順序統計量の中央値の確率密度関数がわかる
「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁順序統計量の中央値の確率密度関数の導出
- ➂順序統計量の中央値の確率密度関数の例題
①順序統計量のイメージが理解できる
順序統計量とは
順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！
定義は、
これらを大きい順に並べたとき、\(k\)番目の確率変数を\(X_{(k)}\)と書くと、
\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並ぶ統計量を基本統計量という。
定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。
確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
順序統計量のイメージ
言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。
面白いのは、
図で理解しましょう！ 下図をご覧ください。
もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。
視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。
➁順序統計量の中央値の確率密度関数の導出
順序統計量の確率密度関数の復習
今回は同時分布は対象外です。
を復習しよう！
関連記事で解説していますので、ご確認ください。
順序統計量 確率密度関数の考え方がよくわかる
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順序統計量の考え方がよくわかる
順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。
順序統計量の中央値の導出
確率変数\(X_1,X_2,…,X_n\)の中央値は、\(n\)が奇数のときと、偶数のときで表示が若干変わります。
(ii)偶数のとき：\(\frac{\frac{n}{2}+(\frac{n}{2}+1)}{2}\)
例として、\(n\)=7のときは、中央は4です。 \(\frac{7+1}{2}\)=4で計算できます。
\(n\)=8のときは、中央は4と5の真ん中です。\(\frac{\frac{8}{2}+\frac{8}{2}+1}{2}\)=\(\frac{4+5}{2}\)=4.5で計算できますね。
これを順序統計量の確率密度関数に代入すればＯＫです。
順序統計量の中央値の確率密度関数の導出
\(n\)が奇数の場合
\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-i} f(x)\)に代入します。
\(f_M (x)\)=\(\frac{n!}{( \frac{n+1}{2}-1)!1!(n-\frac{n+1}{2})!}\)\(F(x)^{ \frac{n+1}{2}-1}(1-F(x))^{n-\frac{n+1}{2}} f(x)\)
=\(\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})^2}\)\((F(x)(1-F(x))^{\frac{n-1}{2}} f(x)\)
となります。
つまり、
\(f_M (x)\)= \(\frac{n!}{(\frac{n-1}{2})^2}\)\((F(x)(1-F(x))^{\frac{n-1}{2}} f(x)\)
\(n\)が偶数の場合
\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-i} f(x)\)に代入します。
ここで、式の見た目をよくするために１つトリックを仕込みます。(良くないと思うが)
\((i-1)\)の\(i\)に \(i=\frac{n}{2}\)を
\((n-i)\)の\(i\)に \(i=\frac{n}{2}+1\)を
代入して、共に
\(\frac{n}{2}-1\)とさせます。
また、(f(x))の部分を(f(x_1)), (f(x_2))に分けます。
\(f_M (x)\)=\(\frac{n!}{( \frac{n}{2}-1)!1!( \frac{n}{2}-1)!}\)\(F(x_1)^{ \frac{n}{2}-1}(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)
=\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!}^2\)\((F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)
となります。
つまり、
\(f_M (x)\) =\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!}^2\)\((F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)
まとめると、
(ii)偶数のとき：\(f_M (x)\) =\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!}^2\)\((F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)
➂順序統計量の中央値の確率密度関数の例題
一様分布を使って、具体的な中央値の確率密度関数の式を作ってみましょう。
確率変数\(X\)の確率密度関数\(f(x)\)および分布関数\(F(x)\)は
●\(f(x)\)=1 (0 < \(x\) < 1)
●\(F(x)\)=\(x\) (0 < \(x\) < 1)
である一様分布に従うとする。
(1) 中央値の確率密度関数を導出せよ。
(2) 期待値と分散を求めよ。(\(n\)が奇数の場合のみでよい)
解説します。
(1)順序統計量の中央値の確率密度関数の導出
先の、
(ii)偶数のとき：\(f_M (x)\) =\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!^2}\)\((F(x_1)(1-F(x_2))^{ \frac{n}{2}-1} f(x_1) f(x_2)\)
に\(f(x)=1\),\(F(x)=x\)を代入します。
\(n\)が奇数の場合
\(f_M (x)\)= \(\frac{n!}{(\frac{n-1}{2}!)^2}\)\((x(1-x)^{\frac{n-1}{2}} \)
(0 < \(x\) < 1)
\(n\)が偶数の場合
\(f_M (x)\) =\(\frac{n!}{(( \frac{n}{2}-1)!)^2}\)\((x_1(1-x_2)^{ \frac{n}{2}-1} \)
(0 < \(x\) < 1)
(2)期待値と分散の導出
期待値と分散の導出は、関連記事で解説しています。
順序統計量の考え方がよくわかる
順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。
期待値と分散は
●分散V=\(\frac{i(n-i+1}{(n+1)^2 (n+2)}\)
この式に\(i=\frac{n+1}{2}\)を代入して、
●期待値E=\(\frac{i}{n+1}\)=\(\frac{\frac{n+1}{2}}{n+1}\)=\(\frac{1}{2}\)
●分散V=\(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2 (n+2)}\)
=\(\frac{1}{4(n+2)}\)
まとめ
「順序統計量の中央値の確率密度関数がわかる」を解説しました。
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁順序統計量の中央値の確率密度関数の導出
- ➂順序統計量の中央値の確率密度関数の例題
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