2022/10/30 (更新日: 2024/12/26)

要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(非修理系)

信頼性工学

「要素の故障が非独立な系の信頼度が計算できない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①独立な場合と非独立な場合の違い
• ➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン
• ➂解法パターン
• ➃非修理系を学ぶ

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①独立な場合と非独立な場合の違い

独立系とは

中学生でも理解できるほど、簡単なのは、
要素間の信頼性は独立だからです。

1. 要素間の故障は独立している
2. 全体系の信頼度は要素の信頼度の積で計算できる
3. 簡単に計算できる

例題

次の信頼度はどう計算しますか？

単純に、R×R×R×…×R=Rⁿと掛け算すれば出ますよね。
この単純さは、各要素が独立して一定の信頼度(故障率)をもっていると仮定しているからです

非独立系とは

では、各要素が互いに影響し合うと、全体の信頼度はどうやって計算しますか？

イメージは、

難しそうですよね。

1. 要素間の故障は独立できない
2. 全体系の信頼度は要素間の関係式から求めないと算出できない
3. 計算が一気に難しくなる

要素の故障も故障の状態や時間によって、信頼度が変化するので、微分方程式を立てて、全体の信頼度を
計算する必要があります。

➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン

本記事では、その１の「非修理系」を解説します。最もシンプルな系です。

ＱＣプラネッツでは次の３つの非独立系の信頼度を解説します。

1. 非修理系
2. 不完全修理系
3. 完全修理系

➂解法パターン

どのパターンも次の3つの流れで解いていきます。同じ解法なので、安心して理解できます！

1. シャノン線図を描く
2. 微分方程式を作る
3. ラプラス変換して計算

では、「非修理系」を解説します！

➃非修理系を学ぶ

例題

どうですか？　一気に難しくなりましたね。

解法

3つの流れで解きます。

1. シャノン線図を描く
2. 微分方程式を作る
3. ラプラス変換して計算

1.シャノン線図を描く

シャノン線図といいますが、別に何でもよく、
各要素の関係性がわかる図であればＯＫです。

上図のとおりですね。

2. 微分方程式を作る

ある時刻\(t\)から\(t+dt\)だけ時間が経つと、各要素の故障率\(Pi(t)\)はどう変化するか、図を見ながら関係式を作ります。

1つ丁寧に考えます。
\(P_0(t)\)は状態が0の場合の故障率なので、状態が変化すると\(P_0(t)\)は変化します。

ある時刻\(t\)から\(t+dt\)だけ時間が経つと、
●(A)状態0のままの確率⇒\(P_0(t+dt)\)
●(B)状態1に移動する確率⇒\(μ_0 P_0(t)dt\)
の2つがあるので、
\(P_0(t+dt)\)は次の式で表現できます。

\(P_0(t+dt)\)= \(P_0(t)\)-\(μ_0 P_0(t)dt\)

両辺を\(dt\)で割ると、
\(\displaystyle \frac{dP_0}{dt} \)=-\(μ_0 P_0(t)\)
微分方程式になりましたね！

もう１つ丁寧に考えます。
\(P_1(t)\)は状態が1の場合の故障率なので、状態が変化すると\(P_1(t)\)は変化します。

ある時刻\(t\)から\(t+dt\)だけ時間が経つと、
●(A)状態1のままの確率⇒\(P_1(t+dt)\)
●(B)状態0から移動する確率⇒\(μ_0 P_0(t)dt\)
●(C)状態2に移動する確率⇒\(μ_1 P_1(t)dt\)
の3つがあるので、
\(P_1(t+dt)\)は次の式で表現できます。

\(P_1(t+dt)\)= \(P_1(t)\)+\(μ_0 P_0(t)dt\)-\(μ_1 P_1(t)dt\)

両辺を\(dt\)で割ると、
\(\displaystyle \frac{dP_1}{dt} \)=\(μ_0 P_0(t)\)-\(μ_1P_1(t)\)
微分方程式になりましたね！

この式は\(i=1,…,n-1\)で同様となります。図で言うと端でない真ん中のところです。

そして、さいごの\(n\)も丁寧に考えます。
\(P_n(t)\)は状態がnの場合の故障率なので、状態が変化すると\(P_n(t)\)は変化します。

ある時刻\(t\)から\(t+dt\)だけ時間が経つと、
●(A)状態1のままの確率⇒\(P_n(t)\)
●(A)状態\(n-1\)から来る確率⇒\(μ_{n-1} P_{n-1}(t)dt\)
の2つだけです。図では端にあるので、ちょっと式が異なります。
\(P_n(t+dt)\)は次の式で表現できます。

\(P_n(t+dt)\)= \(P_n(t)\)- \(μ_{n-1} P_{n-1}(t)dt\)

両辺を\(dt\)で割ると、
\(\displaystyle \frac{dP_n}{dt} \)=\(-μ_{n-1}P_{n-1}(t)\)
微分方程式になりましたね！

以上まとめると、
\(\displaystyle \frac{dP_0}{dt} \)=\(-μ_0 P_0(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_1}{dt} \)=\(μ_0 P_0(t)\)-\(μ_1 P_1(t)\)
…
\(\displaystyle \frac{dP_{n-1}}{dt} \)=\(μ_{n-2} P_{n-2}(t)\)-\(μ_{n-1} P_{n-1}(t)\)
\(\displaystyle \frac{dP_n}{dt} \)=\(-μ_{n-1}P_{n-1}(t)\)

なお、初期条件は
\(P_0(0)\)=1
\(P_i(0)\)=0 (\(i=1,…n\))

連立微分方程式ができました。

3. ラプラス変換して計算

ラプラス変換については関連記事で解説しています。

QCに必要なラプラス変換がわかる QCに必要なラプラス変換を解説します。信頼性工学で微分方程式が連発するので、ラプラス変換で処理すると楽チンです。QCに必要なところだけ解説します

\(P_0(t)\)を計算しましょう。
\(\displaystyle \frac{dP_0}{dt} \)=\(-μ_0 P_0(t)\)をラプラス変換すると
\(sP_0-P_0(0)\)= \(-μ_0 P_0\)
\(P_0\)=\(\frac{1}{s+μ}\)
逆ラプラス変換すると、
\(P_0(t)\)=\(e^{-μ_0t}\)

\(P_1(t)\)を計算しましょう。
\(\displaystyle \frac{dP_1}{dt} \)=\(μ_0 P_0(t)\)-\(μ_1 P_1(t)\)をラプラス変換すると
\(sP_1-P_1(0)\)= \(μ_0 P_0\) -\(μ_1 P_1\)
\(P_1\)=\(\frac{μ_0 P_0}{s+μ_1}\)
\(P_1\)=\(μ_0 \frac{1}{s+μ_0}\frac{1}{s+μ_1}\)
\(P_1\)=\(μ_0 \frac{1}{μ_1-μ_0}(\frac{1}{s+μ_0}-\frac{1}{s+μ_1})\)
逆ラプラス変換すると、
\(P_1(t)\)=\( \frac{μ}{μ_1-μ_0}(e^{-μ_0t}-e^{-μ_1t})\)

と言う感じで解けます。

i=2以上は複雑なので割愛しますが、同じ解法で解けます。是非やってみてください。

まとめ

「要素の故障が非独立な系の信頼性がわかる(非修理系)」を解説しました。

• ①独立な場合と非独立な場合の違い
• ➁非独立な系の信頼性でおさえたい３つのパターン
• ➂解法パターン
• ➃非修理系を学ぶ

信頼性工学

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