QCプラネッツ 品質のプロフェッショナルを育成するサイト

検出力ができる(母平均の検定)

検定と推定

「母平均の検定における、検出力の問題が解けない」などと困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

検出力ができる(母平均の検定)

おさえておきたいポイント

  • ①検出力とは
  • ➁演習問題1
  • ➂演習問題2
  • ➃演習問題3
検出力は解ける!
しっかり演習しましょう!

①検出力とは

関連記事で確認ください。まずは、基礎をおさえましょう。

【初心者必見!】検出力がわかる(母平均の検定)
検出力は自力で導出できますか?本記事では、母平均の検定における検出力をわかりやすく解説します。検出力の導出方法や、検出力の性質をグラフを活用して理解できます。検出力は抜取検査の基礎でもあるので、確実に理解しておきましょう。

➁演習問題1

問題

製品Aの強度特性の現状の母平均は60である。強度向上する対策を施し、その効果があったかを確認したい。母分散は工程を変更しても従来通りσ2=42とする。有意水準5%で差を検定する。
(1) n=16のデータとする。向上後の母平均が62とする。この時、検定統計量が棄却域に入る確率を求めよ。
(2) 向上後の母平均が64の場合、検出力を0.95にするために必要なサンプル数は最低いくらか。

解法

問題文から、「母平均の検出力」の問題とわかりますね。

(1)の解法

検定棄却域\(u\)は両側検定として正規分布表から1.645です。
別の式で書くと、
\(\frac{u-u_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(\frac{u-60}{4/\sqrt{16}}\)=1.645
より
\(u\)=61.645となります。

母平均62が棄却域に入る確率は、
\(\frac{u-u_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(\frac{62-61.645}{4/\sqrt{16}}\)=0.355
0.355となる確率は正規分布表からP=0.3594 より、
求めたい確率1-P=1-0.3594=0.64
となります。

(2)の解法

母平均の検定の検出力の式を使います。

\(\frac{u-u_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(K_α+K_β\)から
\(\frac{64-60}{4/\sqrt{n}}\)=1.645+1.645
\(\sqrt{n}\)=3.29から\(n\)=11
となります。

➂演習問題2

問題

ある製品の強度は母平均50.0であるが、製造方法の改善により強度向上させたい。改善後の強度の母平均が51.0であれば新しい製造方法に切り替えたい。なお、強度は正規分布に従い、改造変後でも母標準偏差はσ=1.0とする。新しい製造方法の効果を判断するために、次の母平均に関する仮説検定を考える。
帰無仮説:H0:\(μ_0\) =\(μ_1\)
対立仮説:H1:\(μ_0\) > \(μ_1\)
(1) 新製造方法による\(n\)個の製品をランダムに抽出し、その製品の強度の平均値を\(\bar{x}\)とする。この検定の統計量\(u_0\)を\(\bar{x}\), \(μ_0\),\(σ\),\(n\)で表せ。また、有意水準\(α\)と\(u_0\)、\(K_α\)で表せ。ただし、\(K_α\)は標準正規分布の上側100P%点とする。
(2) また、\(u=\frac{\bar{x}-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)とする。\(u_0\)と\(u\)の関係式を作れ。また、この検出力\(1-β\)とすると、\(1-β\)はどこの確率に相当するかを示せ。
(3) \(K_α\)と\(K_β\)の関係式を作れ。
(4) 有意水準\(α\)=0.05のもとで、\(μ\)=51.0の場合に、検出力\(1―β\)が0.90でH0を棄却するために必要なサンプル数\(n\)を求めよ。

解法

母平均の検定の検出力の関係式を導出しながら解く問題です。公式暗記だけだと、この問題はむしろ解きにくいはずです。しっかり練習しましょう。

(1)の解法

●\(\frac{μ-x}{σ/\sqrt{n}}\)=\(K_α\)
●\(α\)=Pr{\(u_0\) ≥ \(K_α\)}

(2)の解法

●\(\frac{x-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(K_β\)
●\(1-β\)=Pr{\(u\) ≥ \(K_α-\frac{μ-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)}

(3)の解法

●\(\frac{μ-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(K_α\)+\(K_β\)

(4)の解法

●\(\frac{μ-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\)=\(\frac{51.0-50.0}{1/\sqrt{n}}\)=1.645+1.282
\(\sqrt{n}\)=2.927より、\(n\)=8.42⇒9となります。

➃演習問題3

問題

ある製品において、品質特性の母集団からランダムに16個をサンプリングした。その場合の平均\(μ_0\)は30.0で標準偏差は2.0である。製品を改良し、母平均\(μ_1\)になったとする。ただし、改良による標準偏差の変化ないとする。母平均が変化したかどうかを有意水準α=5%で検定する場合の検出力1―βについて以下を求めよ。
(1) \(μ_1\)が30.0のままの場合、検出力1―βはいくらになるか。
(2) \(μ_1\)が60.0などの極端に離れた場合、検出力1―βはいくらになるか。
(3) \(μ_1\)が30.9,31,31.3,31.8の場合における検出力1―βを求め、検出力曲線(縦軸は検出力1―β、横軸は (\(μ_1\)-\(μ_0\))/σ)をプロットせよ。
(4) サンプル数を増加すると検出力曲線はどう変化するか。

解法

検出力曲線がプロットできる大事な問題です。

(1)の解法

●\(K_β\)=(30-30)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=-1.645
正規分布表からβ=0.95
よって、検出力1-β=0.05

(2)の解法

1となります。

(3)の解法

同じ計算を繰り返していきます。
●\(K_β\)=(30.9-30)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=0.155
●\(K_β\)=(31-30)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=0.355
●\(K_β\)=(31.3-30)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=0.955
●\(K_β\)=(31.8-0)/(2.0/\(\sqrt{16}\))-1.645=1.955

\(K_β\)から正規分布表を使って確率βを求めて、検出力1―βを計算します。結果を表にまとめます。

\(μ_1\) (\(μ_1\)-\(μ_0\))/σ \(K_β\) β 検出力1-β
30.9 0.45 0.155 0.438 0.562
31 0.5 0.355 0.361 0.639
31.3 0.65 0.955 0.169 0.831
31.8 0.9 1.955 0.025 0.975

プロットすると、下図になります。

検出力

(4)の解法

関連記事にもあるように、サンプル数を増やすと検出力は上がります。実際に試してみてください。

以上、母平均の検定における検出力の演習問題を解説しました。

まとめ

「検出力ができる(母平均の検定)」を解説しました。

  • ①検出力とは
  • ➁演習問題1
  • ➂演習問題2
  • ➃演習問題3


Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119

    Warning: Invalid argument supplied for foreach() in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 122
error: Content is protected !!