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【初心者必見!】検出力がわかる(母平均の検定)

検定と推定

「母平均の検定における、検出力がわからない」などと困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【初心者必見!】検出力がわかる(母平均の検定)

おさえておきたいポイント

  • ①検出力とは
  • ➁母平均の検出における検出力がわかる
  • ➂検出力を計算して性質を理解しよう!
検出力は自力で導出できる!
計量抜取検査のベースにもつながる!
何度も見て、解けるようになりましょう!

①検出力とは

検出力とは

検出力は
第1種の誤り(消費者危険)と第2種の誤り(生産者危険)
に出て来る!
消費者危険と生産者危険をプロットしたのが
抜取検査のOC曲線だから、
検出力がわかれば
「検定と推定」も「抜取検査」も理解できる!

大事ですね。

よく下表のように書いてあり、
主張したい対立仮説H1
「真」と判断できる確率を
「検出力 1-β」
と書きます。

H0が正しい H1が正しい
H0が真 1-α α(有意水準)
H1が真 β 1-β(検出力)

検出力は計量抜取検査の基本

計量抜取検査の理論は検出力の導出がベースです。しっかりここでマスターして計量抜取検査もマスターしましょう。QCプラネッツは計量抜取検査をしっかりまとめています。ご確認ください。

計量抜取検査がすべてわかる【まとめ】
計量抜取検査のエッセンスをすべて解説します。サンプル数n、合格判定係数k、合格判定値の導出、OC曲線の描き方をベースに、標準偏差σの既知、未知や規格値・合格判定値についてそれぞれ詳細に解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

➁母平均の検出における検出力がわかる

では検出力を導出しましょう。

検出力とサンプル数の関係式が導出できる

➂検出力を計算して性質を理解しよう!

有意水準αと検出力1-βを図示する

検出力を導出する上で、大事になるのが、
有意水準αと検出力1-βの関係図です。

関係図は下図になります。これ、結構大事です!
第1種の誤りも第2種の誤りも、
確率なので、正規分布の面積に該当します。

検出力

有意水準αと検出力1-βの関係式を作る

上図で理解したら、具体的な式を入れて来ます。

検出力

ここで、\(u(α),u(β)\)は平均から標準偏差\(σ/\sqrt{n}\)の何倍離れているかを定義する倍数と定義します。

上図の点Aの位置は
●A=\(μ_0+u(α)\frac{σ}{\sqrt{n}}\)
●A=\(μ-u(β)\frac{σ}{\sqrt{n}}\)
と2通り表現できますね。

まとめると、
\(μ_0+u(α)\frac{σ}{\sqrt{n}}\)=\(μ-u(β)\frac{σ}{\sqrt{n}}\)
からβについてとnについての式をそれぞれ変形します。
実際、\(μ_0,μ\)の大小はどちらかが大きくなるので、差分に絶対値を付けます。

●\(β\): \(u(β)\)=\(\frac{|μ-μ_0|}{σ/\sqrt{n}}-u(α)\)
●\(n\): \(n\)=\((\frac{σ}{μ-μ_0})^2 (u(α)+u(β))^2\)
と解けます。

大事なのは、

●\(β\): \(u(β)\)=\(\frac{|μ-μ_0|}{σ/\sqrt{n}}-u(α)\)
●\(n\): \(n\)=\((\frac{σ}{μ-μ_0})^2{u(α)+u(β)}^2\)
自力で導出できる!
ですね。

➂検出力を計算して性質を理解しよう!

グラフから検出力の性質を理解する

実際可視化して見てみましょう。

  1. \(μ-μ_0\)が変化すると検出力はどうなるか?
  2. \(σ\)が変化すると検出力はどうなるか?
  3. \(n\)が変化すると検出力はどうなるか?

Excelでグラフを描きますが、下図のように検出力は
=NORM.DIST(ABS($F6)/SQRT(G$2^2/G$3)-NORM.INV(1-G$4,0,1),0,1,TRUE)
として計算します。
NORM.DISTはTRUEより累積確率をもとめており、
NORM.INVは\(u(β)\)を\(β\)に戻す計算をしています。

検出力

\(μ-μ_0\)が変化すると検出力はどうなるか?

下図のグラフのx軸を見るとわかりますが、

検出力

\(|μ-μ_0|\)が0に近づくと一気に検出力は低下する

図を描けば、この理由がよくわかります。
2つの正規分布が近づくと赤い面積(検出力)は削られているのがわかります。これが理由です。

検出力

\(σ\)が変化すると検出力はどうなるか?

\(σ\)が大きいと検出力は低下する

検出力

\(n\)が変化すると検出力はどうなるか?

\(σ\)が大きいと検出力は低下する

検出力

理解を深めたいならば、Excelで1回描いてみてください。式だけではイメージしにくいのでグラフを描いて理解するのが良いでしょう。

以上、よく使う母平均の検定における検出力を導出しました。ちゃんと導出できるので、公式暗記に頼らず自力で導出できるようにしましょう。

まとめ

「【初心者必見!】検出力がわかる(母平均の検定)」を解説しました。

  • ①検出力とは
  • ➁母平均の検出における検出力がわかる
  • ➂検出力を計算して性質を理解しよう!


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