★ 本記事のテーマ
- 問1. 一元配置実験(繰返し数同じ)の演習問題(その1)
- 問2. 一元配置実験(繰返し数異なる)の演習問題(その1)
- 問3. 二元配置実験(繰返し無し)の演習問題
- 問4. 二元配置実験(繰返し有り)の演習問題
問1,2は関連記事にあります。
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➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
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問3. 二元配置実験(繰返し無し)の演習問題
(1) データ構造式を示せ。
(2) 分散分析表を作成し、因子Ａ,Bの有意性を有意水準5%で検定せよ。
(3) 各水準の点推定と信頼度95%の信頼区間を求めよ。
(4) 最適条件(特性が最も大きい条件)の母平均、信頼度95%の信頼区間を求めよ。
<データ>
| N0 | B1 | B2 | B3 | B4 | 計 |
| A1 | 4 | 7 | 6 | 3 | 20 |
| A2 | 5 | 8 | 5 | 5 | 23 |
| A3 | 6 | 9 | 7 | 7 | 29 |
| 計 | 15 | 24 | 18 | 15 | 72 |
回答欄
| (1) | ||||||
| (2) | 効果 | 平方和S | 自由度φ | 不偏分散V | 分散比F | F0 |
| A | ||||||
| B | ||||||
| e | – | – | ||||
| T | – | – | – | |||
| 有意性 | – | – | – | – | ||
| (3) | – | 点推定 | 下限値 | 上限値 | – | – |
| A1 | – | – | ||||
| A2 | – | – | ||||
| A3 | – | – | ||||
| B1 | – | – | ||||
| B2 | – | – | ||||
| B3 | – | – | ||||
| B4 | – | – | ||||
| (4) | 最適条件 | 点推定 | 有効繰返し数 | 下限値 | 上限値 | – |
| – | ||||||
★解説(クリックで開きます)
(1)データの構造式
yij=μ+αi+βj+εij
(2)
①2乗表を作成します。
| – | B1 | B2 | B3 | B4 | 計 |
| A1 | 16 | 49 | 36 | 9 | 110 |
| A2 | 25 | 64 | 25 | 25 | 139 |
| A3 | 36 | 81 | 49 | 49 | 215 |
| 計 | 77 | 194 | 110 | 83 | 464 |
②平方和、自由度、不偏分散、分散比を計算します。
●平方和S
修正項CT=\(\frac{(\sum_{i=1}^{12}x_i)^2}{n}\)=722/12=432
ST=\(\sum_{i=1}^{12} x_i^2\)-CT=464-432=32
SA=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(202/4+232/4+292/4)-432=442.5-432=10.5
SB=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(152/3+242/3+182/3+152/3)-432=450-432=18
Se= ST– SA– SB=32-10.5-18=3.5
●自由度φ
φT=12-1=11
φA=3-1=2
φB=4-1=3
φe=φT-φA-φB=6
●不偏分散V
VA= SA/φA=10.5/2=5.25
VB= SB/φB=18/3=6
Ve=Se/φe=3.5/6=0.583
●F値
FA= VA/ Ve=5.25/0.583=9
FB= VB/ Ve=6/0.583=10.286
FA0=F(φA,φe,α=F(2,6,0.05)=5.14
FB0=F(φB,φe,α=F(3,6,0.05)=4.76
有意性の判定
FA=9 >: FA0=5.14
より因子Aの有意性は有り。
FB=10.286 >: FA0=4.76
より因子Bの有意性は有り。
(3)
●点推定
A1: 20/4=5
A2: 23/4=5.75
A3: 29/4=7.25
B1: 15/3=5
B2: 24/3=8
B3: 18/3=6
B4: 15/3=5
●95%の信頼区間：
点推定±t(φe,α)×\(\sqrt{\frac{V_e}{n}}\)
■A1: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/4}\)=5±0.934
■A2: 5.75±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/4}\)=5.75±0.934
■A3: 7.25±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/4}\)=7.25±0.934
■B1: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=5±1.079
■B2: 8±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=8±1.079
■B3:6±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=6±1.079
■B4: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=5±1.079
(4)
最適条件： A3B2
点推定： 9.25(=29/4+24/3-72/12)
有効繰返し数： 2 ⇒(\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{12}\))
信頼区間 9.25±t(6,0.05) ×\(\sqrt{0.583/2}\)=9.25±1.321
まとめると、
| (1) | yij=μ+αi+βj+εij | |||||
| (2) | 効果 | 平方和S | 自由度φ | 不偏分散V | 分散比F | F0 |
| A | 10.5 | 2 | 5.25 | 9 | 5.14 | |
| B | 18 | 3 | 6 | 10.286 | 4.76 | |
| e | 3.5 | 6 | 0.583 | – | – | |
| T | 46 | 11 | – | – | – | |
| 有意性 | A:有り,B:有り | – | – | – | – | |
| (3) | – | 点推定 | 下限値 | 上限値 | – | – |
| A1 | 5 | 4.066 | 5.934 | – | – | |
| A2 | 5.75 | 4.816 | 6.684 | – | – | |
| A3 | 7.25 | 6.316 | 8.184 | – | – | |
| B1 | 5 | 3.921 | 6.079 | – | – | |
| B2 | 8 | 6.921 | 9.079 | – | – | |
| B3 | 6 | 4.921 | 7.079 | – | – | |
| B4 | 5 | 3.921 | 6.079 | – | – | |
| (4) | 最適条件 | 点推定 | 有効繰返し数 | 下限値 | 上限値 | – |
| A3B2 | 9.25 | 2 | 7.929 | 10.571 | – | |
問4. 二元配置実験(繰返し有り)の演習問題
(1) データ構造式を示せ。
(2) 分散分析表を作成し、因子A,Bの有意性を有意水準5%で検定せよ。
(3) 各水準の点推定と信頼度95%の信頼区間を求めよ。
(4) 最適条件(特性が最も大きい条件)の母平均、信頼度95%の信頼区間を求めよ。
<データ>
| – | B1 | B2 | B3 | 計 |
| A1 | 1 3 5 |
1 4 4 |
4 6 8 |
36 |
| A2 | 2 5 8 |
4 6 8 |
6 8 7 |
54 |
| A3 | 3 5 7 |
6 7 8 |
8 9 7 |
60 |
| A4 | 4 6 8 |
7 8 9 |
9 10 5 |
66 |
| 計 | 57 | 72 | 87 | 216 |
回答欄
| (1) | ||||||
| (2) | 効果 | 平方和S | 自由度φ | 不偏分散V | 分散比F | F0 |
| A | ||||||
| B | ||||||
| A×B | ||||||
| e | – | |||||
| T | – | – | – | |||
| 有意性 | – | – | – | – | ||
| (3) | – | 点推定 | 下限値 | 上限値 | – | – |
| A1 | – | – | ||||
| A2 | – | – | ||||
| A3 | – | – | ||||
| A4 | – | – | ||||
| B1 | – | – | ||||
| B2 | – | – | ||||
| B3 | – | – | ||||
| (4) | 最適条件 | 点推定 | 有効繰返し数 | 下限値 | 上限値 | – |
| – | ||||||
★解説(クリックで開きます)
(1)データの構造式
yijk=μ+αi+βj+(αβ)ij+εijk
(2)
①2乗表を作成します。
| – | B1 | B2 | B3 | 計 |
| A1 | 1 9 25 |
1 16 16 |
16 36 64 |
184 |
| A2 | 4 25 64 |
16 36 64 |
36 64 49 |
358 |
| A3 | 9 25 49 |
36 49 64 |
64 81 49 |
426 |
| A4 | 16 36 64 |
49 64 81 |
81 100 25 |
516 |
| 計 | 327 | 492 | 665 | 1484 |
AiBjの2乗和も計算します。
| – | B1 | B2 | B3 | 計 |
| A1 | 81 | 81 | 324 | 486 |
| A2 | 225 | 324 | 441 | 990 |
| A3 | 225 | 441 | 576 | 1242 |
| A4 | 324 | 576 | 576 | 1476 |
| 計 | 855 | 1422 | 1917 | 4194 |
②平方和、自由度、不偏分散、分散比を計算します。
●平方和S
＊修正項CT=\(\frac{(\sum_{i=1}^{36}x_i)^2}{n}\)=2162/36=1296
＊ST=\(\sum_{i=1}^{36} x_i^2\)-CT=1484-1296=188
＊SA=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(362/9+542/9+602/9+662/9)-1296=56
＊SB=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(572/12+722/12+872/12)-1296=37.5
＊SAB=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=4194/3-1296=102
＊SA×B= SAB– SA– SB
=8.5
＊Se= ST– SA– SB– SA×B
=188-56-37.5-8.5=86
●自由度φ
φT=36-1=35
φA=4-1=3
φB=3-1=2
φA×B=(4-1)(3-1)=6
φe=φT-φA-φB-φA×B
=24
●不偏分散V
VA= SA/φA=56/3=18.67
VB= SB/φB=37.5/2=18.75
V A×B = S A×B /φ A×B =8.5/6=1.42
Ve=Se/φe=86/24=3.58
●F値
FA= VA/ Ve=18.67/3.58=5.21
FB= VB/ Ve=18.75/3.58=5.23
F A×B = V A×B / Ve=1.42/3.58=0.39
FA0=F(φA,φe,α=F(3,24,0.05)=3.01
FB0=F(φB,φe,α=F(2,24,0.05)=3.4
FA×B0=F(φA×B,φe,α=F(6,24,0.05)=2.37
有意性の判定
FA=5.21 >: FA0=3.01
より因子Aの有意性は有り。
FB=5.23 >: FA0=3.4
より因子Bの有意性は有り。
FA×B=0.39 <: FA×B0=2.37
より交互作用A×Bの有意性は無い。
(3)
●点推定
A1: 36/9=4
A2: 54/9=6
A3: 60/9=6.67
A4: 66/9=7.33
B1: 57/12=4.75
B2: 72/12=6
B3: 87/12=7.25
●95%の信頼区間：
点推定±t(φe,α)×\(\sqrt{\frac{V_e}{n}}\)
■A1: 4±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=4±1.302
■A2: 6±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=6±1.302
■A3: 6.67±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=6.67±1.302
■A4: 7.33±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=7.33±1.302
■B1: 4.75±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/12}\)=4.75±1.127
■B2: 6±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/12}\)=6±1.127
■B3:7.25±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/12}\)=7.25±1.127
(4)
最適条件： A4B3
点推定： 8(=(9+10+5)/3)
有効繰返し数： 3 ⇒(\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1}{3}\))
信頼区間 8±t(24,0.05) ×\(\sqrt{3.58/3}\)=8±2.254
まとめると、
| (1) | yijk=μ+αi+βj+(αβ)ij+εijk | |||||
| (2) | 効果 | 平方和S | 自由度φ | 不偏分散V | 分散比F | F0 |
| A | 56 | 3 | 18.67 | 5.21 | 3.01 | |
| B | 37.5 | 2 | 18.75 | 5.23 | 3.4 | |
| A×B | 8.5 | 6 | 1.42 | 0.395 | 2.37 | |
| e | 86 | 24 | 3.58 | 0.39 | – | |
| T | 188 | 35 | – | – | – | |
| 有意性 | A:有,B:有,A×B:無 | – | – | – | – | |
| (3) | – | 点推定 | 下限値 | 上限値 | – | – |
| A1 | 4 | 2.698 | 5.302 | – | – | |
| A2 | 6 | 4.698 | 7.302 | – | – | |
| A3 | 6.67 | 5.368 | 7.972 | – | – | |
| A4 | 7.33 | 6.028 | 8.632 | – | – | |
| B1 | 4.75 | 3.623 | 5.877 | – | – | |
| B2 | 6 | 4.873 | 7.127 | – | – | |
| B3 | 7.25 | 6.123 | 8.377 | – | – | |
| (4) | 最適条件 | 点推定 | 有効繰返し数 | 下限値 | 上限値 | – |
| A4B3 | 8 | 3 | 5.746 | 10.254 | – | |
まとめ
QC検定®2級で、分散に関する検定と推定の解法を解説しました。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。
- 問1. 一元配置実験(繰返し数同じ)の演習問題(その1)
- 問2. 一元配置実験(繰返し数異なる)の演習問題(その1)
- 問3. 二元配置実験(繰返し無し)の演習問題
- 問4. 二元配置実験(繰返し有り)の演習問題
問1,2は関連記事にあります。
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