2021/11/13 (更新日: 2023/11/30)

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限規格値が既知の抜取方式

抜取検査

「計量抜取検査(標準偏差未知) (JISZ9004)がよくわからない」、「サンプル数n,合格判定係数kはどうやって求めるの？」、「標準偏差既知(JISZ9003)と何が違う？」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限規格値が既知の抜取方式

①サンプル数nと合格判定係数kを導出
②演習問題
③OC曲線を描く

①サンプル数nと合格判定係数kを導出

標準偏差が未知の場合において、サンプル数n、合格判定係数kの導出は、関連記事にまとめております。

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上下限規格値が既知の抜取方式の理論
JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とその理論について解説します。JISZ9004の理論が理解できます。

標準偏差が未知の場合、未知をどう定義するかがポイントになります。

JISZ9004の定義方法と、QCプラネッツ独自の定義方法を使って、それぞれサンプル数n、合格判定係数kを導出しています。

本記事は、結果だけ扱います。

JISZ9004の定義方法の場合

JISZ9004の定義方式
●n=\((\frac{K_α+K_β}{K_{p0}-K_{p1}})^2 (1+\frac{k’^2}{2}\))
●k’=\(\frac{K_β K_{p0}+K_α K_{p1}}{K_α + K_β}\)

標準偏差が既知の場合との違い
●nは\((1+\frac{k’^2}{2}\))が追加される
●k’はkと同じ式

標準偏差が未知の場合は、k’分だけサンプル数が増加するわけです。

QCプラネッツ独自の定義方法の場合

QCプラネッツ独自の定義方法の場合
●n=\((\frac{K_α+K_β}{K_{p0}-K_{p1}})^2 (1+k’^2 m^2\))
●k’=\(\frac{K_β K_{p0}+K_α K_{p1}}{K_α + K_β}\)

標準偏差が既知の場合との違い
●nは\( (1+k’^2 m^2\))が追加される
●k’はkと同じ式

標準偏差が未知の場合は、k’とm分だけサンプル数が増加するわけです。変数mは標準偏差sとσの比ですが、実際はいくらになるかわかりません。mをいくらか仮定し、抜取検査の結果にどうように影響を与えるかを考えるヒントになります。

②演習問題

実際の例を見ながら、理解を深めていきます。

【問】p0=1%,α=0.05,p1=10%,β=0.10を満足する抜取方式を以下のそれぞれについて考えよ。
(1) 標準偏差σが既知の場合
(2) 標準偏差σが未知の場合

単なる公式代入ですが、標準偏差σが既知・未知でどの程度違うのかを計算しましょう。

合格判定係数kとk’

●k’=k=\(\frac{K_β K_{p0}+K_α K_{p1}}{K_α + K_β}\)
\(\frac{1.282×2.326+1.645×1.282}{1.645 + 1.282}\)
=1.739

標準偏差が既知、未知どの場合も同じ結果になります。

サンプル数n

●標準偏差σが既知の場合
n=\((\frac{K_α+K_β}{K_{p0}-K_{p1}})^2\)
=\((\frac{1.645+1.282}{2.326-1.282})^2\)
=7.845≒8

●標準偏差σが未知の場合(JISZ9004の計算方法)
n=\((\frac{K_α+K_β}{K_{p0}-K_{p1}})^2 (1+\frac{k’^2}{2}\))
=\((\frac{1.645+1.282}{2.326-1.282})^2 (1+\frac{1.739^2}{2}\))
=19.71≒20

●標準偏差σが未知の場合(自己流の計算方法)
n=\((\frac{K_α+K_β}{K_{p0}-K_{p1}})^2 (1+k’^2 m^2\))
=\((\frac{1.645+1.282}{2.326-1.282})^2 (1+1.739^2 m^2\))
mの変数となります。

mを変化させた場合のサンプル数nの変化をグラフします。

m=0.7くらいで、JISZ9004の導出方法と自己流の導出方法による
サンプル数nが一致します。統計量sは標準偏差σの0.7倍くらいとすれば、
JISZ9004の導出方法と自己流の導出方法のどちらでもサンプル数nは等しいと
いえますね。

演習問題の解答

k=1.739でしたから,
サンプル数nに対して、\(\bar{x}\),sを求めて
\(\bar{x}\)+1.739s ≤ U ならば、ロットは合格
\(\bar{x}\)+1.739s > U ならば、ロットは不合格
となります。

③OC曲線を描く

上の例題について、OC曲線を描いて比較しましょう。

OC曲線を描くための準備

L(p)の作り方

不良率pを変数として0から値を振る。
pから正規分布表を使って\(K_{p}\)に変換する。
サンプル数n,合格判定係数kを代入し、\(K_{L(p)}\)を計算する。
\(K_{L(p)}\)を満たす確率L(p)を求める。
pとL(p)の関係からOC曲線を描く。

なお、OC曲線を描くために、k,β,p1の関係式を再度書きます。
(i)標準偏差が既知の場合
(ii)標準偏差が未知でJISZ9004の導出の場合
(iii)標準偏差が未知で自己流の導出の場合

標準偏差が既知の場合のOC曲線を描く準備については、関連記事で解説しています。

JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式
JISZ9003計量抜取検査(標準偏差既知)で上限規格値が既知の抜取方式について解説します。サンプル数n、合格判定個数k、上限合格判定値の導出やOC曲線の描き方を解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

標準偏差が未知の場合のOC曲線を描く準備については、関連記事で解説しています。

k,K_p1とK_βの関係式を作る

それぞれの場合について関係式を作ります。関連記事に解説しています。
k’をkに戻します。
(i) k=\(K_{p1}\)+\(K_{β} \frac{1}{\sqrt{n}}\)
(ii) \(K_{p1}\)= k+\(K_β\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k^2}{2(n-1)}}\)
(iii) \(K_{p1}\)= k+\(K_β\)\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k^2 m^2}{n}}\)

p1⇒p, β⇒L(p)に変えて一般化し、K_L(p)についての式に変形します。
(i) (k-\(K_{p1}\))\(\sqrt{n}\)=\(K_{L(p)}\)
(ii) (k-\(K_{p1}\)) 1/\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k^2}{2(n-1)}}\)= \(K_{L(p)}\)
(iii) (k-\(K_{p1}\))1/\(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{k^2 m^2}{n}}\)= \(K_{L(p)}\)

n,k,pを入力して、\(K_{L(p)}\)からL(p)を計算します。PとL(p)の関係をOC曲線に描きます。

上の例題をもとにOC曲線を描きます。

OC曲線のデータ表

(i)標準偏差が既知の場合

p	Kp	k-Kp	\(K_{L(P)}\)	L(p)
0.001	3.09	-1.35	-3.78	1
0.05	1.64	0.09	0.26	0.4
0.1	1.28	0.46	1.28	0.1
0.15	1.04	0.7	1.97	0.02
0.2	0.84	0.9	2.51	0.01

(ii)標準偏差が未知でJISZ9004の導出の場合

p	Kp	k-Kp	\(K_{L(P)}\)	L(p)
0.001	3.09	-1.35	-3.72	1
0.05	1.64	0.09	0.26	0.4
0.1	1.28	0.46	1.26	0.1
0.15	1.04	0.7	1.94	0.03
0.2	0.84	0.9	2.47	0.01

(iii)標準偏差が未知で自己流の導出の場合(m=1の計算結果)

p	Kp	k-Kp	\(K_{L(P)}\)	L(p)
0.001	3.09	-1.35	-3.78	1
0.05	1.64	0.09	0.26	0.4
0.1	1.28	0.46	1.28	0.1
0.15	1.04	0.7	1.97	0.02
0.2	0.84	0.9	2.51	0.01

結果をグラフにまとめます。

３つの場合のOC曲線はほぼ一致しました。あら、不思議ですね。

まとめ

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限限規格値が既知の抜取方式について、サンプル数n、合格判定個数kの導出方法とその理論について解説しました。

①サンプル数nと合格判定係数kを導出
②演習問題
③OC曲線を描く

抜取検査

JISZ9004計量抜取検査(標準偏差未知)で上限規格値が既知の抜取方式