QCプラネッツ

月: 2023年7月

  • 【QC検定®合格】「管理図と工程能力指数」問題集を販売します

    【QC検定®合格】「管理図と工程能力指数」問題集を販売します

    「QC検定®１級、２級合格したいけど、管理図と工程管理能力がわからない、解けない！」、など、困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    【QC検定®合格】「管理図と工程管理能力」問題集を販売します

    記事の信頼性

    記事を書いている私は、QC検定®１級合格した後、さらにQCをすべて研究して究めました。
    究めた結果、管理図と工程管理能力がわかりましたので、問題集にしました！

    ●商標使用について、
    ①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
    ➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
    ➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。

    ①管理図と工程管理能力で困っていませんか？

    QCプラネッツも相当、管理図を研究しましたが、次の４つが苦労するところと考えています。

    1. 覚えることが多いからすぐ忘れる
    2. ＱＣ検定®1級になると激ムズになる管理図
    3. 管理図はちゃんと勉強すると結構難しい
    4. 工程能力指数は区間推定になると一気に難しくなる！

    ＱＣ検定®２級レベルは、管理図の種類と管理限界の式、管理図の係数表のＪＩＳの見方だけなので簡単ですが、ちゃんとデータを考えて層別して平方和、分散を求めて、管理限界範囲を考えるのは難しいんですよ。それがＱＣ検定®1級の厳しさですが、最初から難しいことを知った上で勉強開始した方がよいでしょうね。

    覚えることが多いからすぐ忘れる

    次の内容で苦手意識があるかどうかをチェックしましょう！

    1. 管理限界の公式が多すぎて、すぐ忘れる！
    2. 問題文からどの管理図を選べばよいかがわからない！
    3. なんで管理図はたくさん種類があるかがわからない!
    4. 本質がわからないけど、JISどおりやればいい！でも意味がわからない！

    いかがでしょうか？　多くの方が苦手となるポイントばかりですね。

    ＱＣ検定®1級になると激ムズになる管理図

    群内変動、群間変動の分解の計算が全くわからない。
    ここがＱＣ検定®1級で最難関！
    QCプラネッツも管理図は試験で壊滅しました
    群内変動、群間変動の分解の計算をわかりやすくしたオリジナル問題をたくさん作りました。

    研究した結果

    \(σ_{\bar{x}}^2\)=\(σ_b^2\)+\(\frac{σ_w^2}{n}\)
    \(σ_w\)=\(\frac{R}{d_2}\)
    の式は数学的にイマイチわからない。
    管理図のデータは管理されているから
    実データの平方和を分解するところから始めるべき！

    という結論で問題を作りました。

    管理図と実験計画法の両方のスキルをここで活用できます！
    教科書の公式代入がいつも正しいとは限らない！
    ちゃんと式の意味を吟味しよう！

    管理図はちゃんと勉強すると結構難しい

    QCプラネッツが研究したオリジナルブログ記事にまとめています。一番詳しく書けたサイトであると自負します。ご確認ください。

    【まとめ】簡単だけど難しい管理図を究める
    「管理図は簡単！公式代入すれば試験で合格！」と条件反射的になっていませんか？管理図の係数表の値の導出、異常判定ルールの理由、管理図と検定力の関係など、重要な理論を学ぶ必要があります。しかし、JISや教科書にほとんど書いていません。QCプラネッツでは、管理図の本質に迫る２８の記事を紹介します。管理図をマスターしたい方は必見です。

    工程能力指数は区間推定になると一気に難しくなる！

    工程能力指数の入門は、
    範囲を6σで割るだけで簡単！
    ですが、

    工程能力指数は区間推定になると一気に難しくなる！
    しかも、両側規格と片側規格で式が別々。
    両側規格はχ２乗分布で手計算で導出できるが、
    片側規格はムリ

    工程能力指数は区間推定の導出や、応用問題も必要ですね！

    以上、一見簡単そうだけど
    激ムズな管理図と工程能力指数を
    さっと解けるようになっておきたいですよね！

    そこで、今回「管理図と工程能力指数」の問題集を作成しました。

    ➁問題集のメリット

    本問題集を学ぶメリット

    1. 確率分布から管理図の種類や管理限界の式が導出できる！
    2. JISに頼らず、考えて解くことができる！
    3. データの層別の仕方や、層別による平方和・分散の分解に強くなれる！
    4. 管理図に強くなれる！
    5. ＱＣ検定®１級に勝てる！
    6. 工程能力指数の意味や、関連公式の導出ができる！
    7. 管理図と、実験計画法、検定と推定などの管理図以外の単元を組み合わせた応用問題も解ける！

    逆にデメリットは

    1. 勉強しないと習得できない
      ⇒それはしゃーない！ですよね(笑)

    是非、ご購入いただきたいです。
    次に、全問題の内容を紹介します！

    ➂内容の範囲

    QCの「管理図と工程能力指数」問題集の全問題を紹介！

    33題の問題内容と単元を紹介します！

    苦手な問題があれば、勉強して強化しましょう！
    どこが苦手かをチェックしながら各問を見ましょう。

    第１章　管理図の種類(１題)
    　管理図の種類を答える問題で、ランダムに出題されます。ランダムに出題される問題を何度も解いて試験に臨みましょう。36問用意しました。

    第２章　管理限界、管理図係数表の導出(６題)
    　計量値、計数値すべての管理図の管理限界、係数表の公式、値を導出します。公式は暗記せず理解して解けるようになる大事な６題です。

    第３章　群間変動と群内変動(１３題)
    　ＱＣ検定®1級向けの応用問題、理解しにくい分散公式を使った問題ですが、実データから平方和、平方和の分解から分散を解く問題も作りました。実験計画法・分散分析の練習にもなります。

    第４章　工程能力指数の区間推定(６題)
    　　χ２乗分布の式変形をベースに、区間推定の式を導出します。その式を使って演習します。

    第５章　管理図の応用問題(７題)
    　　管理図の応用問題として、差を比較する応用問題を使って、管理図と、検定と推定の組み合わせ問題を解きます。管理図以外の単元と組み合わせた応用問題も練習しましょう。

    章 第 問題
    1 1 管理図の種類
    2 2 管理限界、管理図係数表の導出1
    (Xbar管理図)
    2 3 計量値の検定統計量の導出2
    (計数値管理図)
    2 4 計量値の検定統計量の導出3
    (s管理図)
    2 5 計量値の検定統計量の導出4
    (R管理図)
    2 6 計量値の検定統計量の導出5
    (管理図係数表)
    2 7 計量値の検定統計量の導出6
    3 8 群間変動と群内変動1
    (分散公式vs平方和の分解)
    3 9 群間変動と群内変動2
    (分散公式vs平方和の分解)
    3 10 群間変動と群内変動3
    (分散公式vs平方和の分解)
    3 11 群間変動と群内変動4
    (検出力)
    3 12 群間変動と群内変動5
    (σb,σwが0の場合)
    3 13 群間変動と群内変動6
    (σ=R/d2で推定する理由)
    3 14 群間変動と群内変動7
    (分散の公式)
    3 15 群間変動と群内変動8
    (分散公式vs平方和の分解)
    3 16 群間変動と群内変動9
    (分散公式vs平方和の分解)
    3 17 群間変動と群内変動10
    (層別)
    3 18 群間変動と群内変動11
    (分散の公式)
    3 19 群間変動と群内変動12
    (分散の公式)
    3 20 群間変動と群内変動13
    (分散公式vs平方和の分解)
    3 21 工程能力指数の区間推定1
    (両側規格)
    3 22 工程能力指数の区間推定2
    3 23 工程能力指数の区間推定3
    4 24 工程能力指数の区間推定4
    (片側規格)
    4 25 工程能力指数の区間推定5
    4 26 工程能力指数の区間推定6
    5 27 管理図の応用問題1
    (X-Rs管理図)
    5 28 管理図の応用問題2
    (u管理図)
    5 29 管理図の応用問題3
    (計量値差の検定)
    5 30 管理図の応用問題4
    5 31 管理図の応用問題5
    (不良率差の検定)
    5 32 管理図の応用問題6
    (計数値差の検定)
    5 33 管理図の応用問題7
    (管理図合成する場合)

    ５つの章に分けてしっかり解いていきましょう。

    解説も充実!

    丁寧な解説ページやQCプラネッツのブログ記事を活用してわかりやすく解けますので、ご安心ください。

    1. 管理図と工程能力指数の全パターンを網羅した問題集であること
    2. 暗記しがちな管理限界、係数などの公式が自力で導出できること
    3. QC検定®2級レベル、QC検定®1級レベルになること
    4. どんなパターンが出ても、どのパターンかを冷静かつ瞬時に見極める力がつくこと
    5. 確率分布、検定と推定、実験計画法の応用にもつなげられること

    是非、ご購入ください。

    ➃【問題集ご購入方法】

    メルカリとnoteから販売しております。
    「QCプラネッツ」で検索ください。

    メルカリでの販売

    「QCプラネッツ」で検索ください。

    1500円/1冊
    とさせていただきます。ご購入よろしくお願いいたします。

    noteでの販売

    電子販売もしています。こちらへアクセスください。

    【QC検定®1級,２級合格！】QCに必要な「管理図と工程能力指数」問題集を発売します！｜こう品質@品質管理ブロガー
    こんにちは、QCプラネッツです。 今回は【QC検定®1級,２級合格！】に必要な「管理図と工程能力指数」問題集のご紹介です。

    まとめ

    「【QC検定®合格】「管理図と工程能力指数」問題集を販売します」、ご購入よろしくお願いいたします。。

  • ビッグモータの不正を学ぶ

    ビッグモータの不正を学ぶ

    「ビッグモータはなぜ不正に走ってしまっているのか？　その本当の原因は何か？」と疑問に思いませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    ビッグモータの不正を学ぶ
    何度も品質不正する真因を解説！
    どの企業でも起こり得る！
    • ①品質マインド
    • ➁品質不正の内容・被害
    • ➂発覚した経緯
    • ➃品質不正分析で見逃がしてはいけない情報
    • ➄品質不正に至った真因
    • ⑥その後の結末
    • ⑦とるべき対応策

    品質不正問題の演習問題を販売します！

    品質不正問題が後を絶ちません。正しく深くその組織の深部までとらえられるための品質不正を解く問題集を作成しました。

    品質不正事例はＱＣプラネッツで何十社も取り上げて来ましたが、すべて原因のメカニズムは１つです。
    品質不正を解くとは、
    経営×品質の応用問題です。

    品質不正をした相手への批判ではなく、表に出ない真因を考え抜く力を身に着けるためにブログ記事として解説していきます。

    ①品質マインド

    品質不正を学ぶ最も大切なマインドを最初に解説します。

    ●関連記事で解説しています。まず、こちらを読んでください。

    【必読】品質不正を考える正しいマインドがわかる【褒めて応援すべし！】

    品質不正の報道が出たら、その相手を叩こうとしていませんか？本記事では品質不正に対する正しいマインドを解説します。厳しい競争にさらされつつ、挑戦する社会では、失敗もつきものですよ。失敗をある程度許容して、反省して成功につなげやすいマインドが 必須です。

    ●大事な3つのマインドを再掲します。

    1. 品質不正を打ち明けた企業・組織を褒めよう！
    2. 対岸の火事ではない！
    3. 「失敗は成功のもと」につなげよう！

    ●悪い膿を出して、再生・復活する企業・組織を応援しましょう。もちろん、不正した相手の誠意が前提です。

    ➁品質不正の内容・被害

    情報元

    報告書があります。

    １カ月前の直近ですね。

    品質不正の内容

    ●テレビやネットニュースでいろいろ情報が飛び交っていますが、一番信頼できる調査報告書をベースに簡潔にまとめます。

    【不正行為】
    １．損傷の作出　車体を意図的に傷つけて修理範囲を拡大　器物損壊罪に当たりうる悪質な行為
    ２．損傷の存在・範囲を誤認させる写真撮影　　修理対象部位を増やす
    ３．不要なタワー牽引の実施　　工賃が高額とするため
    ４．不要な塗装　塗装工賃請求のため
    ５．不要な鈑金作業・部品交換　修理工賃を増加

    たくさん不正行為が報告されていますが、目的は１つで

    売上(ノルマ)達成のため

    です。

    大事なのは、批判ではなく、
    なぜ、売上至上主義に走ってしまったかを
    冷静に考える分析力です。
    主観・感情はここで一旦置いて考えていきましょう。

    被害状況

    ●エンドユーザーとのトラブル、
    ●保険会社の過剰な支払い

    ➂発覚した経緯

    内部告発です。ただし、社内でもみ消しがあったことも他のサイトで書いています。

    ➃品質不正分析で見逃がしてはいけない情報

    報告書に書かれた真因

    報告書P28～を引用します。

    1. 不合理な(売上に対する)目標値設定
    2. コーポレートガバナンスの機能不全とコンプライアンス意識の鈍麻
    3. 経営陣に盲従し、忖度する歪な企業風土
    4. 現場の声を拾いあげようとする意識の欠如
    5. 人材の育成不足

    と５つ原因分析を挙げており、さらに深い分析までしています。

    皆さん、どうですか？　「なるほど！」ですか？

    一方、QCプラネッツの感想は

    つまり、何が不正に走らせたのか？

    と不正に走らせた真犯人を特定したいところです。

    何が不正に走らせたのか？を明解にしよう！
    「ＱＣＤ」で説明できます！
    真因を考える前に、
    中古車買取・販売業界の特性を考えてみよう！

    事業特性、その企業の特性、風土をイメージすると、真因がよりはっきり見えてきます。

    事業特性を考える

    中古車買取・販売業界の特性を考えてみよう！

    ＱＣプラネッツは中古車買取・販売業界の素人ですが、素人でもいろいろ想像はできます。近所や周辺にある同業他社の中古車買取・販売業界をイメージしましょう。車に関係する会社なのでイメージしやすいです。

    1. 修理従業員は、車が大好きな人が多い。
      つなぎを着て、工具で車をいじるのが好きな人が多い。
    2. 修理・買取業務は、高い技術と経験が必要で店舗を急拡大しても技術者増加には時間がかかる。
    3. 事故車両に対する修理工賃（代金）は、対象車両の損傷状況によって決まるもので、修理従業員の営業努力で大きく上下するものではない。企業拡大は難しい。
    4. 自動車の市場、事故発生率は年々縮小傾向にあり、事故は本来無くすべきもの。その中店舗拡大を急に進める経営戦略は適切かどうかはよく吟味が必要

    など、イメージできます。

    不正を分析するＱＣＤモデルの中で、どれが真因につながるかわかりますか？

    もう一度、不正行為を列挙すると、見えてきます。

    1. 不合理な(売上に対する)目標値設定
    2. コーポレートガバナンスの機能不全とコンプライアンス意識の鈍麻
    3. 経営陣に盲従し、忖度する歪な企業風土
    4. 現場の声を拾いあげようとする意識の欠如
    5. 人材の育成不足
    つまり、ムリな売上至上主義(Ｃ(コスト)とＤ(納期、スピード)が不正（Ｑ(品質)）につながったと言えます。

    列挙した不正行為をよく見ると

    1. 不合理な(売上に対する)目標値設定
    2. コーポレートガバナンスの機能不全とコンプライアンス意識の鈍麻
      →不正する企業の常。でもこうなる原因の元は何か？
    3. 経営陣に盲従し、忖度する歪な企業風土
      →まともな経営陣なら忖度しても不正にはつながらない。
      何が経営陣を狂わせたのか？が真因ではないか？
    4. 現場の声を拾いあげようとする意識の欠如
    5. 人材の育成不足
    経営陣がなぜ、
    過剰な売上至上主義に走ってしまったか?
    が本件の真因と言えます。

    組織の状況

    もう少し、組織内の状況をイメージするために、報告書を引用します。ただし、他社事例を知っていれば、不正する組織の内部は簡単にイメージできますね。

    1. 自動車板金・塗装事業では2014年から数年で工場が倍増。しかし、従業員不足や技量の低い作業者の急増、業務経験ないものが工場長やフロントとせざるを得ない状況
    2. 不正した理由は、①上司からの指示、➁売上ノルマ達成、➂自分の給料を上げるため
    3. 降格処分や厳しく、基本給の大幅減額＋転勤など生活に大きな影響するため、過度に従業員を委縮　経営陣に逆らえない風土

    と書いています。

    他の情報は報道コンテンツでも多々あるでしょう。

    ここくらいで、一番考えるべき問いを立てます。

    なぜ、上に逆らえない歪な企業風土にしてまでも、企業急成長が必要だったのでしょうか？

    ➄品質不正に至った真因

    ＱＣＤバランスはどう崩れたか？

    不正が起きた原因は、他社事例と同様に、おそらくＱＣＤバランスの崩れではないかと推測します。QCプラネッツでは、分析結果をさらに、「QCD」を使って整理します。

    ●企業の急成長のため、売上(C)とスピード（D）を優先させたことが、
    不正(Q)に走った原因であり、上に物が言えない風土が是正する機会を失った。

    なぜムリしてまでも企業急成長がほしかったのか？

    本件の真因はここです。QCDバランスの崩れの真因は、経営者にあります。

    なぜ、経営陣とくに社長トップは
    ムリしてまでも企業急成長がほしかったのか？

    社長トップがどんな人かを情報を集めるとその真因が見えます。

    【注意】冷静かつ客観的なマインドで！

    ただし、飛び交っている情報を集めているので、１００％正確でない情報です。あくまで推測や仮説にすぎないことを先に了承ください。
    本ケースの経営陣を批判が目的ではなく
    同じ環境がそろえば、どの企業でも起こりうる視点で分析しています。
    ここは読者のあなたも理解してください。

    QCプラネッツは批判するためのブログではありません。今後、似た状況を再発防止するためサイトです。冷静に客観的に分析していきましょう。

    情報整理

    現在も社長は兼重宏行氏ですが、数年前から息子が経営のトップになっています。
    その頃から利益至上主義が顕著になってきました。
    特に２代目のトップは20代前半から企業経営側に入り、20代後半で国内ＭＢＡ取得、そこから経営に関わっている。
    ああーなるほど
    とピンと来ましたね。

    ここからは推測・仮説となりますが、

    ●２代目トップは先代を超えたい野望があるが、これがムリな企業拡大につながったのではないか？
    ●ＭＢＡ取得とはいえ、自社の事業特性やそこで働く従業員の風景を汗をかいて肌で感じていないため、数字（売上）が優先したのではないか？
    ●自信から周囲にイエスマンしかいない経営環境が実態と合わない経営にはいってしまったのではないか？

    本ケースは、経営陣側の対応に真因があると言えます。不正事例を数十社研究するとすぐわかります！

    ⑥その後の結末

    まだ、実際の影響は出ていませんが、

    1. 保険会社からの過剰請求の損害賠償
    2. 車体を意図的に傷つけて修理拡大などの器物損壊罪の刑事告訴
    3. 自動車を扱うため行政処分
    4. 顧客離れ
    が予想されます。

    ⑦とるべき対応策

    経営理念に戻れ！

    ＱＣプラネッツもＭＢＡホルダーですが、この２代目トップも同じＭＢＡホルダーとして言いたいのは、

    経営理念に戻れ！
    企業の存在意義に立ち戻るべき
    経営理念の重要さをＭＢＡで学んで来たはず!

    経営理念はただの言葉ですが、経営者は必ずここをベースに動きます。企業の中で一番重要な言葉なんです！

    ビッグモータの企業理念を引用すると

    お客様の車に関する全てのニーズに応える

    この言葉にぴったりはまる企業に変革していただきたいと願っております。

    とるべき対応策

    ●何社も品質不正の分析をすると、取るべき対策は１つに抽象化できます。

    品質不正を犯した所だけ、是正・修正しても効果はない。
    組織の経営そのものを是正・修正しないと再発する。

    ●対応策については、関連記事で詳しく解説しました。批判で終わらず、建設的な改善提案と成功へつなげましょう！

    【必読】品質不正からの名誉挽回方法がわかる

    品質不正に陥った組織をどうやって立て直すかわかりますか？本記事では、批判で終わる品質不正の記事とは違って、信頼回復・改革に何が組織には必要なのかをわかりやすく解説します。誰かに任せるのではなく、自分事として自らリーダーシップをとって良い組織に生き返らせましょう！社会は温かく見守るべきです。

    QCプラネッツは、品質不正から立ち直る仲間を応援します！
    がんばりましょう！

    まとめ

    「ビッグモータの不正を学ぶ」を解説しました。

    • ①品質マインド
    • ➁品質不正の内容・被害
    • ➂発覚した経緯
    • ➃品質不正分析で見逃がしてはいけない情報
    • ➄品質不正に至った真因
    • ⑥その後の結末
    • ⑦とるべき対応策

  • 【QC検定®合格】「検定と推定」問題集を販売します

    【QC検定®合格】「検定と推定」問題集を販売します

    「QC検定®１級、２級合格したいけど、検定と推定がわからない、解けない！」、など、困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    【QC検定®合格】「検定と推定」問題集を販売します

    記事の信頼性

    記事を書いている私は、QC検定®１級合格した後、さらにQCをすべて研究して究めました。
    究めた結果、検定と推定がわかりましたので、問題集にしました！

    ●商標使用について、
    ①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
    ➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
    ➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。

    ①検定と推定で困っていませんか？

    パターンが多いから習得しにくい！

    次の内容で苦手意識があるかどうかをチェックしましょう！

    1. 検定統計量の公式が多すぎて、すぐ忘れる！
    2. 検定と推定の問題が出てもどのパターンなのかがわからない！
    3. 応用問題になると、手が出ない！
    4. 検出力がまったくわからない！

    いかがでしょうか？　多くの方が苦手となるポイントばかりですね。

    種類が多い検定統計量

    関連記事でも検定を取り扱っていますが、10種類以上はざらにありますよね！

    QC検定®2級レベルでも11種類あるので、どのパターンの問題で、どの検定統計量を使えばよいかがさっとわからなくなりますし、公式も忘れやすくなります！、

    【必読】検定と推定を解く【QC検定®2級対策】
    QC検定®2級で必ず出題される検定と推定の解法を解説します。検定から推定区間まで5分以内に解けるための流れとテクニックについて解説します。試験では11パターンから1つが出題されますので、すべてを解説します。QC検定®2級合格したい方は必見です。

    • (A-1)平均値に関する検定(\(σ_e^2\)既知)
    • (A-1)平均値に関する検定(\(σ_e^2\)未知)
    • (B-1)母平均差に関する検定(2つの分散が同じ)
    • (B-2)母平均差に関する検定(2つの分散が異なる)
    • (C-1)分散値に関する検定(分散が変化したか)
    • (C-2)分散値に関する検定(2変数の分散値の同異)
    • (D-1)二項分布に関する検定(1つの母不適合品率)
    • (D-2)二項分布に関する検定(2つの母不適合品率)
    • (E-1)ポアソン分布に関する検定(1つの母不適合数)
    • (E-2)ポアソン分布に関する検定(2つの母不適合数)
    • (F)分割表による検定

    検定と推定は実務でも使う

    もちろん、QC検定®や統計の試験によく出ますが、
    実際の検査などの実務でも使う場面は意外とあります。

    そんなときに、さっと解けるようになっておきたいですよね！

    そこで、今回「検定と推定」の問題集を作成しました。

    ➁問題集のメリット

    本問題集を学ぶメリット

    1. 検定統計量は自力で導出できるようになる！
    2. 様々な検定問題をシャッフルした演習ができる！
    3. どのパターンの検定問題かがすぐわかるようになる！
    4. ＱＣ検定®2級、ＱＣ検定®1級の問題が解けるようになる！
    5. 敬遠しがちな、検出力が自力で解けるようになる！

    逆にデメリットは

    1. 勉強しないと習得できない
      ⇒それはしゃーない！ですよね(笑)

    是非、ご購入いただきたいです。
    次に、全問題の内容を紹介します！

    ➂内容の範囲

    QCの「検定と推定」問題集の全問題を紹介！

    45題の問題内容と単元を紹介します！

    苦手な問題があれば、勉強して強化しましょう！
    どこが苦手かをチェックしながら各問を見ましょう。

    第１章　検定統計量の導出(１６題)
    　検定統計量の式をすべて導出する練習から始めます。公式暗記せず自力で導出でき、データの特徴や確率分布との関連性を理解しながら、導出できるようになります。この章が最重要！

    第２章　検定と推定の基本パターン(２題)
    　ＱＣ検定®で頻出パターンをランダムに出題する演習問題です。ブログを活用して、どのパターンの問題かを瞬時にわかるよう練習しましょう。

    第３章　検定と推定の応用問題(１９題)
    　ＱＣ検定®1級向けの応用問題でかつ、基本パターンをランダムに配列しています。試験で、どの式を使って解けばよいかを訓練するための章です。

    第４章　検出力(８題)
    　母平均、母分散における検出力の基礎パターンを演習します。抜取検査にもつながる検出力なので、マスターしましょう！

    第５章　特別解説
    　ウェルチの検定におけるサタースウェイトの等価自由度を丁寧に導出します。

    章 第 問題
    1 1 計量値の検定統計量の導出1
    2 計量値の検定統計量の導出2
    3 計量値の検定統計量の導出3
    4 計量値の検定統計量の導出4
    5 計量値の検定統計量の導出5
    6 計量値の検定統計量の導出6
    7 計量値の検定統計量の導出7
    8 計数値の検定統計量の導出1
    9 計数値の検定統計量の導出2
    10 計数値の検定統計量の導出3
    11 計数値の検定統計量の導出4
    12 計数値の検定統計量の導出5
    13 計数値の検定統計量の導出6
    14 計数値の検定統計量の導出7
    15 分割表の検定統計量の導出1
    16 分割表の検定統計量の導出2
    2 17 計量値の検定と推定の基礎演習(シャッフル)
    18 計数値の検定と推定の基礎演習(シャッフル)
    3 19 検定と推定の応用問題1
    20 検定と推定の応用問題2
    21 検定と推定の応用問題3
    22 検定と推定の応用問題4
    23 検定と推定の応用問題5
    24 検定と推定の応用問題6
    25 検定と推定の応用問題7
    26 検定と推定の応用問題8
    27 検定と推定の応用問題9
    28 検定と推定の応用問題10
    29 検定と推定の応用問題11
    30 検定と推定の応用問題12
    31 検定と推定の応用問題13
    32 検定と推定の応用問題14
    33 検定と推定の応用問題15
    34 検定と推定の応用問題16
    35 検定と推定の応用問題17
    36 検定と推定の応用問題18
    37 検定と推定の応用問題19
    4 38 検出力1
    39 検出力2
    40 検出力3
    41 検出力4
    42 検出力5
    43 検出力6
    44 検出力7
    45 検出力8
    5 – 14の特別解説

    ５つの章に分けてしっかり解いていきましょう。

    解説も充実!

    丁寧な解説ページやQCプラネッツのブログ記事を活用してわかりやすく解けますので、ご安心ください。

    1. 検定と推定の全パターンを網羅した問題集であること
    2. 暗記しがちな検定統計量が自力で導出できること
    3. QC検定®2級レベル、QC検定®1級レベルになること
    4. どんなパターンが出ても、どのパターンかを冷静かつ瞬時に見極める力がつくこと
    5. 確率分布や抜取検査の基礎にもつなげられること

    是非、ご購入ください。

    ➃【問題集ご購入方法】

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    まとめ

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  • 検出力ができる(母分散の検定)

    検出力ができる(母分散の検定)

    「母分散の検定における、検出力の問題が解けない」などと困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    検出力ができる(母分散の検定)

    おさえておきたいポイント

    • ①検出力とは
    • ➁演習問題1
    • ➂演習問題2
    • ➃演習問題3
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    検出力は解ける！
    しっかり演習しましょう！

    ①検出力とは

    関連記事で確認ください。まずは、基礎をおさえましょう。

    【初心者必見！】検出力がわかる(母分散の検定)
    検出力は自力で導出できますか？本記事では、母分散の検定における検出力をわかりやすく解説します。検出力の導出方法や、検出力の性質をグラフを活用して理解できます。検出力は抜取検査の基礎でもあるので、確実に理解しておきましょう。

    ➁演習問題1

    問題

    ある部品の特性のばらつき低減をしたい。既存部品と新規部品のばらつきを評価する。検定の有意水準は5％とする。既存部品の母標準偏差は14であり、既存部品も新規部品もそれぞれ30個のサンプルを用いる。
    (1) 新規部品の母標準偏差が10の場合、検出力はいくらか。
    (2) 新規部品の母標準偏差が既存部品の半分の7になった場合、検出力を99%以上にするためにはサンプルサイズはいくら以上必要か。

    解法

    問題文読んでもチンプンカンプンになりがちですが、丁寧に公式代入練習していきましょう。

    (1)の解法

    \(χ^2(n-1,β)\) ≤ \(\frac{χ^2(n-1,1-α)}{σ^2/σ_0^2}\)から
    \(χ^2(29,β)\) ≤ \(\frac{χ^2(29,0.95)}{10^2/14^2}\)=34.73
    ここで、分布表から
    ●\(χ^2(29,0.75)\)=33.7
    ●\(χ^2(29,0.90)\)=39.1
    と
    \(χ^2(29,0.75)\) < \(χ^2(29,β)\) < \(χ^2(29,0.90)\)
    と挟めるので、よって、
    0.75以上0.9未満となります。

    (2)の解法

    \(\frac{1}{4}\) ≤ \(\frac{χ^2(n-1,0.95)}{χ^2(n-1,0.99)}\)
    を満たす\(n\)を分布表から探しましょう。
    \(n-1\)=17がこの条件を満たすので、\(n=18\)となります。

    ピンと来ないですが、公式代入で慣れていきましょう。

    ➂演習問題2

    問題

    ある特性のばらつきが従来の標準偏差\(σ_0\)=25から変化したかどうかを調べるために、ランダムにn=10個のサンプルを選び、帰無仮説H0：\(σ^2\)=\(σ_0^2\)、対立仮説H1：\(σ^2\)≠\(σ_0^2\)を設定して、有意水準α=5%で母分散における検定を実施する。
    (1) 新たな母標準偏差が15に変化しているときの検出力1－βを求めよ。
    (2) (1)のもとで検出力1－β=0.90を満足するサンプル数を求めよ。

    解法

    問題文読んでもチンプンカンプンになりがちですが、丁寧に公式代入練習していきましょう。

    (1)の解法

    \(λ^2\)=\(\frac{σ^2}{σ_0^2}\)=\(\frac{χ^2(n-1,1-α)}{χ^2(n-1,β)}\)
    から
    \(λ^2\)=\(\frac{15^2}{25^2}\)=\(\frac{χ^2(10,0.95)}{χ^2(9,β)}\)
    として、\(β\)の範囲を絞ります。

    計算すると
    \(χ^2(9,β)\)=9.25となり、
    分布表を見ると、 0.25 < \(β\) < 0.50
    より、
    0. 5 < 1-\(β\) < 0.75

    (2)の解法

    \(λ^2\)=\(\frac{σ^2}{σ_0^2}\)=\(\frac{χ^2(n-1,1-α)}{χ^2(n-1,β)}\)
    \(λ^2\)=\(\frac{15^2}{25^2}\)=\(\frac{χ^2(n-1,1-0.05)}{χ^2(n-1,0.1)}\)
    を満たす\(n\)を探します。
    \(n\)=24となります。

    ➃演習問題3

    問題

    ある製品の特性の標準偏差は0.40で安定していた。今回この製品に使用する材料を変えたい。特性の標準偏差が0.26より小さくなれば、材料変更を採用したい。この変更が採用されるかを有意水準α=0.05、母分散の標準偏差が0.26のときの検出力1-β=0.90となるようにサンプルサイズを設計したうえで検討する。
    (1) ここで、
    ●帰無仮説：H0: \(σ^2\)=\(σ_0^2\)=\(0.40^2\),
    ●対立仮説：H1: \(σ^2\) < \(σ_0^2\)
    ●検定統計量：\(χ_0^2\)=\(S/σ_0^2\)
    ●棄却域：\(χ_0^2\) < \(χ^2 (n-1,0.95)\)
    とする。検出力1―βを確率Pr,\(χ_0^2,χ^2,σ,λ,n\)で表せ。
    (2) \(λ^2\)を\(χ^2,n\)で表せ。
    (3) 母分散の標準偏差が0.26のときの検出力1-βが0.90となる最小のサンプルサイズを求めよ。

    解法

    演習問題１，２を合わせた問題です。まとめの問題として取り組みましょう。

    (1)の解法

    1-β=Pr{\(\frac{S}{σ^2}\) ≤ \(\frac{χ^2(n-1,0.95)}{λ^2}\)}

    (2)の解法

    \(λ^2\)=\(\frac{χ^2(n-1,0.95)}{ χ^2(n-1,0.10)}\)

    (3)の解法

    \(λ^2\)=\(\frac{0.26^2}{0.40^2}\)=\(\frac{χ^2(n-1,0.95)}{ χ^2(n-1,0.10)}\)
    から、\(n\)=26

    検出力ができる(母分散の検定)は
    不慣れなχ２乗分布を使うので、
    分かったような、分からないような感じですね。

    以上、母分散の検定における検出力の演習問題を解説しました。

    まとめ

    「検出力ができる(母分散の検定)」を解説しました。

    • ①検出力とは
    • ➁演習問題1
    • ➂演習問題2
    • ➃演習問題3

  • 検出力ができる(母平均の検定)

    検出力ができる(母平均の検定)

    「母平均の検定における、検出力の問題が解けない」などと困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    検出力ができる(母平均の検定)

    おさえておきたいポイント

    • ①検出力とは
    • ➁演習問題1
    • ➂演習問題2
    • ➃演習問題3
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    検出力は解ける！
    しっかり演習しましょう！

    ①検出力とは

    関連記事で確認ください。まずは、基礎をおさえましょう。

    【初心者必見！】検出力がわかる(母平均の検定)
    検出力は自力で導出できますか？本記事では、母平均の検定における検出力をわかりやすく解説します。検出力の導出方法や、検出力の性質をグラフを活用して理解できます。検出力は抜取検査の基礎でもあるので、確実に理解しておきましょう。

    ➁演習問題1

    問題

    製品Aの強度特性の現状の母平均は60である。強度向上する対策を施し、その効果があったかを確認したい。母分散は工程を変更しても従来通りσ2=42とする。有意水準5%で差を検定する。
    (1) n=16のデータとする。向上後の母平均が62とする。この時、検定統計量が棄却域に入る確率を求めよ。
    (2) 向上後の母平均が64の場合、検出力を0.95にするために必要なサンプル数は最低いくらか。

    解法

    問題文から、「母平均の検出力」の問題とわかりますね。

    (1)の解法

    検定棄却域\(u\)は両側検定として正規分布表から1.645です。
    別の式で書くと、
    \(\frac{u-u_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(\frac{u-60}{4/\sqrt{16}}\)=1.645
    より
    \(u\)=61.645となります。

    母平均62が棄却域に入る確率は、
    \(\frac{u-u_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(\frac{62-61.645}{4/\sqrt{16}}\)=0.355
    0.355となる確率は正規分布表からP=0.3594 より、
    求めたい確率1-P=1-0.3594=0.64
    となります。

    (2)の解法

    母平均の検定の検出力の式を使います。

    \(\frac{u-u_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(K_α+K_β\)から
    \(\frac{64-60}{4/\sqrt{n}}\)=1.645+1.645
    \(\sqrt{n}\)=3.29から\(n\)=11
    となります。

    ➂演習問題2

    問題

    ある製品の強度は母平均50.0であるが、製造方法の改善により強度向上させたい。改善後の強度の母平均が51.0であれば新しい製造方法に切り替えたい。なお、強度は正規分布に従い、改造変後でも母標準偏差はσ=1.0とする。新しい製造方法の効果を判断するために、次の母平均に関する仮説検定を考える。
    帰無仮説：H0：\(μ_0\) =\(μ_1\)
    対立仮説：H1：\(μ_0\) > \(μ_1\)
    (1) 新製造方法による\(n\)個の製品をランダムに抽出し、その製品の強度の平均値を\(\bar{x}\)とする。この検定の統計量\(u_0\)を\(\bar{x}\), \(μ_0\),\(σ\),\(n\)で表せ。また、有意水準\(α\)と\(u_0\)、\(K_α\)で表せ。ただし、\(K_α\)は標準正規分布の上側100P%点とする。
    (2) また、\(u=\frac{\bar{x}-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)とする。\(u_0\)と\(u\)の関係式を作れ。また、この検出力\(1-β\)とすると、\(1-β\)はどこの確率に相当するかを示せ。
    (3) \(K_α\)と\(K_β\)の関係式を作れ。
    (4) 有意水準\(α\)=0.05のもとで、\(μ\)=51.0の場合に、検出力\(1―β\)が0.90でH0を棄却するために必要なサンプル数\(n\)を求めよ。

    解法

    母平均の検定の検出力の関係式を導出しながら解く問題です。公式暗記だけだと、この問題はむしろ解きにくいはずです。しっかり練習しましょう。

    (1)の解法

    ●\(\frac{μ-x}{σ/\sqrt{n}}\)=\(K_α\)
    ●\(α\)=Pr{\(u_0\) ≥ \(K_α\)}

    (2)の解法

    ●\(\frac{x-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(K_β\)
    ●\(1-β\)=Pr{\(u\) ≥ \(K_α-\frac{μ-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)}

    (3)の解法

    ●\(\frac{μ-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(K_α\)+\(K_β\)

    (4)の解法

    ●\(\frac{μ-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(\frac{51.0-50.0}{1/\sqrt{n}}\)=1.645+1.282
    \(\sqrt{n}\)=2.927より、\(n\)=8.42⇒9となります。

    ➃演習問題3

    問題

    ある製品において、品質特性の母集団からランダムに16個をサンプリングした。その場合の平均\(μ_0\)は30.0で標準偏差は2.0である。製品を改良し、母平均\(μ_1\)になったとする。ただし、改良による標準偏差の変化ないとする。母平均が変化したかどうかを有意水準α=5%で検定する場合の検出力1―βについて以下を求めよ。
    (1) \(μ_1\)が30.0のままの場合、検出力1―βはいくらになるか。
    (2) \(μ_1\)が60.0などの極端に離れた場合、検出力1―βはいくらになるか。
    (3) \(μ_1\)が30.9,31,31.3,31.8の場合における検出力1―βを求め、検出力曲線（縦軸は検出力1―β、横軸は　(\(μ_1\)－\(μ_0\)）/σ)をプロットせよ。
    (4) サンプル数を増加すると検出力曲線はどう変化するか。

    解法

    検出力曲線がプロットできる大事な問題です。

    (1)の解法

    ●\(K_β\)=(30-30)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=-1.645
    正規分布表からβ=0.95
    よって、検出力1-β=0.05

    (2)の解法

    １となります。

    (3)の解法

    同じ計算を繰り返していきます。
    ●\(K_β\)=(30.9-30)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=0.155
    ●\(K_β\)=(31-30)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=0.355
    ●\(K_β\)=(31.3-30)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=0.955
    ●\(K_β\)=(31.8-0)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=1.955

    \(K_β\)から正規分布表を使って確率βを求めて、検出力1―βを計算します。結果を表にまとめます。

    \(μ_1\) (\(μ_1\)－\(μ_0\)）/σ \(K_β\) β 検出力１－β
    30.9 0.45 0.155 0.438 0.562
    31 0.5 0.355 0.361 0.639
    31.3 0.65 0.955 0.169 0.831
    31.8 0.9 1.955 0.025 0.975

    プロットすると、下図になります。

    検出力

    (4)の解法

    関連記事にもあるように、サンプル数を増やすと検出力は上がります。実際に試してみてください。

    以上、母平均の検定における検出力の演習問題を解説しました。

    まとめ

    「検出力ができる(母平均の検定)」を解説しました。

    • ①検出力とは
    • ➁演習問題1
    • ➂演習問題2
    • ➃演習問題3

  • 【初心者必見！】検出力がわかる(母分散の検定)

    【初心者必見！】検出力がわかる(母分散の検定)

    「母分散の検定における、検出力がわからない」などと困っていませんか？

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    本記事のテーマ

    【初心者必見！】検出力がわかる(母分散の検定)

    おさえておきたいポイント

    • ①検出力とは
    • ➁母分散の検出における検出力がわかる
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    検出力は自力で導出できる！
    計量抜取検査のベースにもつながる!
    何度も見て、解けるようになりましょう！

    ①検出力とは

    関連記事で解説していますので、ご確認ください。

    【初心者必見！】検出力がわかる(母平均の検定)
    検出力は自力で導出できますか？本記事では、母平均の検定における検出力をわかりやすく解説します。検出力の導出方法や、検出力の性質をグラフを活用して理解できます。検出力は抜取検査の基礎でもあるので、確実に理解しておきましょう。

    ➁母分散の検定における検出力がわかる

    では検出力を導出しましょう。

    検出力の関係式を導出

    母分散の検定における検出力
    はイメージしにくいんですよね。。。

    真の母分散\(σ^2\)と帰無仮説における母分散\(σ_0^2\)の比を使って
    検出力とサンプル数を決定します。

    同じ自由度\(n-1\)において、比較する２つの比を用意します。
    式についての基礎は関連記事で確認ください。

    【簡単】χ2乗分布がすぐ使いこなせる【初心者向け】
    χ2乗分布を使った検定方法やχ2乗分布表の使い方についてやみくみに解いていませんか？本記事では、χ2乗分布を使うときに注意すべきポイントをわかりやすく解説します。χ2乗分布をすぐ使いこなせたい方は必見です。

    ●\(\frac{S}{σ_0^2}\)=\(χ^2(n-1,Φ_0)\)
    ●\(\frac{S}{σ^2}\)=\(χ^2(n-1,Φ)\)

    ここで、\(S\)は平方和、\(Φ_0とΦ\)に有意水準\(α\)や検出力\(1-β\)が入りますが、下表のような関係で代入します。でもここが難しいですけど。

    – 片側検定 両側検定
    \(σ\) > \(σ_0\) \(Φ_0\) \(α\) \(α\)/2
    \(Φ\) 1-\(β\) 1-\(β\)
    \(σ\) < \(σ_0\) \(Φ_0\) 1-\(α\) 1-\(α\)/2
    \(Φ\) \(β\) \(β\)

    関係式
    ●\(\frac{S}{σ_0^2}\)=\(χ^2(n-1,Φ_0)\)
    ●\(\frac{S}{σ^2}\)=\(χ^2(n-1,Φ)\)
    から
    ●「\(S\)= 」の式に変形します。

    \(S\)=\( σ_0^2 χ^2(n-1,Φ_0)\)= \(σ^2 χ^2(n-1,Φ)\)

    ここで、\(λ^2\)=\(\frac{σ^2}{σ_0^2}\)とおくと、
    \(λ^2\)=\(\frac{σ^2}{σ_0^2}\)=\(\frac{χ^2(n-1,Φ_0)}{χ^2(n-1,Φ)}\)
    という関係式ができます。

    \(λ^2\)=\(\frac{σ^2}{σ_0^2}\)=\(\frac{χ^2(n-1,Φ_0)}{χ^2(n-1,Φ)}\)
    から、\(σ、n\)が既知なら、\(Φ\)の比較により検出力が計算できて
    \(σ、Φ\)が既知なら、サンプル数\(n\)が計算できます。

    検出力の関係式を図示

    \(λ^2\)=\(\frac{σ^2}{σ_0^2}\)=\(\frac{χ^2(n-1,Φ_0)}{χ^2(n-1,Φ)}\)
    の式がイメージしにくいので
    図示しましょう。

    母分散の検定の検出力

    上図で、わかりやすい図を作ったのですが、
    母分散の検定における検出力はイメージしにくいですね。

    以上、よく使う母分散の検定における検出力を導出しました。ちゃんと導出できるので、公式暗記に頼らず自力で導出できるようにしましょう。

    まとめ

    「【初心者必見！】検出力がわかる(母分散の検定)」を解説しました。

    • ①検出力とは
    • ➁母分散の検出における検出力がわかる

  • 【初心者必見！】検出力がわかる(母平均の検定)

    【初心者必見！】検出力がわかる(母平均の検定)

    「母平均の検定における、検出力がわからない」などと困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    【初心者必見！】検出力がわかる(母平均の検定)

    おさえておきたいポイント

    • ①検出力とは
    • ➁母平均の検出における検出力がわかる
    • ➂検出力を計算して性質を理解しよう！
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    検出力は自力で導出できる！
    計量抜取検査のベースにもつながる!
    何度も見て、解けるようになりましょう！

    ①検出力とは

    検出力とは

    検出力は
    第1種の誤り(消費者危険)と第２種の誤り(生産者危険)
    に出て来る！
    消費者危険と生産者危険をプロットしたのが
    抜取検査のＯＣ曲線だから、
    検出力がわかれば
    「検定と推定」も「抜取検査」も理解できる！

    大事ですね。

    よく下表のように書いてあり、
    主張したい対立仮説H1が
    「真」と判断できる確率を
    「検出力　1-β」
    と書きます。

    – H0が正しい H1が正しい
    H0が真 1-α α(有意水準)
    H1が真 β 1-β(検出力)

    検出力は計量抜取検査の基本

    計量抜取検査の理論は検出力の導出がベースです。しっかりここでマスターして計量抜取検査もマスターしましょう。QCプラネッツは計量抜取検査をしっかりまとめています。ご確認ください。

    計量抜取検査がすべてわかる【まとめ】
    計量抜取検査のエッセンスをすべて解説します。サンプル数n、合格判定係数k、合格判定値の導出、OC曲線の描き方をベースに、標準偏差σの既知、未知や規格値・合格判定値についてそれぞれ詳細に解説します。計量抜取検査をマスターしたい方は必見です。

    ➁母平均の検出における検出力がわかる

    では検出力を導出しましょう。

    検出力とサンプル数の関係式が導出できる

    ➂検出力を計算して性質を理解しよう！

    有意水準αと検出力1-βを図示する

    検出力を導出する上で、大事になるのが、
    有意水準αと検出力1-βの関係図です。

    関係図は下図になります。これ、結構大事です！
    第１種の誤りも第２種の誤りも、
    確率なので、正規分布の面積に該当します。

    検出力

    有意水準αと検出力1-βの関係式を作る

    上図で理解したら、具体的な式を入れて来ます。

    検出力

    ここで、\(u(α),u(β)\)は平均から標準偏差\(σ/\sqrt{n}\)の何倍離れているかを定義する倍数と定義します。

    上図の点Aの位置は
    ●A=\(μ_0+u(α)\frac{σ}{\sqrt{n}}\)
    ●A=\(μ-u(β)\frac{σ}{\sqrt{n}}\)
    と２通り表現できますね。

    まとめると、
    \(μ_0+u(α)\frac{σ}{\sqrt{n}}\)=\(μ-u(β)\frac{σ}{\sqrt{n}}\)
    からβについてとnについての式をそれぞれ変形します。
    実際、\(μ_0,μ\)の大小はどちらかが大きくなるので、差分に絶対値を付けます。

    ●\(β\): \(u(β)\)=\(\frac{|μ-μ_0|}{σ/\sqrt{n}}-u(α)\)
    ●\(n\): \(n\)=\((\frac{σ}{μ-μ_0})^2 (u(α)+u(β))^2\)
    と解けます。

    大事なのは、

    ●\(β\): \(u(β)\)=\(\frac{|μ-μ_0|}{σ/\sqrt{n}}-u(α)\)
    ●\(n\): \(n\)=\((\frac{σ}{μ-μ_0})^2{u(α)+u(β)}^2\)
    は自力で導出できる！
    ですね。

    ➂検出力を計算して性質を理解しよう！

    グラフから検出力の性質を理解する

    実際可視化して見てみましょう。

    1. \(μ-μ_0\)が変化すると検出力はどうなるか？
    2. \(σ\)が変化すると検出力はどうなるか？
    3. \(n\)が変化すると検出力はどうなるか？

    Excelでグラフを描きますが、下図のように検出力は
    =NORM.DIST(ABS($F6)/SQRT(G$2^2/G$3)-NORM.INV(1-G$4,0,1),0,1,TRUE)
    として計算します。
    NORM.DISTはTRUEより累積確率をもとめており、
    NORM.INVは\(u(β)\)を\(β\)に戻す計算をしています。

    検出力

    \(μ-μ_0\)が変化すると検出力はどうなるか？

    下図のグラフのx軸を見るとわかりますが、

    検出力

    \(|μ-μ_0|\)が0に近づくと一気に検出力は低下する

    図を描けば、この理由がよくわかります。
    ２つの正規分布が近づくと赤い面積（検出力）は削られているのがわかります。これが理由です。

    検出力

    \(σ\)が変化すると検出力はどうなるか？

    \(σ\)が大きいと検出力は低下する

    検出力

    \(n\)が変化すると検出力はどうなるか？

    \(σ\)が大きいと検出力は低下する

    検出力

    理解を深めたいならば、Excelで１回描いてみてください。式だけではイメージしにくいのでグラフを描いて理解するのが良いでしょう。

    以上、よく使う母平均の検定における検出力を導出しました。ちゃんと導出できるので、公式暗記に頼らず自力で導出できるようにしましょう。

    まとめ

    「【初心者必見！】検出力がわかる(母平均の検定)」を解説しました。

    • ①検出力とは
    • ➁母平均の検出における検出力がわかる
    • ➂検出力を計算して性質を理解しよう！

  • ウェルチの方法とサタースウェイトの自由度が導出できる

    ウェルチの方法とサタースウェイトの自由度が導出できる

    「ウェルチの方法とサタースウェイトの自由度はどうやって導出するのかがわからない」などと困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    ウェルチの方法とサタースウェイトの自由度が導出できる

    おさえておきたいポイント

    • ①ウェルチの方法の検定統計量を導出
    • ➁サタースウェイトの自由度を導出
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    検定統計量は自力で導出しよう！
    \(t\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}\)
    サタースウェイトの自由度の導出過程を知ろう！
    \(\frac{(\frac{V_A}{n_A}+\frac{V_B}{n_B})^2}{Φ^*}\)=\(\frac{(\frac{V_A}{n_A})^2}{Φ_A}\)+\(\frac{(\frac{V_B}{n_B})^2}{Φ_B}\)

    ①ウェルチの方法の検定統計量を導出

    元の式は関連記事になるように、
    \(t_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}+\frac{V_2}{n_2}}}\)
    がベースです。

    【初心者必見！】計量値の検定統計量が導出できる
    計量値の検定統計量は暗記不要です。本記事では、正規分布、ｔ分布に従う２つの検定統計量が有れば、母平均差の検定や対応のある場合の検定に必要な検定統計量の式が自力で導出できる方法をわかりやすく解説します。統計、ＱＣの初心者は必読です。

    ウェルチの検定において、検定統計量の導出は簡単ですが、この検定統計量に該当する自由度Φはいくらにすべきでしょうか？

    これを与えてくれるのがサタースウェイトの自由度です。

    ➁サタースウェイトの自由度を導出

    サタースウェイトの自由度を導出

    サタースウェイトの自由度
    \(\frac{(\frac{V_A}{n_A}+\frac{V_B}{n_B})^2}{Φ^*}\)=\(\frac{(\frac{V_A}{n_A})^2}{Φ_A}\)+\(\frac{(\frac{V_B}{n_B})^2}{Φ_B}\)

    シンプルな式ではありますが、導出過程がどこにも書いていませんので、丁寧にまとめました。

    ウェルチ(Welch)の方法とサタースウェイトの自由度が導出できる【検定と推定】｜こう品質@品質管理ブロガー
    ●サタースウェイトの自由度Φ* を導出します！ 公式丸暗記で済ませがちですが、実際に導出します！ 是非ご購入いただいて、ご確認ください。 よろしくお願いいたします。

    ご確認ください。

    サタースウェイトの自由度の注意点

    １つ注意なのが、

    サタースウェイトの自由度
    \(\frac{(\frac{V_A}{n_A}+\frac{V_B}{n_B})^2}{Φ^*}\)=\(\frac{(\frac{V_A}{n_A})^2}{Φ_A}\)+\(\frac{(\frac{V_B}{n_B})^2}{Φ_B}\)
    から計算する\(Φ^*\)は
    小数を含むことが多い!

    なので、


    \(Φ^*\)の近い整数に変えるが、
    t分布の分布関数の値が厳しい方の整数に変えるとベター！

    です。

    これもよく試験に出ますね。

    まとめ

    「ウェルチの方法とサタースウェイトの自由度が導出できる」を解説しました。

    • ①ウェルチの方法の検定統計量を導出
    • ➁サタースウェイトの自由度を導出

  • 【初心者必見！】計数値の検定統計量が導出できる

    【初心者必見！】計数値の検定統計量が導出できる

    「計数値の検定統計量の式が多すぎて暗記できない」などと困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    【初心者必見！】計数値の検定統計量が導出できる

    おさえておきたいポイント

    • ①計数値の検定統計量のベースとなる式
    • ➁母不適合品率の検定統計量を導出
    • ➂母不適合品率差の検定統計量を導出
    • ➃母不適合品率差の検定統計量の注意点
    • ➄母不適合数の検定統計量を導出
    • ⑥母不適合数差の検定統計量を導出
    [themoneytizer id=”105233-2″]
    検定統計量は自力で導出しよう！
    各ケースでの検定統計量の式の違いも確認しよう！
    何度も見て、解けるようになりましょう！
    対象数 検定対象 統計量分布 検定統計量
    1 母不適合品率
    \(p\)    		 二項分布 \(u_0\)=\(\frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)
    2 母不適合品率差
    \(p_A-p_B\)    		 二項分布 \(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\frac{p_A(1-p_A)}{n_A}+\frac{p_B(1-p_B)}{n_B}}}\)
    1 母不適合数
    λ    		 ポアソン分布 \(u_0\)=\(\frac{\hat{λ}-λ_0}{\sqrt{\frac{λ_0}{n}}}\)
    2 母不適合数差
    \(λ_A-λ_B\)    		 ポアソン分布 \(u_0\)=\(\frac{λ_A-λ_B}{\sqrt{\frac{λ_A}{n_A}+\frac{λ_B}{n_B}}}\)

    ①計数値の検定統計量のベースとなる式

    標準正規分布がベース

    標準正規分布に従うがベースとします。関連記事にあるように、
    二項分布やポアソン分布は正規分布に近づく性質があります。

    【初心者必見！】正規分布、二項分布、ポアソン分布が比較できる
    正規分布、二項分布、ポアソン分布が比較できますか？本記事では、期待値、分散の値をそろえると、正規分布、二項分布、ポアソン分布はぴったりそろうことをわかりやすく解説します。３者がそろう条件をしっかり理解しましょう。初心者は必読です。

    ベースとなる検定統計量は

    \(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ}\)

    です。この式くらいは暗記してもOKです。

    ただし、１点注意なのは、サンプル数\(n\)の項は含まれていません。ここだけ注意しましょう。

    二項分布の場合

    二項分布の期待値と分散はそれぞれ
    ●E[\(k\)]=\(pn\) (\(k\)=\(pn\))
    ●V[\(k\)]=\(pn(1-p)\)　 (\(k\)=\(pn\))
    です。この関係式を代入すれば二項分布の検定統計量が導出できます。

    ポアソン分布の場合

    ポアソン分布の期待値と分散はそれぞれ
    ●E[\(k\)]=\(λ\)
    ●V[\(k\)]=\(λ\)
    です。この関係式を代入すればポアソン分布の検定統計量が導出できます。

    ➁母不適合品率の検定統計量を導出

    前提条件

    前提条件は、

    1. 母不適合品率
    2. 二項分布に従う(正規分布近似できる)

    検定統計量を導出

    検定統計量の出発点は、\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{σ}}\)
    です。

    二項分布の期待値と分散はそれぞれ
    ●E[\(k\)]=\(pn\) (\(k\)=\(pn\))
    ●V[\(k\)]=\(pn(1-p)\)　 (\(k\)=\(pn\))

    ただし、１つ注意点があります。

    ●E[\(k\)]=\(pn\) (\(k\)=\(pn\))
    ●V[\(k\)]=\(pn(1-p)\)であるが、
    必要なのは、
    ●E[\(p\)]と●V[\(p\)]

    なので、\(k=pn\)から\(p=\frac{k}{n}\)と変形して、求めます。

    ●E[\(p\)]=E[\(\frac{k}{n}\)]=\(\frac{1}{n}\)E[\(k\)]=\(\frac{pn}{n}\)=\(p\)
    ●V[\(p\)]= V[\(\frac{k}{n}\)]=\(\frac{1}{n^2}\)V[\(k\)]
    =\(\frac{pn(1-p)}{n^2}\)=\(\frac{p(1-p)}{n}\)
    を使います。

    この関係式を代入すれば二項分布の検定統計量が導出できます。

    また、二項分布は確率\(p\)を代入するので、
    \(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ/n}\)の\(n\)を入れずに、
    \(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ}\)を使います。
    ここがややこしいですが、注意しましょう。

    なので、この式を\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ}\)に代入します
    ●\(\bar{x}\)→\(p\)
    ●\(μ_0\)→\(p_0\)
    ●\(σ\)→\(\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)
    を代入するので、

    \(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ}\)
    =\(\frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)
    と導出できます。

    よって、検定統計量は
    ●\(u_0\)=\(\frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)
    となります。

    ➂母不適合品率差の検定統計量を導出

    前提条件

    前提条件は、

    1. 母不適合品率差
    2. 二項分布に従う(正規分布近似できる)

    検定統計量を導出

    検定統計量の出発点は、\(u_0\)=\(\frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)
    です。

    分散は加法性を使って
    ●V(A-B)=V(A)+V(B)= \(\frac{p_A (1-p_A)}{n_A}\)+\(\frac{p_B (1-p_B)}{n_B}\)
    とします。

    この関係式を代入すれば二項分布の検定統計量が導出できます。

    なので、この式を\(u_0\)=\(\frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)に代入します
    ●\( p \)→\(p_A\)
    ●\( p_0\)→\(p_B\)
    ●\(σ\)→\(\sqrt{\frac{p_A(1-p_A)}{n_A}+\frac{p_B(1-p_B)}{n_B}}\)
    を代入するので、

    \(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ}\)
    =\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\frac{p_A(1-p_A)}{n_A}+\frac{p_B(1-p_B)}{n_B}}}\)
    と導出できます。

    よって、検定統計量は
    ●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\frac{p_A(1-p_A)}{n_A}+\frac{p_B(1-p_B)}{n_B}}}\)
    となります。

    二項分布の検定統計量が導出できました！

    ➃母不適合品率差の検定統計量の注意点

    実はよく使う公式に、

    検定統計量
    ●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
    ただし
    ・\(p_A\)=\(\frac{x_A}{n_A}\)
    ・\(p_B\)=\(\frac{x_B}{n_B}\)
    ・\(\bar{p}\)=\(\frac{x_A+x_B}{n_A+n_B}\)

    ですが、よく確かめると

    ●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\frac{p_A(1-p_A)}{n_A}+\frac{p_B(1-p_B)}{n_B}}}\)
    と
    ●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
    は一致しません。

    よく式を見ると、
    ●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\frac{p_A(1-p_A)}{n_A}+\frac{p_B(1-p_B)}{n_B}}}\)
    ●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
    が一致させるには、

    \(\frac{p_A(1-p_A)}{n_A}\)=\(\bar{p}(1-\bar{p})\)
    かつ
    \(\frac{p_B(1-p_B)}{n_B}\)=\(\bar{p}(1-\bar{p})\)
    が必要ですが、

    (左辺)はAまたはBのみ
    (右辺)はA,B両方が含まれる値なので、
    片方が実はない(0である)条件以外は結果は一致しません。

    よく使う検定統計量
    ●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
    ですが、自分で正しく導出してきた
    ●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\frac{p_A(1-p_A)}{n_A}+\frac{p_B(1-p_B)}{n_B}}}\)
    と結果が一致しませんので、注意ください！

    ●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\)
    は試験に出るから丸暗記とならないよう注意が必要です！

    自分が使う式は
    ちゃんと導出して理解してから
    使いましょう！

    ➄母不適合数の検定統計量を導出

    前提条件

    前提条件は、

    1. 母不適合数
    2. ポアソン分布に従う(正規分布近似できる)

    検定統計量を導出

    検定統計量の出発点は、\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}\)
    です。

    ポアソン分布の期待値と分散はそれぞれ
    ●E[\(λ\)]=\(λ\)
    ●V[\(λ\)]=\(λ\)です。

    二項分布と違って、\(λ\)を直接代入します。

    この関係式を代入すればポアソン分布の検定統計量が導出できます。

    また、ポアソン分布は\(λ\)=\(np\)を代入し\(n\)を含んでいるので、
    \(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}\)を使います。
    二項分布と違って、ここがややこしいですが、注意しましょう。

    なので、この式を\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}\)に代入します
    ●\(\bar{x}\)→\(λ\)
    ●\(μ_0\)→\(λ_0\)
    ●\(σ\)→\(\sqrt{\frac{λ_0}{n}}\)
    を代入するので、

    \(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ}\)
    =\(\frac{λ-λ_0}{\sqrt{\frac{λ_0}{n}}}\)
    と導出できます。

    よって、検定統計量は
    ●\(u_0\)=\(\frac{λ-λ_0}{\sqrt{\frac{λ_0}{n}}}\)
    となります。

    ⑥母不適合数差の検定統計量を導出

    前提条件

    前提条件は、

    1. 母不適合数差
    2. ポアソン分布に従う(正規分布近似できる)

    検定統計量を導出

    検定統計量の出発点は、\(u_0\)=\(\frac{λ-λ_0}{\sqrt{\frac{λ_0}{n}}}\)
    です。

    分散は加法性を使って
    ●V(A-B)=V(A)+V(B)= \(\frac{λ_A}{n_A}\)+ \(\frac{λ_B}{n_B}\)
    とします。

    この関係式を代入すればポアソン分布の検定統計量が導出できます。

    なので、この式を\(u_0\)=\(\frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)に代入します
    ●\( p \)→\(p_A\)
    ●\( p_0\)→\(p_B\)
    ●\(σ\)→\(\sqrt{\frac{λ_A}{n_A}+\frac{λ_B}{n_B}}\)
    を代入するので、

    \(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{σ}\)
    =\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\frac{λ_A}{n_A}+\frac{λ_B}{n_B}}}\)
    と導出できます。

    よって、検定統計量は
    ●\(u_0\)=\(\frac{p_A-p_B}{\sqrt{\frac{λ_A}{n_A}+\frac{λ_B}{n_B}}}\)
    となります。

    ポアソン分布の検定統計量が導出できました！

    以上、よく使う検定統計量を導出しました。ちゃんと導出できるので、公式暗記に頼らず自力で導出できるようにしましょう。

    まとめ

    「【初心者必見！】計数値の検定統計量が導出できる」を解説しました。

    • ①計数値の検定統計量のベースとなる式
    • ➁母不適合品率の検定統計量を導出
    • ➂母不適合品率差の検定統計量を導出
    • ➃母不適合品率差の検定統計量の注意点
    • ➄母不適合数の検定統計量を導出
    • ⑥母不適合数差の検定統計量を導出

  • 【初心者必見！】計量値の検定統計量が導出できる

    【初心者必見！】計量値の検定統計量が導出できる

    「計量値の検定統計量の式が多すぎて暗記できない」などと困っていませんか？

    こういう疑問に答えます。

    本記事のテーマ

    【初心者必見！】計量値の検定統計量が導出できる

    おさえておきたいポイント

    • ①計量値の検定統計量のベースとなる式
    • ➁母平均差の検定統計量を導出1
    • ➂母平均差の検定統計量を導出2
    • ➃母平均差の検定統計量を導出3
    • ➄母平均差の検定統計量を導出4
    • ⑥母平均差の検定統計量を導出5
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    検定統計量は自力で導出しよう！
    各ケースでの検定統計量の式の違いも確認しよう！
    何度も見て、解けるようになりましょう！
    検定対象 母分散 統計量分布 検定統計量
    母平均μ 既知\(σ^2\) 標準正規分布 \(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{σ^2/n}}\)
    未知 t分布 \(t_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{V/n}}\)
    母平均
    μ1とμ2の差    		 既知\(σ^2\) 標準正規分布 \(u_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{σ_1^2}{n_1}+\frac{σ_2^2}{n_2}}}\)
    未知(\(V_1\)=\(V_2\) t分布 \(t_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{V(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\)
    (\(V\)=\(\frac{S_1+S_2}{n_1+n_2-2}\))
    未知(\(V_1\)≠\(V_2\) t分布 \(t_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}+\frac{V_2}{n_2}}}\)
    対応のある母平均
    μ1とμ2の差
    δ=μ1―μ2    		 既知\(σ^2\) 標準正規分布 \(u_0\)=\(\frac{\bar{d}}{\sqrt{σ_d^2/n}}\)
    未知 t分布 \(t_0\)=\(\frac{\bar{d}}{\sqrt{V_d/n}}\)

    ①計量値の検定統計量のベースとなる式

    母平均\(μ\)で母分散が既知(\(σ^2\))の場合

    標準正規分布に従うので、検定統計量は

    \(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{σ^2/n}}\)

    となります。この式くらいは暗記してもOKです。

    母平均\(μ\)で母分散が未知の場合

    t分布に従うので、検定統計量は

    \(t_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{V/n}}\)

    となります。この式くらいは暗記してもOKです。

    母分散の既知、未知の違いで
    従う分布関数や、検定統計量の式が若干、形が変わります。

    この２つ式をベースに変形していきます。

    ➁母平均差の検定統計量を導出1

    前提条件

    前提条件は、

    1. 母平均差
    2. 母分散が既知でそれぞれ\(σ_1^2\),\(σ_2^2\)

    検定統計量を導出

    検定統計量の出発点は、\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{σ^2/n}}\)
    です。

    2つの母集団 N1(\(μ_1\),\(σ_1^2\)), N2(\(μ_2\),\(σ_2^2\))からそれぞれn1個、n2個データを取り出し、その標本集団をそれぞれN1’, N2’とします。

    平均と分散はN1’ (\(μ_1\),\(σ_1^2/n_1\)), N2’ (\(μ_2\),\(σ_2^2/n_2\))となります。

    あるN1’の点\(\bar{X_1}\)と、あるN2’の点\(\bar{X_2}\)との差を検定します。その分布N1’- N2’を考えると、

    ●平均(期待値)は、\(μ_1\)-\(μ_2\) とそのまま差として、
    ●分散は、\(σ_1^2/n_1\)+\(σ_2^2/n_2\)と分散の加法性を使います。

    よって、検定統計量は
    ●\(u_0\)=\(\frac{(\bar{x_1}-μ_1)-(\bar{x_2}-μ_2)}{\sqrt{\frac{σ_1^2}{n_1}+\frac{σ_2^2}{n_2}}}\)
    =\(\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})-(μ_1-μ_2)}{\sqrt{\frac{σ_1^2}{n_1}+\frac{σ_2^2}{n_2}}}\)
    となります。

    ただし！ \(μ_1-μ_2\)=0とする例もある

    母平均差を検定する思いは、母平均差が無いも考えるので、よく
    \(μ_1-μ_2\)=0として、
    ●\(u_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{σ_1^2}{n_1}+\frac{σ_2^2}{n_2}}}\)
    をよく使います。

    検定統計量は
    ●\(u_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{σ_1^2}{n_1}+\frac{σ_2^2}{n_2}}}\)
    ただし、 \(μ_1-μ_2\)=0として、
    ●\(u_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{σ_1^2}{n_1}+\frac{σ_2^2}{n_2}}}\)

    ➂母平均差の検定統計量を導出2

    前提条件

    前提条件は、

    1. 母平均差
    2. 母分散が未知だが、分散は共通のＶ

    検定統計量を導出

    検定統計量の出発点は、\(t_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{V/n}}\)
    です。

    2つの母集団 N1(\(μ_1\),\(V\)), N2(\(μ_2\),\(V\))からそれぞれn1個、n2個データを取り出し、その標本集団をそれぞれN1’, N2’とします。

    平均と分散はN1’ (\(μ_1\),\(V/n_1\)), N2’ (\(μ_2\),\(V/n_2\))となります。

    あるN1’の点\(\bar{X_1}\)と、あるN2’の点\(\bar{X_2}\)との差を検定します。その分布N1’- N2’を考えると、

    ●平均(期待値)は、\(μ_1\)-\(μ_2\) とそのまま差として、
    ●分散は、\(V/n_1\)+\(V/n_2\)=\(V(1/n_1+1/n_2)\)と分散の加法性を使います。

    よって、検定統計量は
    ●\(t_0\)=\(\frac{(\bar{x_1}-μ_1)-(\bar{x_2}-μ_2)}{\sqrt{V(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\)
    =\(\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})-(μ_1-μ_2)}{\sqrt{ V(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\)
    となります。

    一方、分散\(V\)は、全平方和を全自由度で割ればいいので。
    ●\(V\)=\(\frac{S_1+S_2}{(n_1-1)+(n_2-1)}\)= \(\frac{S_1+S_2}{n_1+n_2-2}\)
    となります。

    ただし！ \(μ_1-μ_2\)=0とする例もある

    母平均差を検定する思いは、母平均差が無いも考えるので、よく
    \(μ_1-μ_2\)=0として、
    ●\(t_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{ V(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\)
    をよく使います。

    検定統計量は
    ●\(t_0\)=\(\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})-(μ_1-μ_2)}{\sqrt{ V(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\)
    ただし、 \(μ_1-μ_2\)=0として、
    ●\(t_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{ V(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\)
    (●\(V\)=\(\frac{S_1+S_2}{(n_1-1)+(n_2-1)}\)= \(\frac{S_1+S_2}{n_1+n_2-2}\))

    ➃母平均差の検定統計量を導出3

    前提条件

    前提条件は、

    1. 母平均差
    2. 母分散が未知だが、分散\(V_1\)≠\(V_2\)

    検定統計量を導出

    検定統計量の出発点は、\(t_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{V/n}}\)
    です。

    2つの母集団 N1(\(μ_1\),\(V_1\)), N2(\(μ_2\),\(V_2\))からそれぞれn1個、n2個データを取り出し、その標本集団をそれぞれN1’, N2’とします。

    平均と分散はN1’ (\(μ_1\),\(V_1/n_1\)), N2’ (\(μ_2\),\(V_2/n_2\)となります。

    あるN1’の点\(\bar{X_1}\)と、あるN2’の点\(\bar{X_2}\)との差を検定します。その分布N1’- N2’を考えると、

    ●平均(期待値)は、\(μ_1\)-\(μ_2\) とそのまま差として、
    ●分散は、\(V_1/n_1\)+\(V_2/n_2\)と分散の加法性を使います。

    よって、検定統計量は
    ●\(t_0\)=\(\frac{(\bar{x_1}-μ_1)-(\bar{x_2}-μ_2)}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}+\frac{V_2}{n_2}}}\)
    =\(\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})-(μ_1-μ_2)}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}+\frac{V_2}{n_2}}}\)
    となります。

    ただし！ \(μ_1-μ_2\)=0とする例もある

    母平均差を検定する思いは、母平均差が無いも考えるので、よく
    \(μ_1-μ_2\)=0として、
    ●\(t_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}+\frac{V_2}{n_2}}}\)
    をよく使います。

    検定統計量は
    ●\(t_0\)=\(\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})-(μ_1-μ_2)} {\sqrt{\frac{V_1}{n_1}+\frac{V_2}{n_2}}}\)
    ただし、 \(μ_1-μ_2\)=0として、
    ●\(t_0\)=\(\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}+\frac{V_2}{n_2}}}\)

    ➄母平均差の検定統計量を導出4

    「対応のある」とは何か？

    ｢対応のあるとない｣の違いは何でしょうか？
    下図にイメージを示します。

    対応のある

    ●対応のない場合は、全く別の分布を2つ用意した場合
    ●対応のある場合は、異なる2つの分布とはいえ、個々のデータは関係性を持つ場合
    と分けた方が考えやすいですね。

    対応のある場合は、まとめて１つの分布として計算してもよいとして扱います。

    対応のある場合の扱い方

    ２つの母集団 N1, N2からそれぞれn個データを取り出し、それぞれ対応する組み合わせデータ値の差分をとった集団N1’を作ります。

    前提条件

    前提条件は、

    1. 母平均差\(δ\)
    2. 母分散が既知で\(σ_d^2\)

    検定統計量を導出

    検定統計量の出発点は、\(u_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{σ^2/n}}\)
    です。

    差をdとしているので、
    平均は\(\bar{d}\)
    分散はN1’ のデータから別途求めます。今回は\(σ_d^2\)となります。

    よって、検定統計量は
    ●\(u_d\)=\(\frac{(\bar{d}-d_0)}{\sqrt{σ_d^2/n}}\)
    となります。

    ただし！ \( d_0\)=0とする例もある

    母平均差を検定する思いは、母平均差が無いも考えるので、よく
    \( d_0\)=0として、
    ●\(u_d\)=\(\frac{\bar{d}}{\sqrt{σ_d^2/n}}\)
    をよく使います。

    検定統計量は
    ●\(u_d\)=\(\frac{(\bar{d}-d_0)}{\sqrt{σ_d^2/n}}\)
    ただし、 \( d_0\)=0として、
    ●\(u_d\)=\(\frac{\bar{d}}{\sqrt{σ_d^2/n}}\)

    ⑥母平均差の検定統計量を導出5

    前提条件

    前提条件は、

    1. 母平均差\(δ\)
    2. 母分散が未知で\(V_d\)

    検定統計量を導出

    検定統計量の出発点は、\(t_0\)=\(\frac{\bar{x}-μ_0}{\sqrt{V/n}}\)
    です。

    差をdとしているので、
    平均は\(\bar{d}\)
    分散はN1’ のデータから別途求めます。今回は\(V_d\)となります。

    よって、検定統計量は
    ●\(t_d\)=\(\frac{\bar{d}-d_0}{\sqrt{V_d/n}}\)
    となります。

    ただし！ \( d_0\)=0とする例もある

    母平均差を検定する思いは、母平均差が無いも考えるので、よく
    \( d_0\)=0として、
    ●\(t_d\)=\(\frac{\bar{d}}{\sqrt{V_d/n}}\)
    をよく使います。

    検定統計量は
    ●\(t_d\)=\(\frac{\bar{d}-d_0}{\sqrt{V_d/n}}\)
    ただし、 \( d_0\)=0として、
    ●\(t_d\)=\(\frac{\bar{d}}{\sqrt{V_d/n}}\)

    以上、よく使う検定統計量を導出しました。ちゃんと導出できるので、公式暗記に頼らず自力で導出できるようにしましょう。

    まとめ

    「【初心者必見！】計量値の検定統計量が導出できる」を解説しました。

    • ①計量値の検定統計量のベースとなる式
    • ➁母平均差の検定統計量を導出1
    • ➂母平均差の検定統計量を導出2
    • ➃母平均差の検定統計量を導出3
    • ➄母平均差の検定統計量を導出4
    • ⑥母平均差の検定統計量を導出5

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