2022/09/13 (更新日: 2023/12/01)

【まとめ】正規分布、カイ二乗分布、t分布、F分布の関係性がよくわかる

統計学

「正規分布、カイ二乗分布、t分布、F分布の関係性がわからない」、「公式暗記ばかりで理解できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【まとめ】正規分布、カイ二乗分布、t分布、F分布の関係性がよくわかる

①分布関数を必要とする理由を理解する
➁正規分布、カイ二乗分布、t分布、F分布の関係性
➂分布関数を導出するために必要な数学手法
➃分布関数の学ぶ順番

高校数学で十分わかる！

QC検定®２級、１級にも頻出なので、しっかり理解しましょう。

平方和・分散の導出方法でχ2乗分布、F分布、t分布の関数が作られていることがわかればOK！

「確率変数の変換」や「畳み込み積分」などはあとでいい！

①分布関数を必要とする理由を理解する

なんで、いろいろ分布関数があるの？

分布関数が必要な理由を最初に理解しましょう。

それは、

調べたい変数（特に、変位ｘ、変位ｘのばらつき）があるから

なので、調べたい変数に合わせた確率密度関数があるわけです。

何も知らずに、いきなり確率密度関数を勉強しても思考停止になるだけ

解析したい変数に合わせて分布関数がある

私たちが知りたい変数の情報は主に３つです。

変数Xそのもの
変数Xのばらつき（平方和）
変数Xの分散の変化（分散比）

つまり、
①データxの値そのものをまず調べて
➁その値が妥当かどうかを見たいために、分散・平方和を求める
➂また、条件変化によるデータxの変化も分散比から求めたい
という３つの情報があります。

知りたい情報を手助けする確率密度関数がそれぞれあります！

４つの分布関数がありますが、関係性は下表のとおりです。

変数	分布
変位x	正規分布(またはt分布)
平方和S 分散(V)	χ2乗分布
分散比	F分布

ここまでの内容は大丈夫でしょうか？わかりやすいはずですが、結構重要なエッセンスです。

この重要なエッセンスを主に、実際数式を解いていきます。数式が複雑なだけで考え方はここまで理解できればＯＫです。

➁正規分布、カイ二乗分布、t分布、F分布の関係性

関係性は図で理解する

図を見ましょう。

正規分布,χ2乗分布,F分布,t分布1

勉強する順番は、

変数Xそのもの
変数Xのばらつき（平方和）
変数Xの分散の変化（分散比）

ですから、
①最初に変位Ｘを表現する正規分布
➁正規分布の２乗和を表現するχ2乗分布で平方和・分散を評価します。
➂分散の変化があれば、分散比を使ってF分布を使います。
➃t分布はおまけ

ここで、t分布は　(t分布)=(正規分布)×1/√(χ2乗分布/n(自由度))な変換で導出します。イメージは

正規分布,χ2乗分布,F分布,t分布2

t分布が何者かわかりにくいですが、これで少しイメージが付いたと思います。

QC検定®では、
①正規分布
➁t分布
➂χ2乗分布
➃F分布
の順番ですが、

数学的には、
①正規分布
➁χ2乗分布
➂F分布
➃t分布
の順番の方が理解しやすいです。

➂分布関数を導出するために必要な数学手法

ここは、QC検定®１級以上のレベルなので、初めて確率密度関数を学ぶ人はスキップしてもOKです。

でも、導出過程を知らないと、わけのわからない関数のままです。

分布関数を導出するために必要な数学は以下です。すべて関連記事に書いていますのでご覧ください。

ベータ関数、ガンマ関数
(正規分布の積分に必要)
確率変数の変換
(\(Y=X^2\)のχ２乗分布を作るときに必要)
畳み込み積分
(自由度1からnのχ2乗分布を作るときに必要)
確率変数の変換
(F分布を作るときに必要)

難しい式を並べず、高校数学の復習をしてから解説しているので、理解しやすいです。１つずつ何度も読んで理解を深めてください。一読でわかるものではないので注意です！

ベータ関数、ガンマ関数

ガンマ関数がよくわかる(その2_大学数学編)
ガンマ関数がさらっと解けますか？本記事では、ガンマ関数の性質とベータ関数との関係式を高校数学を駆使してわかりやすく解説しています。ガンマ関数に慣れずに苦戦している人は必読です。

ベータ関数がよくわかる
ベータ関数は自力で解けますか？本記事ではベータ関数の導出方法や性質、ガンマ関数との関係をわかりやすく解説します。大学の数学のような難解な説明は一切していません。、大学受験で頻出問題となるベータ関数は受験でも統計学でも重要です。受験生と統計学を学ぶ人は必読です。

確率変数の変換

【まとめ】2変数の確率変数の変換がよくわかる
2変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説！教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ t分布、F分布の確率密度関数を導出したい方は必読な記事です。

畳み込み積分

【まとめ】畳み込み積分がよくわかる
畳み込み積分が計算できますか？本記事では畳み込み積分のイメージを高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布、指数分布、正規分布、ポアソン分布、χ2乗分布を組み合わせた畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。畳み込み積分の計算ができず困っている方は必見です。

➃分布関数の学ぶ順番

何度も書いていますが、

変数Xの分布は正規分布からスタートする
ばらつきを調べたいので平方和を表現するχ2乗分布が欲しくなる
ばらつきの変化を調べたいので分散比を表現するF分布が欲しくなる
t分布はおまけ

を理解しましょう。ここからは、実際に数学を駆使して確率密度関数を導出しています。関連記事を見てください。

変数Xの分布は正規分布からスタートする

正規分布の導出がよくわかる
正規分布の導出ができますか？本記事では専門書を読んでも理解できない正規分布の導出をわかりやすく解説しています。統計学、品質管理に関わる人は必読です。意味不明な式を暗記する前に導出やグラフのイメージを理解しましょう。

大事なポイントは、
なぜ、\(e^{-x^2}\)型を正規分布は使うのかを理解することです！この理由を考えながら関連記事を読んでください。

ばらつきを調べたいので平方和を表現するχ2乗分布が欲しくなる

【必読】χ2乗分布の導出がよくわかる
χ2乗分布の確率密度関数が導出できますか？本記事では、計算に必要な数学を復習しながら、わかりやすく導出過程を解説します。導出過程でつまづきやすいポイントを丁寧に解説！ χ2乗分布を勉強している人は必見です。

大事なポイントは、

①確率変数変換\(Y=X^2\)で2乗の変数を作る事です。1つの解法でどんな変換もイケます！実際に使う式は
\(g(y)\) =\(\frac{1}{2\sqrt{y}}(f(\sqrt{y})+f(-\sqrt{y}))\)
暗記せず、導出過程も理解していきましょう。

➁２乗の変換ができたら、次は、2乗和して平方和・分散の確率密度関数を作ることです。
和は「畳み込み積分」で表現します。
\(Z=X_1^2+X_2^2\)⇒ \( g(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_1(x)f_2(z-x)dx \)
ですね。これをくりかえします。

\(Z=(X_1^2+X_2^2)+X_3^2\)⇒ \( g(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_{1,2}(x)f_3(z-x)dx \)
…
\(Z=(X_1^2+…+X_{n-1}^2)+X_n^2\)⇒ \( g(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_{1,…,n-1}(x)f_n(z-x)dx \)
こうやってχ2乗分布の確率密度関数を導出します！