乱塊法(3因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
「乱塊法って何なの？」、「乱塊法の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、乱塊法の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
乱塊法(3因子)の分散分析や期待値の導出
- ➀乱塊法とは何かがわかる
- ②乱塊法(3因子)のデータの構造式が書ける
- ③乱塊法(3因子)の平方和の分解の式が書ける
- ④乱塊法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
- ⑤乱塊法の分散分析ができる
- ⑥乱塊法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
- ⑦乱塊法(3因子)の分散分析を導出できる演習問題
記事の信頼性
記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です！
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➀乱塊法とは何かがわかる
関連記事乱塊法(4因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】に解説しています。
ポイントは次の3つです。
- 英語をそのまま日本語にするから変な言葉(乱塊法)になる
- フィッシャーの農場の歴史や局所管理の内容は理解しなくても大丈夫
- データの構造式を理解すれば乱塊法は怖くない！
データの構造式から乱塊法を理解する
- 完全配置実験のデータの構造式を作る
- 一部の項を変形すれば乱塊法になる
完全配置実験のデータの構造式を乱塊法へ変形するプロセスが理解できれば十分です。
●You tube動画もご覧ください。
②乱塊法(3因子)のデータの構造式が書ける
データの構造式
3因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。
三元配置実験のデータの構造式
xijk=μ+αi+βj+γk
+(αβ) ij+(αγ) ik+(βγ) jk
+eijk
次に、乱塊法に変形します。ここで、γkを反復因子としてブロック因子に定義します。因子A,Bは調べたい因子、Cは反復因子として区別します。
- 調べたい因子A,B：主効果と互いの交互作用を対象
- 反復因子C:主効果のみ
反復因子Cと因子A,Bとの交互作用に意味を持たないため、残差にプーリング
します。
まとめると、次の式変形を行います。
- γkをαiの前に持っていく
- (αγ) ik、(βγ) jkをeijkへプーリングする。
乱塊法(3因子)のデータの構造式
xijk=μ+γk+αi+βj+ (αβ) ij+ eijk
とすれば、乱塊法に変えることができます。
各平均値をデータの構造式で作る
母数因子と変量因子の違い
関連記事【簡単】母数因子と変量因子の違いがすぐわかるにて、母数因子と変量因子を解説しました。
母数因子と変量因子
母数因数：α、β、αβ
変量因子：γ、e
平均値
母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。
平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。
平均値の式の代表例
データの構造式
xijk=μ+γk+αi+βj+ (αβ) ij+ eijk
\(x_{ijk}\)=μ+\(γ_k\)+\(α_i\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(e_{ijk}\)
\(\bar{x_{i･･}}\)=μ+\(\bar{r}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{i･･}}\)
\(\bar{x_{･j･}}\)=μ+\(\bar{r}\)+\(β_j\)+\(\bar{e_{･ｊ･}}\)
\(\bar{x_{･･k}}\)=μ+\(γ_k\)+\(\bar{e_{･･k}}\)
\(\bar{x_{ij･}}\)=μ+\(\bar{r}\)+\(α_i\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{ij･}}\)
\(\bar{x_{i･k}}\)=μ+\(γ_k\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{i･k}}\)
\(\bar{x_{･jk}}\)=μ+\(γ_k\)+\(β_j\)+\(\bar{e_{･jk}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{r}\)+\(\bar{\bar{e}}\)
③乱塊法(3因子)の平方和の分解の式が書ける
データの構造式を変形
式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです。
| SA | SB | SC | SA×B | Se | |
| \(x_{ijk}\) | 1 | ||||
| \(\bar{x_{i･･}}\) | 1 | -1 | |||
| \(\bar{x_{･j･}}\) | 1 | -1 | |||
| \(\bar{x_{･･k}}\) | 1 | -1 | |||
| \(\bar{x_{ij･}}\) | 1 | -1 | |||
| \(\bar{x_{i･k}}\) | |||||
| \(\bar{x_{･jk}}\) | |||||
| \(\bar{\bar{x}}\) | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 |
表から各平方和の導出式が簡単にでますね。SB、SA×B ,Seを例に挙げます。
\(S_B\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\( (\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_{A×B}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･j･}}+\bar{\bar{x}})^2\)
\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((x_{ijk}-\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{‥k}}+\bar{\bar{x}})^2\)
と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。
④乱塊法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
期待値については、関連記事確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】をご覧下さい。
主効果の分散の期待値の導出
乱塊法（2因子）と同じ方法で導出します。下の関連記事で導出過程を解説しています。
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乱塊法(2因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】 実験計画法の、乱塊法(2因子)の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか？公式暗記で済ませていませんか？本記事は、乱塊法(2因子)の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。 |
E[\(S_B\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\( (\bar{x_{･j･}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\( (β_j+\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((β_j )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{e_{･j･}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(ac(b-1)σ_B^2\) +\((b-1)(σ_e^2\))
主効果Bの自由度は(b-1)より、分散の期待値E[VB]が求まります。
E[\(V_B\)]=\(acσ_C^2\) +\(σ_e^2\)
なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_B^2\)=E[\(\frac{\sum_{j=1}^{b}β_j^2}{b-1}\)]
\(σ_e^2\)については解説集にあります。
交互作用の分散の期待値の導出
E[\(S_{A×B}\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{･j･}}+\bar{\bar{x}})^2\)
\(((αβ)_{ij}+\bar{e_{ij･}}-\bar{e_{i‥}}-\bar{e_{･j･}}+\bar{\bar{e}})^2\)]
第1項：
=c E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)
\(((αβ)_{ij}^2)\)]
=\(c(a-1)(b-1)σ_{A×B}^2\)
第2項：
=\((ab-a-b+1)σ_e^2\)
=\((a-1)(b-1)σ_e^2\)
E[\(S_{A×B }\)]
=\(c(a-1)(b-1)σ_{A×B }^2\)+\((a-1)(b-1)σ_e^2\)
交互作用A×Bの自由度は(a-1)(b-1)より、分散の期待値E[VA×B ]が求まります。
E[\(V_{A×B}\)]=\(cσ_{A×B}^2\)+\(σ_e^2\)
なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_{ A×B }^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}^2}{(a-1)(b-1)}\)]
\(σ_{e}^2\)については解説集にあります。
残差の分散の期待値の導出
E[\(S_e\)]= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((x_{ijk}-\bar{x_{ij･}}-\bar{x_{‥k}}+\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((e_{ijk}-\bar{e_{ij･}}-\bar{e_{‥k}}+\bar{\bar{e}})^2\)]
=(abc-ab-c+1)\(σ_e^2\)
=(ab-1)(c-1) \(σ_e^2\)
E[\(S_e\)]=(ab-1)(c-1)\(σ_e^2\)
(全計算過程は解説集にあります)
残差eの自由度は(ab-1)(c-1)より、分散の期待値E[Ve]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。計算は複雑ですが、自由度で割ると\(σ_e^2\)になることがわかります。
E[e]=\(σ_e^2\)
⑤乱塊法の分散分析ができる
自由度の計算
各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事【簡単】データの構造式で実験計画法がわかる(必読)に解説しています。まとめると次の3つです。
- データの構造式を書く
- 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
- 自由度は表を活用すると簡単に求まる
自由度をまとめます。
| SA | SB | SC | SA×B | Se | |
| a | 1 | -1 | |||
| b | 1 | -1 | |||
| c | 1 | -1 | |||
| ab | 1 | -1 | |||
| abc | 1 | ||||
| 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 |
分散分析の結果
分散分析表を作ります。
| φ | E[V] | |
| A | a-1 | \(σe^2\)+bc\(σ_A^2\) |
| B | b-1 | \(σe^2\)+ac\(σ_B^2\) |
| C | c-1 | \(σe^2\)+ab\(σ_C^2\) |
| A×B | (a-1)(b-1) | \(σe^2\)+c\(σ_{A×B}^2\) |
| e | (ab-1)(c-1) | \(σe^2\) |
| T | abc-1 | – |
⑥乱塊法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
母平均の点推定の導出方法
有効繰返し数と区間推定の導出方法
区間推定は、下の式で算出します。
$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$
区間推定のポイント
- ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
- 誤差eの自由度φeである。
- Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出
サタースウェイトの式については、ここを見てください。
主効果の点推定と区間推定の導出
分散の期待値から分散の推定値を導出
分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
VC=\(σe^2\)+ab\(σ_C^2\)
Ve=\(σe^2\)
よって、
\(\widehat{σ_C^2}\)= \(\frac{1}{ab}\)( VC-Ve)
\(\widehat{σ_e^2}\)= Ve
主効果の点推定と区間推定
点推定： \(\widehat{μ}(B_j)=\bar{x_{･j･}}\)=\(\widehat{μ+β_j}\)
=\(μ+\bar{r}＋β_j +\bar{e_{･j･}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}( B_j))\)
=V[μ+\(\bar{r}＋β_j +\bar{e_{･j･}}\)]
=V[\(\bar{r}\)]+V[\(\bar{e_{･j･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_C^2}}{c}\)+\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{ab}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。
交互作用の点推定と区間推定
点推定： \(\widehat{μ}(A_i B_j)\)=\(\bar{x_{ij･}}\)
=\(μ+\bar{γ}+α_i+β_j+(αβ)_{ij}+\bar{e_{ij･}}\)
分散：\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j))\)
=V[μ+\(\bar{γ}+α_i+β_j+(αβ)_{ij}+\bar{e_{ij･}}\)]
= V[\(\bar{r}\)]+V[\(\bar{e_{ij･}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_C^2}}{c}\)+\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{c}\)
Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。
一連の導出過程を解説しました。
⑦乱塊法(3因子)の分散分析を導出できる演習問題
本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。
xijk=μ+γk+αi+βj
+ (αβ) ij+ eijk
因子A,B,Cの自由度はそれぞれa,b,cとする。
また因子Cは反復として変量因子として扱う。
(1)主効果、交互作用、残差eの自由度と分散の期待値を導出せよ。
(2)主効果,交互作用の点推定と区間推定を計算せよ。
(詳細は解説集にあります。)
まとめ
乱塊法(3因子)の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。
- ➀乱塊法とは何かがわかる
- ②乱塊法(3因子)のデータの構造式が書ける
- ③乱塊法(3因子)の平方和の分解の式が書ける
- ④乱塊法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
- ⑤乱塊法の分散分析ができる
- ⑥乱塊法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
- ⑦乱塊法(3因子)の分散分析を導出できる演習問題
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119