直交表L16の分散分析・区間推定が解ける【必見】
「直交表L16の分散分析や分散の期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、直交表L16の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
直交表L16の分散分析や期待値の導出
- ➀直交表L16と四元配置実験のデータの構造式は同じ
- ②平方和の分解の式が書ける
- ③主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
- ④直交表L16の分散分析ができる
- ⑤主効果・交互作用の区間推定が導出できる
- ⑥期待値、分散分析や区間推定の演習問題
記事の信頼性
記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！
●You tube動画もご覧ください。
➀直交表L16と四元配置実験のデータの構造式は同じ
直交表は完全配置実験を表にしたもの
直交表は完全配置実験を表にしたもの
完全配置実験を列に割り当てた表です。
実験回数が減らせるのは交絡してもよいと決めたからです。
関連記事【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていることにて、解説しています。
データの構造式を書く
直交表L16は4因子から構成される水準2の完全配置実験と同じです。
四元配置実験のデータの構造式を作ればよいのです。
四元配置実験のデータの構造式
xijkl=μ+αi+βj+γk+δl
+(αβ)ij+(αγ)ik+(αδ)il
+(βγ)jk+(βδ)jl+(γδ)kl
+(αβγ)ijk+ (αβδ)ijl+(αγδ)ikl+(βγδ)jkl
+ eijkl
注意点が２つあります。
直交表L16については、μは直交表に割り付けません。
eijklは(αβγδ) ijklと交絡しています。
各平均値をデータの構造式で作る
母数因子と変量因子の違い
関連記事【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかるにて、母数因子と変量因子を解説しました。
平均値
母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。
平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。
本記事はすべて母数因子とします。
平均値の式の代表例
データの構造式
xijkl=μ+αi+βj+γk+δl
+(αβ)ij+(αγ)ik+(αδ)il
+(βγ)jk+(βδ)jl+(γδ)kl
+(αβγ)ijk+ (αβδ)ijl+(αγδ)ikl+(βγδ)jkl
+ eijkl
\(\bar{x_{i･･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(\bar{e_{i･･･}}\)
\(\bar{x_{･j･･}}\)=μ+\(β_j\)+\(\bar{e_{･ｊ･･}}\)
\(\bar{x_{･･k･}}\)=μ+\(γ_k\)+\(\bar{e_{･･k･}}\)
\(\bar{x_{･･･l}}\)=μ+\(δ_l\)+\(\bar{e_{･･･l}}\)
\(\bar{x_{ij･･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{ij･･}}\)
\(\bar{x_{i･k･}}\)=μ+\(α_i\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\(\bar{e_{i･k･}}\)
\(\bar{x_{i･･l}}\)=μ+\(α_i\)+\(δ_l\)+\((αδ)_{il}\)+\(\bar{e_{i･･l}}\)
\(\bar{x_{･jk･}}\)=μ+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((βγ)_{jk}\)+\(\bar{e_{･jk･}}\)
\(\bar{x_{･j･l}}\)=μ+\(β_j\)+\(δ_l\)+\((βδ)_{jl}\)+\(\bar{e_{･j･l}}\)
\(\bar{x_{･･kl}}\)=μ+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((γδ)_{kl}\)+\(\bar{e_{･･kl}}\)
\(\bar{x_{ijk･}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(γ_k\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αγ)_{ik}\)+\((βγ)_{jk}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{ijk･}}\)
\(\bar{x_{ij･l}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(δ_l\)+\((αβ)_{ij}\)+\((αδ)_{il}\)+\((βδ)_{jl}\)+\((αβδ)_{ijl}\)+\(\bar{e_{ij･l}}\)
\(\bar{x_{i･kl}}\)=μ+\(α_i\)+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((αγ)_{ik}\)+\((αδ)_{il}\)+\((γδ)_{kl}\)+\((αγδ)_{ikl}\)+\(\bar{e_{i･kl}}\)
\(\bar{x_{･jkl}}\)=μ+\(β_j\)+\(γ_k\)+\(δ_l\)+\((βγ)_{jk}\)+\((βδ)_{jl}\)+\((γδ)_{kl}\)+\((βγδ)_{jkl}\)+\(\bar{e_{･jkl}}\)
②分割法の平方和の分解の式が書ける
データの構造式を変形
式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。
| SA | SB | SC | SD | SA×B | SA×C | SA×D | SB×C | |
| \(x_{ijkl}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{i･･･}}\) | 1 | -1 | -1 | -1 | ||||
| \(\bar{x_{･j･･}}\) | 1 | -1 | -1 | |||||
| \(\bar{x_{･･k･}}\) | 1 | -1 | -1 | |||||
| \(\bar{x_{･･･l}}\) | 1 | -1 | ||||||
| \(\bar{x_{ij･･}}\) | 1 | |||||||
| \(\bar{x_{i･k･}}\) | 1 | |||||||
| \(\bar{x_{i･･l}}\) | 1 | |||||||
| \(\bar{x_{･jk･}}\) | 1 | |||||||
| \(\bar{x_{･j･l}}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{･･kl}}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{ijk･}}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{ij･l}}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{i･kl}}\) | ||||||||
| \(\bar{x_{･jkl}}\) | ||||||||
| \(\bar{\bar{x}}\) | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| SB×D | SC×D | SA×B×C | SA×B×D | SA×C×D | SB×C×D | SA×B×C×D | |
| \(x_{ijkl}\) | 1 | ||||||
| \(\bar{x_{i･･･}}\) | 1 | 1 | 1 | -1 | |||
| \(\bar{x_{･j･･}}\) | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | ||
| \(\bar{x_{･･k･}}\) | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | ||
| \(\bar{x_{･･･l}}\) | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | |
| \(\bar{x_{ij･･}}\) | -1 | -1 | 1 | ||||
| \(\bar{x_{i･k･}}\) | -1 | -1 | 1 | ||||
| \(\bar{x_{i･･l}}\) | -1 | -1 | 1 | ||||
| \(\bar{x_{･jk･}}\) | -1 | -1 | 1 | ||||
| \(\bar{x_{･j･l}}\) | 1 | -1 | -1 | 1 | |||
| \(\bar{x_{･･kl}}\) | 1 | -1 | -1 | 1 | |||
| \(\bar{x_{ijk･}}\) | 1 | -1 | |||||
| \(\bar{x_{ij･l}}\) | 1 | -1 | |||||
| \(\bar{x_{i･kl}}\) | 1 | -1 | |||||
| \(\bar{x_{･jkl}}\) | 1 | -1 | |||||
| \(\bar{\bar{x}}\) | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 |
表から各平方和の導出式が簡単にでますね。SA、SA×C、Seを例に挙げます。
\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\( (\bar{x_{i･‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_{A×C}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{i‥･}}-\bar{x_{･･k･}}+\bar{\bar{x}})^2\)
\( S_{A×B×C}\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((x_{ijk･}-\bar{x_{ij･･}}-\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{･jk･}}\)
\(+x_{i･‥}+x_{･j‥}+x_{･･k･}-\bar{\bar{x}})^2\)
と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。
③分割法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。
主効果の分散の期待値の導出
E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d} (\bar{x_{i…}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((α_i+\bar{e_{i･‥}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((α_i )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{i･‥}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(bcd(a-1)σ_A^2\) +\((a-1)σ_e^2\)
主効果Aの自由度は(a-1)より、分散の期待値E[VA]が求まります。
E[\(V_A\)]=\(bcdσ_A^2\) +\(σ_e^2\)
なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_A^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}α_i^2}{a-1}\)]
\( \frac{σ_e^2}{bcd}=E[\frac{\sum_{i=1}^{a}(\bar{e_{i…}}-\bar{\bar{e}})^2}{a-1}\)]
交互作用の分散の期待値の導出
E[\(S_{A×C}\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i･k･}}-\bar{x_{i…}}-\bar{x_{‥k･}}+\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αγ)_{ik}+(\bar{e_{i･k･}}-\bar{e_{i…}}-\bar{e_{‥k･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]
= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αγ)_{ik}^2)\)
+ E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{i･k･}}-\bar{e_{i…}}-\bar{e_{‥k･}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]
第1項：
bdE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\)
\(((αγ)_{ik})^2]\)
=\(bd(a-1)(c-1)σ_{A×C}^2\)
第2項：
=\((a-1)(c-1)σ_e^2\)
E[\(S_{A×C}\)]
=\(bd(a-1)(c-1)σ_{A×C}^2\)+\((a-1)(c-1)σ_e^2\)
交互作用A×Cの自由度は(a-1)(c-1)より、分散の期待値E[VA×C]が求まります。
E[\(V_{A×C}\)]=\(bdσ_{A×C}^2\)+\(σ_e^2\)
なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_{A×C}^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}(αγ)_{ik}^2}{(a-1)(c-1)}\)]
\(σ_e^2\)については解説集にあります。
残差の分散の期待値の導出
\( S_e\)= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((x_{ijkl}-\bar{x_{ijk･}}-\bar{x_{ij･l}}-\bar{x_{i･kl}}-\bar{x_{･jkl}}\)
+\(\bar{x_{ij‥}}+\bar{x_{i･k･}}+\bar{x_{i‥l}}\)
+\(\bar{x_{･jk･}}+\bar{x_{･j･l}}+\bar{x_{‥kl}}\)
-\(\bar{x_{i…}}-\bar{x_{･j‥}}-\bar{x_{‥k･}}-\bar{x_{…l}}+\bar{\bar{x}}\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((e_{ijkl}-\bar{e_{ijk･}}-\bar{e_{ij･l}}-\bar{e_{i･kl}}-\bar{e_{･jkl}}\)
+\(\bar{e_{ij‥}}+\bar{e_{i･k･}}+\bar{e_{i‥l}}\)
+\(\bar{e_{･jk･}}+\bar{e_{･j･l}}+\bar{e_{‥kl}}\)
-\(\bar{e_{i…}}-\bar{e_{･j‥}}-\bar{e_{‥k･}}-\bar{e_{…l}}+\bar{\bar{e}}\)]
…
=(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)\(σ_e^2\)
となります。さすがに16項を整理するのは大変です。この結果くらいは暗記してもよいでしょう。
E[Se]=(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)\(σ_e^2\)
残差eの自由度は(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)より、分散の期待値E[V e]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。
Ve=\(σ_e^2\)
④直交表L16の分散分析ができる
自由度の計算
各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。
- データの構造式を書く
- 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
- 自由度は表を活用すると簡単に求まる
自由度をまとめます。
| A | B | C | D | A×B | A×C | A×D | B×C | |
| a | 1 | -1 | -1 | -1 | ||||
| b | 1 | -1 | -1 | |||||
| c | 1 | -1 | -1 | |||||
| d | 1 | -1 | ||||||
| ab | 1 | |||||||
| ac | 1 | |||||||
| ad | 1 | |||||||
| bc | 1 | |||||||
| bd | ||||||||
| cd | ||||||||
| abc | ||||||||
| abd | ||||||||
| acd | ||||||||
| bcd | ||||||||
| abcd | ||||||||
| 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| B×D | C×D | A×B×C | A×B×D | A×C×D | B×C×D | A×B×C×D | |
| a | 1 | 1 | 1 | -1 | |||
| b | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | ||
| c | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | ||
| d | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | |
| ab | -1 | -1 | 1 | ||||
| ac | -1 | -1 | 1 | ||||
| ad | -1 | -1 | 1 | ||||
| bc | -1 | -1 | 1 | ||||
| bd | 1 | -1 | -1 | 1 | |||
| cd | 1 | -1 | -1 | 1 | |||
| abc | 1 | -1 | |||||
| abd | 1 | -1 | |||||
| acd | 1 | -1 | |||||
| bcd | 1 | -1 | |||||
| abcd | 1 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 |
分散分析の結果
分散分析表を作ります。
| φ | E[V] | |
| A | a-1 | \(σ_e^2\)+bcd\(σ_A^2\) |
| B | b-1 | \(σ_e^2\)+acd\(σ_B^2\) |
| C | c-1 | \(σ_e^2\)+abd\(σ_C^2\) |
| D | d-1 | \(σ_e^2\)+abc\(σ_D^2\) |
| A×B | (a-1)(b-1) | \(σ_e^2\)+cd\(σ_{A×B}^2\) |
| A×C | (a-1)(c-1) | \(σ_e^2\)+bd\(σ_{A×C}^2\) |
| A×D | (a-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+bc\(σ_{A×D}^2\) |
| B×C | (b-1)(c-1) | \(σ_e^2\)+ad\(σ_{B×C}^2\) |
| B×D | (b-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+ac\(σ_{B×D}^2\) |
| C×D | (c-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+ab\(σ_{C×D}^2\) |
| A×B×C | (a-1)(b-1)(c-1) | \(σ_e^2\)+d\(σ_{A×B×C}^2\) |
| A×B×D | (a-1)(b-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+c\(σ_{A×B×D}^2\) |
| A×C×D | (a-1)(c-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+b\(σ_{A×C×D}^2\) |
| B×C×D | (b-1)(c-1)(d-1) | \(σ_e^2\)+a\(σ_{B×C×D}^2\) |
| A×B×C×D | (a-1)(b-1)(c-1)(d-1) | \(σ_e^2\) |
| T | abcd-1 |
ここで、直交表L16の場合、
a=b=c=d=2を代入します。
結果、すべての効果の自由度は1になります。
a=b=c=d=2以外の値の場合でも上の分散分析は成り立ちます。
直交表L81,L256,L3125,…が該当します。使うのは、直交表L16かL81くらいでしょうか。
直交表の分散の期待値や自由度は暗記せずに、
完全配置実験と同じ方法で導出できることを理解してください。
データの構造式、分散分析を実際に計算するとよくわかりますね。
⑥主効果・交互作用の区間推定が導出できる
母平均の点推定の導出方法
有効繰返し数と区間推定の導出方法
区間推定は、下の式で算出します。
$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$
区間推定のポイント
- ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
- 誤差eの自由度φeである。
- Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出
サタースウェイトの式については、ここを見てください。本記事は、分割法を扱っていないので自由度は残差の自由度を使えばよいです。
主効果の点推定と区間推定の導出
分散の期待値から分散の推定値を導出
分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
Ve=\(\widehat{σ_e^2}\)
上の表から、分散の推定値を求めます。
主効果の点推定と区間推定
点推定： \(\widehat{μ}(A_i)=\bar{x_{i･‥}}\)=\(\widehat{μ+α_i}\)
=\(μ+α_i +\bar{e_{i…}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(α_i))\)
=V[μ+\(α_i +\bar{e_{i…}}]\)
=V[\(\bar{e_{i…}}]\)
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{a}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。
交互作用の区間推定
点推定： \(\widehat{μ}(A_i C_k)\)=\(\bar{x_{i･k･}}\)
=\(μ+α_i+γ_k+(αγ)_{ik}+\bar{e_{i･k･}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i C_k))\)
=V[μ+\(α_i+γ_k+(αγ)_{ik}+\bar{e_{i･k･}}\)]
=V[\(\bar{e_{ i･k･}}]\)
=\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{ac}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。
一連の導出過程を解説しました。
⑥期待値、分散分析や区間推定の演習問題
本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。
(1)自由度と分散の期待値を導出せよ。
(2)各効果の点推定と区間推定を計算せよ。
(詳細は解説集にあります。)
まとめ
直交表L16の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。
- ➀直交表L16と四元配置実験のデータの構造式は同じ
- ②平方和の分解の式が書ける
- ③主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
- ④直交表L16の分散分析ができる
- ⑤主効果・交互作用の区間推定が導出できる
- ⑥期待値、分散分析や区間推定の演習問題
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