【初心者必見！】検定統計量(計数値&計量値)が導出できる

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①計量値、計数値、分割表における検定と推定②重要パターン問題、➂QC検定®１級レベルの応用問題と➃検出力の、全４５題。

★【結論】 計数値の検定統計量

★【結論】 計量値の検定統計量

標準正規分布に従うがベースとします。関連記事にあるように、
二項分布やポアソン分布は正規分布に近づく性質があります。

【初心者必見！】正規分布、二項分布、ポアソン分布が比較できる 本記事では、期待値、分散の値をそろえると、正規分布、二項分布、ポアソン分布はぴったりそろうことをわかりやすく解説します。

ベースとなる検定統計量は

です。この式くらいは暗記してもOKです。

ただし、１点注意なのは、サンプル数\(n\)の項は含まれていません。ここだけ注意しましょう。

二項分布の期待値と分散はそれぞれ
●E[\(k\)]=\(pn\) (\(k\)=\(pn\))
●V[\(k\)]=\(pn(1-p)\)　 (\(k\)=\(pn\))
です。この関係式を代入すれば二項分布の検定統計量が導出できます。

ポアソン分布の期待値と分散はそれぞれ
●E[\(k\)]=\(λ\)
●V[\(k\)]=\(λ\)
です。この関係式を代入すればポアソン分布の検定統計量が導出できます。

前提条件は、

検定統計量の出発点は、\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{σ}}\)
です。

二項分布の期待値と分散はそれぞれ
●E[\(k\)]=\(pn\) (\(k\)=\(pn\))
●V[\(k\)]=\(pn(1-p)\)　 (\(k\)=\(pn\))

ただし、１つ注意点があります。

なので、\(k=pn\)から\(p=\frac{k}{n}\)と変形して、求めます。

●E[\(p\)]=E[\(\frac{k}{n}\)]=\(\frac{1}{n}\)E[\(k\)]=\(\frac{pn}{n}\)=\(p\)
●V[\(p\)]= V[\(\frac{k}{n}\)]=\(\frac{1}{n^2}\)V[\(k\)]
=\(\frac{pn(1-p)}{n^2}\)=\(\frac{p(1-p)}{n}\)
を使います。

この関係式を代入すれば二項分布の検定統計量が導出できます。

なので、この式を\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ}\)に代入します
●\(\bar{x}\)→\(p\)
●\(μ_0\)→\(p_0\)
●\(σ\)→\(\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)
を代入するので、

\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ}\)
=\(\frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)
と導出できます。

前提条件は、

検定統計量の出発点は、\(u_0\)=\(\frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)
です。

分散は加法性を使って
●V(A-B)=V(A)+V(B)= \(\frac{p_A (1-p_A)}{n_A}\)+\(\frac{p_B (1-p_B)}{n_B}\)
とします。

この関係式を代入すれば二項分布の検定統計量が導出できます。

なので、この式を\(u_0\)=\(\frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)に代入します
●\( p \)→\(p_A\)
●\( p_0\)→\(p_B\)
●\(σ\)→\(\sqrt{\frac{p_A(1-p_A)}{n_A}+\frac{p_B(1-p_B)}{n_B}}\)
を代入するので、

\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ}\)
=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\frac{p_A(1-p_A)}{n_A}+\frac{p_B(1-p_B)}{n_B}}}\)
と導出できます。

二項分布の検定統計量が導出できました！

実はよく使う公式に、

ですが、よく確かめると

よく式を見ると、
●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\frac{p_A(1-p_A)}{n_A}+\frac{p_B(1-p_B)}{n_B}}}\)
●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
が一致させるには、

\(\frac{p_A(1-p_A)}{n_A}\)=\(\bar{p}(1-\bar{p})\)
かつ
\(\frac{p_B(1-p_B)}{n_B}\)=\(\bar{p}(1-\bar{p})\)
が必要ですが、

(左辺)はAまたはBのみ
(右辺)はA,B両方が含まれる値なので、
片方が実はない(0である)条件以外は結果は一致しません。

●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
は試験に出るから丸暗記とならないよう注意が必要です！

前提条件は、

検定統計量の出発点は、\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}\)
です。

ポアソン分布の期待値と分散はそれぞれ
●E[\(λ\)]=\(λ\)
●V[\(λ\)]=\(λ\)です。

二項分布と違って、\(λ\)を直接代入します。

この関係式を代入すればポアソン分布の検定統計量が導出できます。

なので、この式を\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}\)に代入します
●\(\bar{x}\)→\(λ\)
●\(μ_0\)→\(λ_0\)
●\(σ\)→\(\sqrt{\frac{λ_0}{n}}\)
を代入するので、

\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ}\)
=\(\frac{λ-λ_0}{\sqrt{\frac{λ_0}{n}}}\)
と導出できます。

前提条件は、

検定統計量の出発点は、\(u_0\)=\(\frac{λ-λ_0}{\sqrt{\frac{λ_0}{n}}}\)
です。

分散は加法性を使って
●V(A-B)=V(A)+V(B)= \(\frac{λ_A}{n_A}\)+ \(\frac{λ_B}{n_B}\)
とします。

この関係式を代入すればポアソン分布の検定統計量が導出できます。

なので、この式を\(u_0\)=\(\frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)に代入します
●\( p \)→\(p_A\)
●\( p_0\)→\(p_B\)
●\(σ\)→\(\sqrt{\frac{λ_A}{n_A}+\frac{λ_B}{n_B}}\)
を代入するので、

\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ}\)
=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\frac{λ_A}{n_A}+\frac{λ_B}{n_B}}}\)
と導出できます。

ポアソン分布の検定統計量が導出できました！

標準正規分布に従うので、検定統計量は

となります。この式くらいは暗記してもOKです。

t分布に従うので、検定統計量は

となります。この式くらいは暗記してもOKです。

母分散の既知、未知の違いで
従う分布関数や、検定統計量の式が若干、形が変わります。

前提条件は、

検定統計量の出発点は、\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{σ^2/n}}\)
です。

2つの母集団 N₁(\(μ_1\),\(σ_1^2\)), N₂(\(μ_2\),\(σ_2^2\))からそれぞれn₁個、n₂個データを取り出し、その標本集団をそれぞれN₁’, N₂’とします。

平均と分散はN₁’ (\(μ_1\),\(σ_1^2/n_1\)), N₂’ (\(μ_2\),\(σ_2^2/n_2\))となります。

あるN₁’の点\(\bar{X_1}\)と、あるN₂’の点\(\bar{X_2}\)との差を検定します。その分布N₁’- N₂’を考えると、

●平均(期待値)は、\(μ_1\)-\(μ_2\) とそのまま差として、
●分散は、\(σ_1^2/n_1\)+\(σ_2^2/n_2\)と分散の加法性を使います。

よって、検定統計量は
●\(u_0\)=\(\frac{(\bar{x_1}-μ_1)-(\bar{x_2}-μ_2)}{\sqrt{\frac{σ_1^2}{n_1}+\frac{σ_2^2}{n_2}}}\)
=\(\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})-(μ_1-μ_2)}{\sqrt{\frac{σ_1^2}{n_1}+\frac{σ_2^2}{n_2}}}\)
となります。

★ ただし！ \(μ_1-μ_2\)=0とする例もあ

母平均差を検定する思いは、母平均差が無いも考えるので、よく
\(μ_1-μ_2\)=0として、
●\(u_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{σ_1^2}{n_1}+\frac{σ_2^2}{n_2}}}\)
をよく使います。

前提条件は、

検定統計量の出発点は、\(t_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{V/n}}\)
です。

2つの母集団 N₁(\(μ_1\),\(V\)), N₂(\(μ_2\),\(V\))からそれぞれn₁個、n₂個データを取り出し、その標本集団をそれぞれN₁’, N₂’とします。

平均と分散はN₁’ (\(μ_1\),\(V/n_1\)), N₂’ (\(μ_2\),\(V/n_2\))となります。

あるN₁’の点\(\bar{X_1}\)と、あるN₂’の点\(\bar{X_2}\)との差を検定します。その分布N₁’- N₂’を考えると、

●平均(期待値)は、\(μ_1\)-\(μ_2\) とそのまま差として、
●分散は、\(V/n_1\)+\(V/n_2\)=\(V(1/n_1+1/n_2)\)と分散の加法性を使います。

よって、検定統計量は
●\(t_0\)=\(\frac{(\bar{x_1}-μ_1)-(\bar{x_2}-μ_2)}{\sqrt{V(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\)
=\(\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})-(μ_1-μ_2)}{\sqrt{ V(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\)
となります。

一方、分散\(V\)は、全平方和を全自由度で割ればいいので。
●\(V\)=\(\frac{S_1+S_2}{(n_1-1)+(n_2-1)}\)= \(\frac{S_1+S_2}{n_1+n_2-2}\)
となります。

★ ただし！ \(μ_1-μ_2\)=0とする例もある

母平均差を検定する思いは、母平均差が無いも考えるので、よく
\(μ_1-μ_2\)=0として、
●\(t_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{ V(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\)
をよく使います。

前提条件は、

検定統計量の出発点は、\(t_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{V/n}}\)
です。

2つの母集団 N₁(\(μ_1\),\(V_1\)), N₂(\(μ_2\),\(V_2\))からそれぞれn₁個、n₂個データを取り出し、その標本集団をそれぞれN₁’, N₂’とします。

平均と分散はN₁’ (\(μ_1\),\(V_1/n_1\)), N₂’ (\(μ_2\),\(V_2/n_2\)となります。

あるN₁’の点\(\bar{X_1}\)と、あるN₂’の点\(\bar{X_2}\)との差を検定します。その分布N₁’- N₂’を考えると、

●平均(期待値)は、\(μ_1\)-\(μ_2\) とそのまま差として、
●分散は、\(V_1/n_1\)+\(V_2/n_2\)と分散の加法性を使います。

よって、検定統計量は
●\(t_0\)=\(\frac{(\bar{x_1}-μ_1)-(\bar{x_2}-μ_2)}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}+\frac{V_2}{n_2}}}\)
=\(\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})-(μ_1-μ_2)}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}+\frac{V_2}{n_2}}}\)
となります。

★ ただし！ \(μ_1-μ_2\)=0とする例もある

母平均差を検定する思いは、母平均差が無いも考えるので、よく
\(μ_1-μ_2\)=0として、
●\(t_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}+\frac{V_2}{n_2}}}\)
をよく使います。

｢対応のあるとない｣の違いは何でしょうか？
下図にイメージを示します。

対応のある場合は、まとめて１つの分布として計算してもよいとして扱います。

★ 対応のある場合の扱い方

２つの母集団 N₁, N₂からそれぞれn個データを取り出し、それぞれ対応する組み合わせデータ値の差分をとった集団N₁’を作ります。

前提条件は、

検定統計量の出発点は、\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{σ^2/n}}\)
です。

差をdとしているので、
平均は\(\bar{d}\)
分散はN₁’ のデータから別途求めます。今回は\(σ_d^2\)となります。

よって、検定統計量は
●\(u_d\)=\(\frac{(\bar{d}-d_0)}{\sqrt{σ_d^2/n}}\)
となります。

★ただし！ \( d_0\)=0とする例もある

母平均差を検定する思いは、母平均差が無いも考えるので、よく
\( d_0\)=0として、
●\(u_d\)=\(\frac{\bar{d}}{\sqrt{σ_d^2/n}}\)
をよく使います。

前提条件は、

検定統計量の出発点は、\(t_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{V/n}}\)
です。

差をdとしているので、
平均は\(\bar{d}\)
分散はN₁’ のデータから別途求めます。今回は\(V_d\)となります。

よって、検定統計量は
●\(t_d\)=\(\frac{\bar{d}-d_0}{\sqrt{V_d/n}}\)
となります。

★ ただし！ \( d_0\)=0とする例もある

母平均差を検定する思いは、母平均差が無いも考えるので、よく
\( d_0\)=0として、
●\(t_d\)=\(\frac{\bar{d}}{\sqrt{V_d/n}}\)
をよく使います。

以上、よく使う検定統計量を導出しました。ちゃんと導出できるので、公式暗記に頼らず自力で導出できるようにしましょう。

「【初心者必見！】計数値の検定統計量が導出できる」を解説しました。