信頼度の点推定と区間推定がわかる(指数分布)
「寿命分布が指数分布の場合の点推定と区間推定がうまく計算できない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①分布関数
- ➁尤度関数(ゆうど）を作る
- ➂最尤推定量(さいゆう)を導出
- ➃点推定の導出
- ➄区間推定の導出
①分布関数
3つの分布関数を解説！
今回は、指数分布を取り上げますが、ＱＣプラネッツでは以下の3つの分布関数についても解説します。
- 指数分布
- ワイブル分布
- 正規分布
そして、３つの分布関数に対して、共通の解法で解説していきます。
今回は指数分布
指数分布関数の確率密度関数を定義します。
➁尤度関数(ゆうど）を作る
尤度関数とは？
Wikipedia から引用すると、
尤度関数とは前提条件に従って結果が出る場合に、逆に観察結果からみて前提条件が「何々であった」と推測する尤もらしさ（もっともらしさ）を表す数値を、変数とした関数。
尤度関数って何？
簡単に言うと、
とにかくやってみましょう。
いい加減に定義した関数が、良い加減な条件を作るので不思議です。
➂最尤推定量(さいゆう)を導出
指数分布の尤度関数を定義
こんな関数を尤度関数として定義します。理由はテキトーで、指数なので掛け算とlogを使いこなしたいから
(\(f(t_i)=λexp(-λt_i)\))
とにかく尤度関数をテキトーに設定して、微分=0となる条件式を作ります。
尤度関数はとにかく「微分して０」を作る
\(L(λ)\)= \(\displaystyle \prod_{i=1}^n λexp(-λt_i)\)
=\(λexp(-λt_1)\)×\(λexp(-λt_2)\)×…×\(λexp(-λt_n)\)
=\(λ^n exp(-λ \sum_{i=1}^{n} t_i)\)
ここで、両辺をlogをとりましょう。
\(log L(λ)\)=\(n log λ\) – \(λ \sum_{i=1}^{n} t_i\)
両辺をλで微分します。
\(\displaystyle \frac{\partial log(L(λ))}{\partial λ} \)=\(\frac{n}{λ}\)-\(\sum_{i=1}^{n} t_i \)=0
\(\frac{n}{λ}\)=\(\sum_{i=1}^{n} t_i \)
より
\(\frac{1}{λ}\)=\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} t_i \)
最尤推定量は何が出るの？
とりあえず、尤度関数を微分して0になる条件式を作りました。
よーくみると、
●(左辺)は故障率\(λ\)の逆数で
●(右辺)は寿命の平均
になっていますよね。
寿命平均が1/λってことですが、確かに正しいですよね。
➃点推定の導出
尤度関数を微分して0になる条件式から、
寿命平均が1/λとわかりました。これって、寿命の平均だから点推定としてＯＫです！
確かに、関数の極小値に落ち着く条件だから、それが点推定になるかもしれませんが、尤度関数から導出できるのは不思議ですね。
➄区間推定の導出
区間推定にχ2乗分布を使う理由
寿命が指数分布に従う場合、区間推定はχ2乗分布を使います。この理由は関連記事で解説しています。
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【必読】寿命計算の信頼区間にχ2乗分布を使う理由がよくわかる 指数分布に従う製品の寿命の信頼区間を計算するのに、何で自由度倍のχ2乗分布を使うか理由がわかりますか？本記事では理由を丁寧に解説します。単なる公式暗記ではなく、理由を理解することが大事です |
区間推定を導出
関連記事から理解してほしいのは、指数分布をガンマ分布に変身させて、ガンマ分布とχ2乗分布の確率密度関数を一致させることです。
(ii)χ2乗分布：\(g_n (u)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})} u^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}u}\)
ここにχ2乗分布に \(u=2tλ\)と\(n⇒2n\)を代入しましょう。
\(g_{2n} (2tλ)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{2n}{2}}Γ(\frac{2n}{2})} (2tλ)^{\frac{2n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}(2tλ)}\)
=\(\frac{1}{2^n Γ(n)} (2tλ)^{n-1} e^{-λt)}\)
=\(\frac{2^{n-1}}{2^n Γ(n)} λ^{n-1} t^{n-1 }e^{-λt)}\)
=\(\frac{1}{2λ} \frac{λ^n t^{n-1}}{Γ(n)} e^{-λt)}\)
=\(\frac{1}{2λ}f(t)\)
となり、係数\(\frac{1}{2λ}\)は残りますが、\(f(t)\)≡\(g_{2n} (u)\)となるので、指数分布は、自由度\(2n\)のχ2乗分布に従い、\(u=2tλ\)の関係を使います。
χ2乗分布から区間推定
指数分布は、自由度\(2n\)のχ2乗分布に従い、\(u=2tλ\)の関係を使うので、
の区間になります。
なお、λは
\(\frac{1}{λ}\)=\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} t_i \)
より、
\(T\)=\(\sum_{i=1}^{n} t_i \)
とおくと、
\(\frac{1}{λ}\)=\(\frac{T}{n}\)
となります。これを代入すると、
\(χ^2(2n,1-\frac{α}{2})\) < Pr(\(u=2tn/T\)) < \(χ^2(2n, \frac{α}{2})\)
となります。
まとめ
「信頼度の点推定と区間推定がわかる(指数分布)」を解説しました。
- ①分布関数
- ➁尤度関数(ゆうど）を作る
- ➂最尤推定量(さいゆう)を導出
- ➃点推定の導出
- ➄区間推定の導出
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