待機系の冷予備系の信頼性・故障率がわかる
「待機系の信頼度・故障率・MTTFの計算がわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①待機系の種類
- ➁冷予備系とは
- ➂冷予備系の平均寿命の計算
①待機系の種類
待機系ではさらに３つに分類できます。信頼性工学の専門書レベルですが、比較すると理解が深まるので解説します。
- 熱予備
- 温予備
- 冷予備
3つの違いを表にします。
| – | 種類 | 内容 |
| ① | 冷予備系 | 待機中は放置、稼働しない。 稼働しない分の信頼度は並列系より高くなる。 |
| ➁ | 温予備系 | 冷予備系と温予備系の間。 予備電源だけ入れて待機状態のイメージ。 |
| ➂ | 熱予備系 | 並列系と同じで、待機中も稼働し、 いつでも切り替えられる良さはあるが、 信頼度は並列系程度に低下する |
名前に、温度が関係する文字があるのは、対応する系の設備や施設と関連があるからです。
イメージは、
稼働しない分の信頼度は並列系より高くなる。
実は、下の待機系の記事は、冷予備系を前提に書いています。本記事はもう少し詳細に解説します。
また、信頼度\(R_s(t)\)の式も若干異なります。それぞれ解説記事があります。
●冷予備系：\(R_s(t)\)=\(R_1(t)+α\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ) dτ\)
●温予備系：\(R_s(t)\)=\(R_1(t)+α\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ+\frac{τ}{k}) dτ\)
●熱予備系：\(R_s(t)\)=\(R_1(t)+αR_2(t)(1-R_1(t))\)
➁冷予備系とは
冷予備系とは
●冷予備系が待機系より
●熱予備系に近いほど並列系の信頼性に近づく(低下する)
実は、下の待機系の記事は、冷予備系を前提に書いています。本記事はもう少し詳細に解説します。
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待機系の信頼性・故障率がよくわかる 待機系の信頼度、故障率、平均寿命は計算できますか。本記事では、わかりやすく解説しています。基本的な内容ですが、信頼度、確率密度関数、MTTFの導出式を理解して、待機系、多数決系の応用パターンも理解していきましょう。 |
冷予備系の信頼度\(R_s(t)\)
信頼度\(R_s(t)\)は、
\(R_s(t)\)=\(R_1(t)+α\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ) dτ\)
(0 ≤ \(α\) ≤ 1)
ですが、式の意味を解説すると、
２系は１系の影響を受けて稼働する・しないを決めるので、並列系のように単純な信頼度の積ではなく、畳み込み積分で計算します。
実例として、\(R_1(t)\)=\(e^{-λ_1 t}\)、\(R_2(t)\)=\(e^{-λ_2 t}\)として、\(R_s(t)\)を求めましょう。
まず、計算が大変そうな\(\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ) dτ\)を計算すると、
\(\displaystyle \int_{0}^{t} f_1(τ)R_2(t-τ) dτ\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{t} λ_1 e^{-λ_1 t} e^{λ_2 (t-τ)} dτ\)
=\(\frac{λ_1 e^{-λ_2 t}}{λ_1 – λ_2} (1- e^{-(λ_1 – λ_2)t})\)
よって、\(R_s(t)\)は
\(R_s(t)\)= \(e^{-λ_1 t} \)+α\(\frac{λ_1 e^{-λ_2 t}}{λ_1 – λ_2} (1- e^{-(λ_1 – λ_2)t})\)
ここで、α=0の場合、（切り替わりが失敗した場合）
\(R_s(t)\)= \(e^{-λ_1 t} \)=\(R_1(t)\)
と1系の信頼度だけで、
\(R_s(t)\)が最小の場合となります。
以降、α=１（切り替わりが確実に成功する場合）について計算すると、
\(R_s(t)\)= \(e^{-λ_1 t} \)+ \(\frac{λ_1 e^{-λ_2 t}}{λ_1 – λ_2} (1- e^{-(λ_1 – λ_2)t})\)
=\(\frac{1}{λ_1 – λ_2} (-λ_2 e^{-λ_1 t} +λ_1 e^{-λ_2 t})\)
となります。
冷予備系の確率密度関数\(f_s(t)\)
次に確率密度関数\(f_s(t)\)を計算します。導出方法が２つあります。
- 信頼度\(R_s(t)\)の微分から
- 1系、２系の確率密度関数の関係式から
２つ目の「1系、２系の確率密度関数の関係式から」は関連記事で導出済です。ご覧ください。
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待機系の信頼性・故障率がよくわかる 待機系の信頼度、故障率、平均寿命は計算できますか。本記事では、わかりやすく解説しています。基本的な内容ですが、信頼度、確率密度関数、MTTFの導出式を理解して、待機系、多数決系の応用パターンも理解していきましょう。 |
信頼度\(R_s(t)\)の微分から導出
\(f_s(t)\)=\(-\displaystyle \frac{dR_s(t)}{dt} \)
=-\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 – λ_2} e^{-λ_1 t}\) + \(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 – λ_2} e^{-λ_2 t}\)
=\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 – λ_2} (e^{-λ_2 t} – e^{-λ_1 t})\)
となり、関連記事からの導出結果と一致します。
➂冷予備系の平均寿命の計算
関連記事で解説済ですが、待機系と並列系の違いがよくわかるので重要です。
２つ目の「1系、２系の確率密度関数の関係式から」は関連記事で導出済です。ご覧ください。
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待機系の信頼性・故障率がよくわかる 待機系の信頼度、故障率、平均寿命は計算できますか。本記事では、わかりやすく解説しています。基本的な内容ですが、信頼度、確率密度関数、MTTFの導出式を理解して、待機系、多数決系の応用パターンも理解していきましょう。 |
平均寿命μの導出
μ= \(\displaystyle \int_{0}^{∞}t f_s(t) dt\)
=\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 -λ_2} \displaystyle \int_{0}^{∞} t e^{-λ_2 t} (1-e^{-(λ_1-λ_2)t})dt \)
部分積分すると、
=\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 -λ_2}\)
=\(( \left[ -\frac{1}{λ_2^2} e^{-λ_2 t}-\frac{1}{λ_2} t e^{-λ_2 t} \right]_0^∞ \)
+\( \left[ -\frac{1}{λ_1^2} e^{-λ_1 t}-\frac{1}{λ_1} t e^{-λ_1 t} \right]_0^∞ )\)
=\(\frac{λ_1 λ_2}{λ_1 -λ_2} (\frac{1}{λ_2^2 -λ_1^2 }) \)
=\(\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}\)
まとめると、
平均寿命μ=\(\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}\)
冷予備系(待機系)と並列系の比較
| – | 直列系 | 並列系 | 待機系 |
| μ | \(\frac{1}{λ}\) | \(\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}-\frac{1}{λ_1 + λ_2}\) | \(\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}\) |
次は、温予備系と熱予備系を見て、待機系の３つの違いを比較して理解しましょう。
まとめ
「待機系の冷予備系の信頼性・故障率がわかる」を解説しました。
- ①待機系の種類
- ➁冷予備系とは
- ➂冷予備系の平均寿命の計算
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