実験計画法(二元配置実験)の演習問題【QC検定®2級対策】
「QC検定®2級合格に必要な実験計画法を速く解けるようになりたい!」
こういう期待に答えます。
本記事のテーマ
本記事は実験計画法(二元配置実験)の演習問題
- 問1. 一元配置実験(繰返し数同じ)の演習問題(その1)
- 問2. 一元配置実験(繰返し数異なる)の演習問題(その1)
- 問3. 二元配置実験(繰返し無し)の演習問題
- 問4. 二元配置実験(繰返し有り)の演習問題
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問1,2は関連記事にあります。
実験計画法(一元配置実験)の演習問題【QC検定®2級対策】 QC検定®2級で必ず出題される実験計画法の演習問題とその解法を解説します。一元配置実験、二元配置実験の4パターンを10分以内に解けるための流れとテクニックについて解説します。QC検定®2級合格したい方は必見です。さっと解けるか?チェックしてください。 |
問3. 二元配置実験(繰返し無し)の演習問題
(1) データ構造式を示せ。
(2) 分散分析表を作成し、因子A,Bの有意性を有意水準5%で検定せよ。
(3) 各水準の点推定と信頼度95%の信頼区間を求めよ。
(4) 最適条件(特性が最も大きい条件)の母平均、信頼度95%の信頼区間を求めよ。
<データ>
N0 | B1 | B2 | B3 | B4 | 計 |
A1 | 4 | 7 | 6 | 3 | 20 |
A2 | 5 | 8 | 5 | 5 | 23 |
A3 | 6 | 9 | 7 | 7 | 29 |
計 | 15 | 24 | 18 | 15 | 72 |
回答欄
(1) | ||||||
(2) | 効果 | 平方和S | 自由度φ | 不偏分散V | 分散比F | F0 |
A | ||||||
B | ||||||
e | – | – | ||||
T | – | – | – | |||
有意性 | – | – | – | – | ||
(3) | – | 点推定 | 下限値 | 上限値 | – | – |
A1 | – | – | ||||
A2 | – | – | ||||
A3 | – | – | ||||
B1 | – | – | ||||
B2 | – | – | ||||
B3 | – | – | ||||
B4 | – | – | ||||
(4) | 最適条件 | 点推定 | 有効繰返し数 | 下限値 | 上限値 | – |
– |
解説(クリックで開きます)
(1)データの構造式
yij=μ+αi+βj+εij
(2)
①2乗表を作成します。
– | B1 | B2 | B3 | B4 | 計 |
A1 | 16 | 49 | 36 | 9 | 110 |
A2 | 25 | 64 | 25 | 25 | 139 |
A3 | 36 | 81 | 49 | 49 | 215 |
計 | 77 | 194 | 110 | 83 | 464 |
②平方和、自由度、不偏分散、分散比を計算します。
●平方和S
修正項CT=\(\frac{(\sum_{i=1}^{12}x_i)^2}{n}\)=722/12=432
ST=\(\sum_{i=1}^{12} x_i^2\)-CT=464-432=32
SA=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(202/4+232/4+292/4)-432=442.5-432=10.5
SB=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(152/3+242/3+182/3+152/3)-432=450-432=18
Se= ST– SA– SB=32-10.5-18=3.5
●自由度φ
φT=12-1=11
φA=3-1=2
φB=4-1=3
φe=φT-φA-φB=6
●不偏分散V
VA= SA/φA=10.5/2=5.25
VB= SB/φB=18/3=6
Ve=Se/φe=3.5/6=0.583
●F値
FA= VA/ Ve=5.25/0.583=9
FB= VB/ Ve=6/0.583=10.286
FA0=F(φA,φe,α=F(2,6,0.05)=5.14
FB0=F(φB,φe,α=F(3,6,0.05)=4.76
有意性の判定
FA=9 >: FA0=5.14
より因子Aの有意性は有り。
FB=10.286 >: FA0=4.76
より因子Bの有意性は有り。
(3)
●点推定
A1: 20/4=5
A2: 23/4=5.75
A3: 29/4=7.25
B1: 15/3=5
B2: 24/3=8
B3: 18/3=6
B4: 15/3=5
●95%の信頼区間:
点推定±t(φe,α)×\(\sqrt{\frac{V_e}{n}}\)
■A1: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/4}\)=5±0.934
■A2: 5.75±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/4}\)=5.75±0.934
■A3: 7.25±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/4}\)=7.25±0.934
■B1: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=5±1.079
■B2: 8±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=8±1.079
■B3:6±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=6±1.079
■B4: 5±t(6,0.05)×\(\sqrt{0.583/3}\)=5±1.079
(4)
最適条件: A3B2
点推定: 9.25(=29/4+24/3-72/12)
有効繰返し数: 2 ⇒(\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{12}\))
信頼区間 9.25±t(6,0.05) ×\(\sqrt{0.583/2}\)=9.25±1.321
まとめると、
(1) | yij=μ+αi+βj+εij | |||||
(2) | 効果 | 平方和S | 自由度φ | 不偏分散V | 分散比F | F0 |
A | 10.5 | 2 | 5.25 | 9 | 5.14 | |
B | 18 | 3 | 6 | 10.286 | 4.76 | |
e | 3.5 | 6 | 0.583 | – | – | |
T | 46 | 11 | – | – | – | |
有意性 | A:有り,B:有り | – | – | – | – | |
(3) | – | 点推定 | 下限値 | 上限値 | – | – |
A1 | 5 | 4.066 | 5.934 | – | – | |
A2 | 5.75 | 4.816 | 6.684 | – | – | |
A3 | 7.25 | 6.316 | 8.184 | – | – | |
B1 | 5 | 3.921 | 6.079 | – | – | |
B2 | 8 | 6.921 | 9.079 | – | – | |
B3 | 6 | 4.921 | 7.079 | – | – | |
B4 | 5 | 3.921 | 6.079 | – | – | |
(4) | 最適条件 | 点推定 | 有効繰返し数 | 下限値 | 上限値 | – |
A3B2 | 9.25 | 2 | 7.929 | 10.571 | – |
問4. 二元配置実験(繰返し有り)の演習問題
(1) データ構造式を示せ。
(2) 分散分析表を作成し、因子A,Bの有意性を有意水準5%で検定せよ。
(3) 各水準の点推定と信頼度95%の信頼区間を求めよ。
(4) 最適条件(特性が最も大きい条件)の母平均、信頼度95%の信頼区間を求めよ。
<データ>
– | B1 | B2 | B3 | 計 |
A1 | 1 3 5 |
1 4 4 |
4 6 8 |
36 |
A2 | 2 5 8 |
4 6 8 |
6 8 7 |
54 |
A3 | 3 5 7 |
6 7 8 |
8 9 7 |
60 |
A4 | 4 6 8 |
7 8 9 |
9 10 5 |
66 |
計 | 57 | 72 | 87 | 216 |
回答欄
(1) | ||||||
(2) | 効果 | 平方和S | 自由度φ | 不偏分散V | 分散比F | F0 |
A | ||||||
B | ||||||
A×B | ||||||
e | – | |||||
T | – | – | – | |||
有意性 | – | – | – | – | ||
(3) | – | 点推定 | 下限値 | 上限値 | – | – |
A1 | – | – | ||||
A2 | – | – | ||||
A3 | – | – | ||||
A4 | – | – | ||||
B1 | – | – | ||||
B2 | – | – | ||||
B3 | – | – | ||||
(4) | 最適条件 | 点推定 | 有効繰返し数 | 下限値 | 上限値 | – |
– |
解説(クリックで開きます)
(1)データの構造式
yijk=μ+αi+βj+(αβ)ij+εijk
(2)
①2乗表を作成します。
– | B1 | B2 | B3 | 計 |
A1 | 1 9 25 |
1 16 16 |
16 36 64 |
184 |
A2 | 4 25 64 |
16 36 64 |
36 64 49 |
358 |
A3 | 9 25 49 |
36 49 64 |
64 81 49 |
426 |
A4 | 16 36 64 |
49 64 81 |
81 100 25 |
516 |
計 | 327 | 492 | 665 | 1484 |
AiBjの2乗和も計算します。
– | B1 | B2 | B3 | 計 |
A1 | 81 | 81 | 324 | 486 |
A2 | 225 | 324 | 441 | 990 |
A3 | 225 | 441 | 576 | 1242 |
A4 | 324 | 576 | 576 | 1476 |
計 | 855 | 1422 | 1917 | 4194 |
②平方和、自由度、不偏分散、分散比を計算します。
●平方和S
*修正項CT=\(\frac{(\sum_{i=1}^{36}x_i)^2}{n}\)=2162/36=1296
*ST=\(\sum_{i=1}^{36} x_i^2\)-CT=1484-1296=188
*SA=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(362/9+542/9+602/9+662/9)-1296=56
*SB=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=(572/12+722/12+872/12)-1296=37.5
*SAB=(各水準合計の2乗/各水準個数)-CT
=4194/3-1296=102
*SA×B= SAB– SA– SB
=8.5
*Se= ST– SA– SB– SA×B
=188-56-37.5-8.5=86
●自由度φ
φT=36-1=35
φA=4-1=3
φB=3-1=2
φA×B=(4-1)(3-1)=6
φe=φT-φA-φB-φA×B
=24
●不偏分散V
VA= SA/φA=56/3=18.67
VB= SB/φB=37.5/2=18.75
V A×B = S A×B /φ A×B =8.5/6=1.42
Ve=Se/φe=86/24=3.58
●F値
FA= VA/ Ve=18.67/3.58=5.21
FB= VB/ Ve=18.75/3.58=5.23
F A×B = V A×B / Ve=1.42/3.58=0.39
FA0=F(φA,φe,α=F(3,24,0.05)=3.01
FB0=F(φB,φe,α=F(2,24,0.05)=3.4
FA×B0=F(φA×B,φe,α=F(6,24,0.05)=2.37
有意性の判定
FA=5.21 >: FA0=3.01
より因子Aの有意性は有り。
FB=5.23 >: FA0=3.4
より因子Bの有意性は有り。
FA×B=0.39 <: FA×B0=2.37
より交互作用A×Bの有意性は無い。
(3)
●点推定
A1: 36/9=4
A2: 54/9=6
A3: 60/9=6.67
A4: 66/9=7.33
B1: 57/12=4.75
B2: 72/12=6
B3: 87/12=7.25
●95%の信頼区間:
点推定±t(φe,α)×\(\sqrt{\frac{V_e}{n}}\)
■A1: 4±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=4±1.302
■A2: 6±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=6±1.302
■A3: 6.67±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=6.67±1.302
■A4: 7.33±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/9}\)=7.33±1.302
■B1: 4.75±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/12}\)=4.75±1.127
■B2: 6±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/12}\)=6±1.127
■B3:7.25±t(24,0.05)×\(\sqrt{3.58/12}\)=7.25±1.127
(4)
最適条件: A4B3
点推定: 8(=(9+10+5)/3)
有効繰返し数: 3 ⇒(\(\frac{1}{n_e}\)=\(\frac{1}{3}\))
信頼区間 8±t(24,0.05) ×\(\sqrt{3.58/3}\)=8±2.254
まとめると、
(1) | yijk=μ+αi+βj+(αβ)ij+εijk | |||||
(2) | 効果 | 平方和S | 自由度φ | 不偏分散V | 分散比F | F0 |
A | 56 | 3 | 18.67 | 5.21 | 3.01 | |
B | 37.5 | 2 | 18.75 | 5.23 | 3.4 | |
A×B | 8.5 | 6 | 1.42 | 0.395 | 2.37 | |
e | 86 | 24 | 3.58 | 0.39 | – | |
T | 188 | 35 | – | – | – | |
有意性 | A:有,B:有,A×B:無 | – | – | – | – | |
(3) | – | 点推定 | 下限値 | 上限値 | – | – |
A1 | 4 | 2.698 | 5.302 | – | – | |
A2 | 6 | 4.698 | 7.302 | – | – | |
A3 | 6.67 | 5.368 | 7.972 | – | – | |
A4 | 7.33 | 6.028 | 8.632 | – | – | |
B1 | 4.75 | 3.623 | 5.877 | – | – | |
B2 | 6 | 4.873 | 7.127 | – | – | |
B3 | 7.25 | 6.123 | 8.377 | – | – | |
(4) | 最適条件 | 点推定 | 有効繰返し数 | 下限値 | 上限値 | – |
A4B3 | 8 | 3 | 5.746 | 10.254 | – |
まとめ
QC検定®2級で、実験計画法の演習問題を解説しました。
苦手な箇所が見つかりましたか?
全問、持ち時間以内に解けそうですか?
チェックしましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。
- 問1. 一元配置実験(繰返し数同じ)の演習問題(その1)
- 問2. 一元配置実験(繰返し数異なる)の演習問題(その1)
- 問3. 二元配置実験(繰返し無し)の演習問題
- 問4. 二元配置実験(繰返し有り)の演習問題
問1,2は関連記事にあります。
実験計画法(一元配置実験)の演習問題【QC検定®2級対策】 QC検定®2級で必ず出題される実験計画法の演習問題とその解法を解説します。一元配置実験、二元配置実験の4パターンを10分以内に解けるための流れとテクニックについて解説します。QC検定®2級合格したい方は必見です。さっと解けるか?チェックしてください。 |
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