2022/09/25 (更新日: 2025/01/21)

順序統計量の中央値の確率密度関数がわかる

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

順序統計量の中央値の確率密度関数がわかる

①順序統計量のイメージが理解できる
➁順序統計量の中央値の確率密度関数の導出
➂順序統計量の中央値の確率密度関数の例題

高校数学で十分わかる！

順序にそって、期待値が増加していることを図で理解しよう！

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①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！

定義は、

確率変数

$X_1$ ,

$X_2$ ,…,

$X_n$ が独立の確率分布に従うとき、
これらを大きい順に並べたとき、

$k$ 番目の確率変数を

$X_{(k)}$ と書くと、

$X_{(1)}$ <

$X_{(2)}$ <

$X_{(k)}$ < … <

$X_{(n)}$
に並ぶ統計量を基本統計量という。

定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数 $f_{(i)}(x)$ = $\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)$

順序統計量の確率分布関数を見たら、勉強辞めようとなっちゃいます！

順序統計量は式変形の解説が多いので、わかりやすく図で理解できるよう解説します。

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、 $X_{(1)}$ < $X_{(2)}$ < $X_{(k)}$ < … < $X_{(n)}$
に並びます。

面白いのは、

確率分布関数

$f_{(i)}(x)$ の式は１つだが、整数

$i$ を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加していく！

図で理解しましょう！　下図をご覧ください。

順序統計量

もともと確率分布関数 $f_{(i)}(x)$ の式は１つですが、整数 $i$ を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。

➁順序統計量の中央値の確率密度関数の導出

順序統計量の確率密度関数の復習

今回は同時分布は対象外です。

$f_{(i)}(x)$ =

$\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}$

$F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-i} f(x)$
を復習しよう！

関連記事で解説していますので、ご確認ください。

順序統計量の中央値の導出

確率変数 $X_1,X_2,…,X_n$ の中央値は、 $n$ が奇数のときと、偶数のときで表示が若干変わります。

(i)奇数のとき：

$\frac{n+1}{2}$
(ii)偶数のとき：

$\frac{\frac{n}{2}+(\frac{n}{2}+1)}{2}$

例として、 $n$ =7のときは、中央は4です。 $\frac{7+1}{2}$ =4で計算できます。
$n$ =8のときは、中央は4と5の真ん中です。 $\frac{\frac{8}{2}+\frac{8}{2}+1}{2}$ = $\frac{4+5}{2}$ =4.5で計算できますね。

これを順序統計量の確率密度関数に代入すればＯＫです。

順序統計量の中央値の確率密度関数の導出

$n$ が奇数の場合

$f_{(i)}(x)$ = $\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}$ $F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-i} f(x)$ に代入します。

$f_M (x)$ = $\frac{n!}{( \frac{n+1}{2}-1)!1!(n-\frac{n+1}{2})!}$ $F(x)^{ \frac{n+1}{2}-1}(1-F(x))^{n-\frac{n+1}{2}} f(x)$
= $\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})^2}$ $(F(x)(1-F(x))^{\frac{n-1}{2}} f(x)$
となります。

つまり、
$f_M (x)$ = $\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})^2}$ $(F(x)(1-F(x))^{\frac{n-1}{2}} f(x)$

$n$ が偶数の場合

$f_{(i)}(x)$ = $\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}$ $F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-i} f(x)$ に代入します。

ここで、式の見た目をよくするために１つトリックを仕込みます。(良くないと思うが)

$(i-1)$ の $i$ に $i=\frac{n}{2}$ を
$(n-i)$ の $i$ に $i=\frac{n}{2}+1$ を
代入して、共に
$\frac{n}{2}-1$ とさせます。

また、(f(x))の部分を(f(x_1)), (f(x_2))に分けます。

$f_M (x)$ = $\frac{n!}{( \frac{n}{2}-1)!1!( \frac{n}{2}-1)!}$ $F(x_1)^{ \frac{n}{2}-1}(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)$
= $\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!}^2$ $(F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)$
となります。

つまり、
$f_M (x)$ = $\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!}^2$ $(F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)$

まとめると、

(i)奇数のとき：

$f_M (x)$ =

$\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})^2}$

$(F(x)(1-F(x))^{\frac{n-1}{2}} f(x)$
(ii)偶数のとき：

$f_M (x)$ =

$\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!}^2$

$(F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)$

➂順序統計量の中央値の確率密度関数の例題

一様分布を使って、具体的な中央値の確率密度関数の式を作ってみましょう。

【問】
確率変数

$X$ の確率密度関数

$f(x)$ および分布関数

$F(x)$ は
●

$f(x)$ =1 (0 <

$x$ < 1)
●

$F(x)$ =

$x$ (0 <

$x$ < 1)
である一様分布に従うとする。
(1)　中央値の確率密度関数を導出せよ。
(2) 期待値と分散を求めよ。(

$n$ が奇数の場合のみでよい)

解説します。

(1)順序統計量の中央値の確率密度関数の導出

先の、

(i)奇数のとき：

$f_M (x)$ =

$\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})!^2}$

$(F(x)(1-F(x))^{\frac{n-1}{2}} f(x)$
(ii)偶数のとき：

$f_M (x)$ =

$\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!^2}$

$(F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)$

に $f(x)=1$ , $F(x)=x$ を代入します。

$n$ が奇数の場合

$f_M (x)$ = $\frac{n!}{(\frac{n-1}{2}!)^2}$ $(x(1-x)^{\frac{n-1}{2}}$
(0 < $x$ < 1)

$n$ が偶数の場合

$f_M (x)$ = $\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!)^2}$ $(x_1(1-x_2)^{ \frac{n}{2}-1}$
(0 < $x$ < 1)

(2)期待値と分散の導出

期待値と分散の導出は、関連記事で解説しています。

期待値と分散は

●期待値E=

$\frac{i}{n+1}$
●分散V=

$\frac{i(n-i+1}{(n+1)^2 (n+2)}$

この式に $i=\frac{n+1}{2}$ を代入して、

●期待値E= $\frac{i}{n+1}$ = $\frac{\frac{n+1}{2}}{n+1}$ = $\frac{1}{2}$
●分散V= $\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2 (n+2)}$
= $\frac{1}{4(n+2)}$

まとめ

「順序統計量の中央値の確率密度関数がわかる」を解説しました。

①順序統計量のイメージが理解できる
➁順序統計量の中央値の確率密度関数の導出
➂順序統計量の中央値の確率密度関数の例題

統計学