2023/05/09 (更新日: 2023/12/13)

品質工学,動特性の理想直線は原点通らなくてOKな理由がわかる

ロバストパラメータ設計

「品質工学の動特性がよくわからない」などと困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

おさえておきたいポイント

• ①理想直線は原点を通らなくてもいい回帰直線
• ➁理想直線(回帰直線)の成立条件
• ➂原点を通るようにデータ値を調整したら成り立つ
• ➃だったら最初から回帰直線でいいじゃん

品質工学、ロバストパラメータ設計、タグチメソッド
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品質工学の独自性を出したいんでしょうけど、むしろ品質工学を理解しにくくしている！

品質工学の動特性は回帰分析と同じですよ！ 回帰分析の公式をそのまま使えばいいんですよ。

①理想直線は原点を通らなくてもいい回帰直線

品質工学の教科書によく書いていること

品質工学の教科書で動特性の導入を見ると、ほとんど以下の流れで書いています。

1. データの構造式 \(y_j\)=\(\hat{y_j}\)+(\( y_j+\hat{y_j}\))
2. 理想直線 \(\hat{y_j}=βx_j\)
3. 誤差成分 \(S_e\)=\(\sum_{i=1}^{k}( y_j-\hat{y_j})^2\)
4. 理想直線導出 \(\displaystyle \frac{\partial S_e}{\partial β} \)=0から
   \(β\)=\(\frac{\sum_{j=1}^{k} x_j y_j}{\sum_{j=1}^{k} x_j^2}\)=\(\frac{L}{r}\)
5. ２乗和 \(S\)=\(S_β\)+\(S_e\)

とあり、

単回帰直線の場合

でも単回帰直線の導出を確認すると、品質工学の動特性とほぼ同じです。

1. データの構造式 \(y_j\)=\(\hat{y_j}\)+(\( y_j+\hat{y_j}\))
   (注：\(\bar{y}\)項がありますが、無くても２乗和の分解は成立します。)
2. 理想直線 \(\hat{y_j}=βx_j+α\)
3. 誤差成分 \(S_e\)=\(\sum_{i=1}^{k}( y_j-\hat{y_j})^2\)
4. 理想直線導出
   \(\displaystyle \frac{\partial S_e}{\partial α} \)=0,\(\displaystyle \frac{\partial S_e}{\partial β} \)=0
   から
   \(β\)=\(\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\)
5. ２乗和 \(S\)=\(S_R\)+\(S_e\)

表で比較すると、同じ解法ですよね！

品質工学の動特性と、単回帰分析の解法を比較して異なる点は、

なので、

まず、伝えたいのは、

➁理想直線(回帰直線)の成立条件

ちゃんと、理想直線を導出しましょう。単回帰直線と同じでいいことがわかります。

導出フロー

流れは、

1. データの構造式 \(y_j\)=\(\hat{y_j}\)+(\( y_j+\hat{y_j}\))
2. 理想直線 \(\hat{y_j}=βx_j+α\)
3. 誤差成分 \(S_e\)=\(\sum_{i=1}^{k}( y_j-\hat{y_j})^2\)
4. 理想直線導出
   \(\displaystyle \frac{\partial S_e}{\partial α} \)=0,\(\displaystyle \frac{\partial S_e}{\partial β} \)=0
   から
   定数\(α、β\)を導出
5. ２乗和 \(S\)=\(S_R\)+\(S_e\)

理想直線を導出

データの構造式
\(y_j\)=\(\hat{y_j}\)+(\( y_j+\hat{y_j}\))
から(右辺)第２項の誤差成分を取り出します。

なお、\(\hat{y_j}\)は理想直線に乗るので、
\(\hat{y_j}\)=\(βx_j +α\) (\(α\)≠0または0)
が成立します。

誤差成分 \(S_e\)=\(\sum_{i=1}^{k}( y_j-\hat{y_j})^2\)
= \(S_e\)=\(\sum_{i=1}^{k}( y_j-(βx_j +α))^2\)

成立条件は、誤差成分が最小になる条件です。というか、

条件式
●(i) \(\displaystyle \frac{\partial S_e}{\partial α} \)=0
●(ii) \(\displaystyle \frac{\partial S_e}{\partial β} \)=0
を作ります。

展開すると、
●(i) \(\sum_{j=1}^{k}x_j y_j\)= \(β\)\(\sum_{j=1}^{k}x_j^2\)+ \(α\)\(\sum_{j=1}^{k}x_j \)
●(ii) \(\sum_{j=1}^{k} y_j\)=\(β\)\(\sum_{j=1}^{k}x_j\)+\(kα\)
となります。これって、単回帰分析の教科書と同じ導出フローです。それを品質工学の動特性の理想直線としているだけです。

計算すると
●\(α\)=\(\bar{y}-β\bar{x}\) (\(α\)の式は複雑なのでシンプルにしています。)
●\(β\)=\(\frac{k \sum_{j=1}^{k}x_j y_j -\sum_{j=1}^{k}x_j \sum_{j=1}^{k}y_j }{\sum_{j=1}^{k}x_j ^2 –(\sum_{j=1}^{k}x_j)^2}\)
=…=\(\frac{\sum_{j=1}^{k}(x_j -\bar{x})(y_j -\bar{y})}{\sum_{j=1}^{k}(x_j – \bar{x})-^2}\)
となり、これは、
\(β\)=\(\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\)
としてもＯＫですよね。

ちゃんと計算すると、単回帰分析と同じ導出とわかりました。

なお、y切片が0の場合は、\(β\)の式の中には、\(\bar{x},\bar{y}\)はありませんが、
y切片が０でない場合は、\(β\)の式の中には、\(\bar{x},\bar{y}\)はあります。
これは数学的に正しいので問題ないです。

【最重要！】2乗和の分解が成立しているかを確認

関連記事で紹介しますが、2乗和の分解が成立しています。これは、データが繰返しが有る場合、誤差因子が複数ある場合でも成立しています。

誤差因子が１つの場合

品質工学、動特性、誤差因子１つの変動の分解がわかる 品質工学、動特性、誤差因子１つの場合を使いこなせますか？ 本記事では、 動特性で誤差因子が１つの場合において、データの構造式、変動の分解、公式を丁寧に導出し、実データを使って実際に公式が成り立つことを確認できます。教科書では端折りがちな大事な導出部分をしっかり理解しましょう。

ポイントは

誤差因子が１つで繰返しがある場合

品質工学、動特性、誤差因子１つで繰返しありの分解がわかる 品質工学、動特性、誤差因子１つの場合を使いこなせますか？ 本記事では、 動特性で誤差因子が１つで繰返しがあるの場合において、データの構造式、変動の分解、公式を丁寧に導出し、実データを使って実際に公式が成り立つことを確認できます。教科書では端折りがちな大事な導出部分をしっかり理解しましょう。

誤差因子が２つの場合

品質工学、動特性、誤差因子2つの分解がわかる 品質工学、動特性、誤差因子2つの場合を使いこなせますか？ 本記事では、 動特性で誤差因子が2つの場合において、データの構造式、変動の分解、公式を丁寧に導出し、実データを使って実際に公式が成り立つことを確認できます。教科書では端折りがちな大事な導出部分をしっかり理解しましょう。

原点通る条件より２乗和の分解ができる条件で決まる

データの構造式を使えるためには、

まず、この条件が最初にきて、この条件を満たす式の１つに理想直線や回帰直線を当てはめることになります。

教科書は、,mark>先に原点を通る理想直線から話が進むため、そのまま考えずに分散分析すると実は、2乗和がうまく分解しない(\(xy,xz,xw,yz,yw,zw\)≠0)条件で分析するリスクがあります。

➂原点を通るようにデータ値を調整したら成り立つ

でも、教科書のとおり、理想直線は原点を通る直線にしたいならどうすればよいかを１つ提案します。

どうしても原点を通る理想直線したいなら

簡単なことで、

というひと手間入れればOKですが、

【注意！】繰返しの有るデータや誤差因子が複数ある場合

さらに、注意が必要なのは、関連記事のとおり、繰返しがある場合や誤差因子が複数ある場合は多くの理想直線（回帰直線）が出て来ますが、全直線は原点を通りません。

誤差因子が１つで繰返しがある場合

●理想直線は
●\(\hat{y_1}\)の回帰直線：\(\hat{y_1}\)=\(α_1\)+\(β_1\)\(x_j\)
●\(\hat{y_2}\)の回帰直線：\(\hat{y_2}\)=\(α_2\)+\(β_2\)\(x_j\)
●\(\hat{y}\)の回帰直線：\(\hat{y}\)=\(α\)+\(β\)\(x_j\)
ここで、
・\(β\)=\(\frac{1}{2}(β_1+β_2)\)
・\(α\)=\(\frac{1}{2}(α_1+α_2)\)
です。ただし、原点を通る調整ができるのは、\(α\)によるものだけで、
y⇒y-\(α\)と調整しても、\(α_1\),\(α_2\)は0になるとは限りません。

誤差因子が２つの場合

●理想直線は
●\(\hat{y_{ij}}\)の回帰直線：\(\hat{y_{ij}}\)=\(β_i x_j＋α_i\)
●\(\hat{y_{jl}}\)の回帰直線：\(\hat{y_{jl}}\)=\(β_l x_j＋α_l\)
ここで、
・\(β\)=\(β_i\)の平均、または、\(β_l\)
・\(α\)=\(α_i\)の平均、または、\(α_l\)
です。ただし、原点を通る調整ができるのは、\(α\)によるものだけで、
y⇒y-\(α\)と調整しても、\(α_i\),\(α_l\)は0になるとは限りません。

ロバストパラメータ設計

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