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大事ですね。

よく下表のように書いてあり、
主張したい対立仮説H₁が
「真」と判断できる確率を
「検出力　1-β」
と書きます。

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検出力を導出する上で、大事になるのが、
有意水準αと検出力1-βの関係図です。

関係図は下図になります。これ、結構大事です！
第１種の誤りも第２種の誤りも、
確率なので、正規分布の面積に該当します。

上図で理解したら、具体的な式を入れて来ます。

ここで、\(u(α),u(β)\)は平均から標準偏差\(σ/\sqrt{n}\)の何倍離れているかを定義する倍数と定義します。

まとめると、
\(μ_0+u(α)\frac{σ}{\sqrt{n}}\)=\(μ-u(β)\frac{σ}{\sqrt{n}}\)
からβについてとnについての式をそれぞれ変形します。
実際、\(μ_0,μ\)の大小はどちらかが大きくなるので、差分に絶対値を付けます。

大事なのは、

実際可視化して見てみましょう。

Excelでグラフを描きますが、下図のように検出力は
=NORM.DIST(ABS($F6)/SQRT(G$2^2/G$3)-NORM.INV(1-G$4,0,1),0,1,TRUE)
として計算します。
NORM.DISTはTRUEより累積確率をもとめており、
NORM.INVは\(u(β)\)を\(β\)に戻す計算をしています。

下図のグラフのx軸を見るとわかりますが、

図を描けば、この理由がよくわかります。
２つの正規分布が近づくと赤い面積（検出力）は削られているのがわかります。これが理由です。

理解を深めたいならば、Excelで１回描いてみてください。式だけではイメージしにくいのでグラフを描いて理解するのが良いでしょう。

次に、「母分散の検定」の検出力を導出しましょう。

真の母分散\(σ^2\)と帰無仮説における母分散\(σ_0^2\)の比を使って
検出力とサンプル数を決定します。

同じ自由度\(n-1\)において、比較する２つの比を用意します。
式についての基礎は関連記事で確認ください。

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ここで、\(S\)は平方和、\(Φ_0とΦ\)に有意水準\(α\)や検出力\(1-β\)が入りますが、下表のような関係で代入します。でもここが難しいですけど。

関係式
●\(\frac{S}{σ_0^2}\)=\(χ^2(n-1,Φ_0)\)
●\(\frac{S}{σ^2}\)=\(χ^2(n-1,Φ)\)
から
●「\(S\)= 」の式に変形します。

\(S\)=\( σ_0^2 χ^2(n-1,Φ_0)\)= \(σ^2 χ^2(n-1,Φ)\)

ここで、\(λ^2\)=\(\frac{σ^2}{σ_0^2}\)とおくと、
\(λ^2\)=\(\frac{σ^2}{σ_0^2}\)=\(\frac{χ^2(n-1,Φ_0)}{χ^2(n-1,Φ)}\)
という関係式ができます。

上図で、わかりやすい図を作ったのですが、
母分散の検定における検出力はイメージしにくいですね。

3問あります。確認しましょう。

★問題

問題文から、「母平均の検出力」の問題とわかりますね。

★(1)の解法

検定棄却域\(u\)は両側検定として正規分布表から1.645です。
別の式で書くと、
\(\frac{u-u_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(\frac{u-60}{4/\sqrt{16}}\)=1.645
より
\(u\)=61.645となります。

母平均62が棄却域に入る確率は、
\(\frac{u-u_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(\frac{62-61.645}{4/\sqrt{16}}\)=0.355
0.355となる確率は正規分布表からP=0.3594 より、
求めたい確率1-P=1-0.3594=0.64
となります。

★(2)の解法

母平均の検定の検出力の式を使います。

\(\frac{u-u_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(K_α+K_β\)から
\(\frac{64-60}{4/\sqrt{n}}\)=1.645+1.645
\(\sqrt{n}\)=3.29から\(n\)=11
となります。

★問題

母平均の検定の検出力の関係式を導出しながら解く問題です。公式暗記だけだと、この問題はむしろ解きにくいはずです。しっかり練習しましょう。

★(1)の解法

●\(\frac{μ-x}{σ/\sqrt{n}}\)=\(K_α\)
●\(α\)=Pr{\(u_0\) ≥ \(K_α\)}

★(2)の解法

●\(\frac{x-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(K_β\)
●\(1-β\)=Pr{\(u\) ≥ \(K_α-\frac{μ-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)}

★(3)の解法

●\(\frac{μ-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(K_α\)+\(K_β\)

★(4)の解法

●\(\frac{μ-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(\frac{51.0-50.0}{1/\sqrt{n}}\)=1.645+1.282
\(\sqrt{n}\)=2.927より、\(n\)=8.42⇒9となります。

★問題

検出力曲線がプロットできる大事な問題です。

★(1)の解法

●\(K_β\)=(30-30)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=-1.645
正規分布表からβ=0.95
よって、検出力1-β=0.05

★(2)の解法

１となります。

★(3)の解法

同じ計算を繰り返していきます。
●\(K_β\)=(30.9-30)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=0.155
●\(K_β\)=(31-30)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=0.355
●\(K_β\)=(31.3-30)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=0.955
●\(K_β\)=(31.8-0)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=1.955

\(K_β\)から正規分布表を使って確率βを求めて、検出力1―βを計算します。結果を表にまとめます。

プロットすると、下図になります。

★(4)の解法

関連記事にもあるように、サンプル数を増やすと検出力は上がります。実際に試してみてください。

★問題

問題文読んでもチンプンカンプンになりがちですが、丁寧に公式代入練習していきましょう。

★(1)の解法

\(χ^2(n-1,β)\) ≤ \(\frac{χ^2(n-1,1-α)}{σ^2/σ_0^2}\)から
\(χ^2(29,β)\) ≤ \(\frac{χ^2(29,0.95)}{10^2/14^2}\)=34.73
ここで、分布表から
●\(χ^2(29,0.75)\)=33.7
●\(χ^2(29,0.90)\)=39.1
と
\(χ^2(29,0.75)\) < \(χ^2(29,β)\) < \(χ^2(29,0.90)\)
と挟めるので、よって、
0.75以上0.9未満となります。

★(2)の解法

\(\frac{1}{4}\) ≤ \(\frac{χ^2(n-1,0.95)}{χ^2(n-1,0.99)}\)
を満たす\(n\)を分布表から探しましょう。
\(n-1\)=17がこの条件を満たすので、\(n=18\)となります。

★問題

問題文読んでもチンプンカンプンになりがちですが、丁寧に公式代入練習していきましょう。

★(1)の解法

\(λ^2\)=\(\frac{σ^2}{σ_0^2}\)=\(\frac{χ^2(n-1,1-α)}{χ^2(n-1,β)}\)
から
\(λ^2\)=\(\frac{15^2}{25^2}\)=\(\frac{χ^2(10,0.95)}{χ^2(9,β)}\)
として、\(β\)の範囲を絞ります。

計算すると
\(χ^2(9,β)\)=9.25となり、
分布表を見ると、 0.25 < \(β\) < 0.50
より、
0. 5 < 1-\(β\) < 0.75

★(2)の解法

\(λ^2\)=\(\frac{σ^2}{σ_0^2}\)=\(\frac{χ^2(n-1,1-α)}{χ^2(n-1,β)}\)
\(λ^2\)=\(\frac{15^2}{25^2}\)=\(\frac{χ^2(n-1,1-0.05)}{χ^2(n-1,0.1)}\)
を満たす\(n\)を探します。
\(n\)=24となります。

★問題

演習問題１，２を合わせた問題です。まとめの問題として取り組みましょう。

★(1)の解法

1-β=Pr{\(\frac{S}{σ^2}\) ≤ \(\frac{χ^2(n-1,0.95)}{λ^2}\)}

★(2)の解法

\(λ^2\)=\(\frac{χ^2(n-1,0.95)}{ χ^2(n-1,0.10)}\)

★(3)の解法

\(λ^2\)=\(\frac{0.26^2}{0.40^2}\)=\(\frac{χ^2(n-1,0.95)}{ χ^2(n-1,0.10)}\)
から、\(n\)=26

以上、母分散の検定における検出力の演習問題を解説しました。

これだけ検出力を学べば十分ですね！

「【必見！】検出力がよくわかる」を解説しました。