平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる(二項分布)
「平均出検品質AOQって何？」、「平均出検品質AOQ、平均出検品限界質AOQLって何？」などがわからず、困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
>選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQと抜取個数の関係がわかる(二項分布)
- ➀平均出検品質AOQを定義
- ②平均出検品限界質AOQLを導出
- ③平均出検品質AOQと抜取個数との関係をプロット(二項分布)
➀平均出検品質AOQを定義
選別型抜取検査の場合
AOQ=pL(p)
p:不良率
L(p):ロットの不良率
で表現できます。
詳細は、関連記事にありますので、確認ください。
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選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQがわかる 選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQや平均出検品質限界(AOQL)が何かを説明できますか？ 本記事では、選別型抜取検査の基本である平均出検品質AOQや平均出検品質限界(AOQL)をわかりやすく解説しました。選別型抜取検査の特徴を理解したい方は必見です。 |
L(p)= \( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\) (二項分布)
L(p)= \( \sum_{r=0}^{c} e^{(-np)}\frac{(np)^r}{r!}\) (ポアソン分布)
と複雑な式が入る点に注意が必要です。
②平均出検品限界質AOQLを導出
これを平均出検品限界質AOQLといいます。
平均出検品限界質AOQLを導出
\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0が、AOQLを求める条件です。
L(p)が二項分布の場合
\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
+p\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r (r p^{r-1} (1-p)^{n-r}+(n-r)p^r (1-p)^{n-r-1})\)
=0
L(p)がポアソン分布の場合
\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (np)^r}{ r!}\)
+ \( \sum_{r=0}^{c} \frac{e^{-np} (-np+r)}{r!}(np)^r\)
=0
非常に複雑な式になります。
微分の途中経過がわからない場合は、関連記事に解説しています。
選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQがわかる
選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQや平均出検品質限界(AOQL)が何かを説明できますか？ 本記事では、選別型抜取検査の基本である平均出検品質AOQや平均出検品質限界(AOQL)をわかりやすく解説しました。選別型抜取検査の特徴を理解したい方は必見です。
③平均出検品質AOQと抜取個数との関係をプロット(二項分布)
AOQLの導出は、
\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
+p\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r (r p^{r-1} (1-p)^{n-r}+(n-r)p^r (1-p)^{n-r-1})\)
=0
を満たす、pを求めて、そのpに該当するAOQL=pL(p)を求めます。ただし、式が複雑なので、抜取個数cをc=0,1,2の場合について１つずつ求めてみます。
抜取個数c=0の場合のAOQとAOQLを求める
\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{0} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
+p\( \sum_{r=0}^{0} {}_nC_r (r p^{r-1} (1-p)^{n-r}+(n-r)p^r (1-p)^{n-r-1})\)
=0
\( \sum_{r=0}^{0}\)を外し、両辺を
\({}_nC_r, p^r, (1-p)^{n-r-1}\)で割ります。
p=\(\frac{r+1}{n+1}\)=\(\frac{1}{n+1}\)
(c=0よりr=0)
となります。
AOQ=pL(p)
=p \( \sum_{r=0}^{0} {}_nC_0 p^0 (1-p)^{n-0}\)
=p (1-p)^n
=\(\frac{1}{n+1} (\frac{n}{n+1})^n\)
プロットしましょう。
抜取個数c=1の場合のAOQとAOQLを求める
\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{1} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
+p\( \sum_{r=0}^{1} {}_nC_r (r p^{r-1} (1-p)^{n-r}+(n-r)p^r (1-p)^{n-r-1})\)
=0
\({}_nC_0 p^0 (1-p)^{n-0}+{}_nC_1 p^1 (1-p)^{n-1}\)
+p\( {}_nC_0 (n-0)p^0 (-1) (1-p)^{n-0-1}\)
+ p\( {}_nC_1 (1 p^{1-1} (1-p)^{n-1}+(n-1)p^1 (-1)(1-p)^{n-1-1})\)
=0
両辺を
\((1-p)^{n-2}\)で割ります。
\((1-n^2)p^2+(n-2)p+1=0\)
p>0に注意して
p=\(\frac{(2-n)+\sqrt{5n^2-4n}}{2(1-n^2 )}\)
AOQ=pL(p)
にpを代入したいですが、複雑すぎるため、直接プロットしましょう。
AOQ=pL(p)
\( p\sum_{r=0}^{1} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
をグラフに描きます。
抜取個数c=2の場合のAOQとAOQLを求める
\(\frac{d}{dp} pL(p)\)=0
\( \sum_{r=0}^{2} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
+p\( \sum_{r=0}^{2} {}_nC_r (r p^{r-1} (1-p)^{n-r}+(n-r)p^r (1-p)^{n-r-1})\)
=0
\({}_nC_0 p^0 (1-p)^{n-0}+{}_nC_1 p^1 (1-p)^{n-1}\)
\(+{}_nC_2 p^2 (1-p)^{n-2}\)
+p\( {}_nC_0 (n-0)p^0 (-1)(1-p)^{n-0-1}\)
+ p\( {}_nC_1 (1 p^{1-1} (1-p)^{n-1}+(n-1)p^1 (-1)(1-p)^{n-1-1})\)
+ p\( {}_nC_2 (2 p^{2-1} (1-p)^{n-2}+(n-2)p^2 (-1)(1-p)^{n-2-1})\)
=0
ちょっときついですね、計算してもpの3次式になり、
方程式の解が求めることができません。
AOQ=pL(p)
\( p\sum_{r=0}^{2} {}_nC_r p^r (1-p)^{n-r}\)
をグラフに描きます。
最大値があることがわかります。この値をAOQLとしています。
まとめ
二項分布について選別型抜取検査（JISZ9015）の平均出検品質AOQと平均出検品限界質AOQLを導出しました。
- ➀平均出検品質AOQを定義
- ②平均出検品限界質AOQLを導出
- ③平均出検品質AOQと抜取個数との関係をプロット(二項分布)
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119