}}\)
ですね。
分母はすでに分散のところで計算済なので、
●\(S_a\)=\((2a_1^2+3a_2^2+3a_3^2)\)=8
●\(S_b\)=\((4b_1^2+b_2^2+3b_3^2)\)=8
分子を計算すると、
●\(S_{ab}\)\(\sum_{i=1}^{8} (a_i-\bar{a})(b_i-\bar{b})\)
=\(a_1 b_2+a_1 b_3 + a_2 b_1 + 2a_2 b_3 + 3a_3 b_1\)
よって、相関係数\(r\)は
➄解法3.ラグランジュの未定乗数法を使う
ラグランジュの未定乗数法
\(a,b\)の制約条件は、分散の式から
●\(\frac{1}{8}(2a_1^2+3a_2^2+3a_3^2)\)-1=0
●\(\frac{1}{8}(4b_1^2+b_2^2+3b_3^2)\)-1=0
関数Fを下式で定義します。今回変数が\(a,b\)の2種類があるので\(λ_1,λ_2\)を使います。
-\(\frac{λ_1}{2}(\frac{1}{8}(2a_1^2+3a_2^2+3a_3^2)-1)\)
-\(\frac{λ_2}{2}(\frac{1}{8}(4b_1^2+b_2^2+3b_3^2)-1)\)
相関係数\(r\)が最大になる条件は、
●\(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial a_1}\)=\(\frac{1}{8}(b_2+b_3)-\frac{λ_1}{2} \frac{4a_1}{8}\)=0 …①
●\(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial a_2}\)=\(\frac{1}{8}(b_1+2b_3)- \frac{λ_1}{2} \frac{6a_2}{8}\)=0 …➁
●\(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial a_3}\)=\(\frac{1}{8}(3b_1)- \frac{λ_1}{2} \frac{6a_3}{8}\)=0 …➂
●\(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial b_1}\)=\(\frac{1}{8}(a_2+3a_3)- \frac{λ_2}{2} \frac{8b_1}{8}\)=0 …➃
●\(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial b_2}\)=\(\frac{1}{8}(a_1)- \frac{λ_2}{2} \frac{2b_2}{8}\)=0 …➄
●\(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial b_3}\)=\(\frac{1}{8}(a_1+2a_2)- \frac{λ_2}{2} \frac{6b_3}{8}\)=0 …⑥
ラグランジュの未定乗数法を使うことです。
ここをよく意識しておいてください。
⑥解法4.結果的に固有方程式になる
①～⑥の式を整理していきます。
相関係数\(r\)と\(λ_1,λ_2\)の関係式を作る
①×\(a_1\)+➁×\(a_2\)+➂×\(a_3\)
(\(a_1 b_2 + a_1 b_3 – 2λ_1 a_1^2\))+(\(a_2 b_1 + 2a_2 b_3 – 3λ_1 a_2^2\))+(\(3a_3 b_1 – 3λ_1 a_3^2\))=0
\((a_1 b_2 + a_1 b_3+ a_2 b_1 + 2a_2 b_3+3a_3 b_1)\)-\(λ_1(2a_1^2+3 a_2^2+3 a_3^2)\)=0
\(8r -8λ_1\)=0
より、
\(r\)=\(λ_1\)
とシンプルになります。
同様に
➃×\(b_1\)+⑤×\(b_2\)+⑥×\(b_3\)
(\(a_2 b_1 +3 a_3 b_1 – 4λ_2 b_1^2\))+(\(a_1 b_2 – λ_2 b_2^2\))+(\(a_1 b_3 +2a_2 b_3 – 3λ_2 b_3^2\))=0
\((a_2 b_1 +3 a_3 b_1+ a_1 b_2 + a_1 b_3 +2a_2 b_3)\)-\(λ_2(4b_1^2+b_2^2+3 b_3^2)\)=0
\(8r -8λ_2\)=0
より、
\(r\)=\(λ_2\)
とシンプルになります。
まとめると、
の関係式を使っていきます。
固有方程式が結果的にできる
\(λ_1\)=\(λ_2\)=\(λ\)として、①➁➂式から
●\(a_1\)=\(\frac{b_2 +b_3}{2λ}\) …①
●\(a_2\)=\(\frac{b_1 +2b_3}{3λ}\) …➁
●\(a_3\)=\(\frac{b_1}{λ}\) …➂
➃➄⑥式に代入すると
●\(\frac{b_1 + 2b_3}{3λ}+\frac{3b_1}{λ}\)-\(4λb_1\)=0 …➃
●\(\frac{b_2 + b_3}{2λ}-λb_2\)=0 …➄
●\(\frac{b_2 + b_3}{2λ}+\frac{2b_1+4b_2}{3λ}\)-\(3λb_3\)=0 …⑥
この式を行列表記すると、結果的、固有方程式ができます。
\(\left(
\begin{array}{cccc}
10-12λ^2 & 0 & 2 \\
0 & 1-2λ^2 & 1 \\
4 & 11 & 3-18λ^2
\end{array}
\right)
\)\(
\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right)
\)=
\(
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
\)
固有値解を解く
上の固有方程式から、下の行列式=0となる条件を解けばOKです。3次方程式になりますが、頑張って解きます！
\(\begin{vmatrix}
10-12λ^2 & 0 & 2 \\
0 & 1-2λ^2 & 1 \\
4 & 11 & 3-18λ^2
\end{vmatrix}\)=0
\(λ^2=t\)(\(t\) ≥ 0)とおいて、行列式を解くと、
\(λ^2=t\)(\(t\) ≥ 0)
\((10-12t)(1-2t)(3-18t)\)+0・1・4+2・0・11-2・\((1-2t)\)・4-0・0・\((3-18t)\)-\((10-12t)\)・1・11=0
\(54t^3-81t^2+16t+11\)=0
\((t-1)(54t^2-27t-11)\)=0
より、
\(t\)=1,-0.2659,0.766
\(t\) ≥ 0より、
\(t\)=1,0.766
数量化3類でありましたように、
\(t\)=1は相関係数が1となるので、特例として扱わないとします。
よって、
\(t\)=0.766
\(λ\)=0.875
の１つだけとなります。
ここまでで、固有値解が計算できました。次は固有ベクトルを計算してデータの関係性を確認します。
⑦解法5.最大の固有値解からデータの関係性を求める
固有値が1つ（\(λ\)=0.875）求まりましたので、それぞれの固有ベクトルを計算しましょう。
固有値\(λ\)=0.875のとき
固有方程式は
\(\left(
\begin{array}{cccc}
0.808 & 0 & 2 \\
0 & -0.532 & 1 \\
4 & 11 & -10.788
\end{array}
\right)
\)\(
\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right)
\)=
\(
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
\)
計算すると
\(
\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right)
\)=\(
\left(
\begin{array}{c}
-0.758 \\
0.575\\
0.306
\end{array}
\right)
\)
\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\)は
\(a_1\)=\(\frac{b_2+b_3}{2λ}\)=0.504
\(a_2\)=\(\frac{b_1+2b_3}{3λ}\)=0.150
\(a_3\)=\(\frac{b_1}{λ}\)=-0.866
\(r\)=\(λ\)=0.875
固有値\(λ\)=0.809からわかること
\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\)と
\(b_1\),\(b_2\),\(b_3\)の
大きい順に並べると
●\(b_2\)=0.575, \(b_3\)=0.306, \(b_1\)=-0.758
●\(a_1\)=0.504, \(a_2\)=0.150, \(a_3\)=-0.866
の順になります。これを最初の表に適用すると、相関性の高い順に並び変わります。
元の表は、
| データ | \(b_1\) | \(b_2\) | \(b_3\) | 計 |
| \(a_1\) | 0 | 1 | 1 | 2 |
| \(a_2\) | 1 | 0 | 2 | 3 |
| \(a_3\) | 3 | 0 | 0 | 3 |
| 計 | 4 | 1 | 3 | 8 |
から下表に変化します。
| データ | \(b_2\) | \(b_3\) | \(b_1\) | 計 |
| \(a_1\) | 1 | 1 | 0 | 2 |
| \(a_2\) | 0 | 2 | 1 | 3 |
| \(a_3\) | 0 | 0 | 3 | 3 |
| 計 | 1 | 3 | 4 | 8 |
どうでしょうか？
左上から右下への対角線上にデータが乗るように、入れ替わりましたね！
これがコレスポンデンス分析で実施したいことです。
相関係数が最大になる条件を
ラグランジュの未定乗数法から求めます。
その結果、固有方程式につながります。
数量化3類と数量化4類の応用した解法ですね！
コレスポンデンス分析の分析ができましたね!
まとめ
「コレスポンデンス分析ができる」を解説しました。
- ①コレスポンデンス分析とは
- ➁コレスポンデンス分析の解き方
- ➂解法1.データ表を用意
- ➃解法2. 相関係数が最大になる条件を求める
- ➄解法3.ラグランジュの未定乗数法を使う
- ⑥解法4.結果的に固有方程式になる
- ⑦解法5.固有値解からデータの関係性を求める
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119