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乱塊法(3因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

実験計画法

「乱塊法って何なの?」、「乱塊法の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、乱塊法の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

乱塊法(3因子)の分散分析や期待値の導出ができる

乱塊法(3因子)の分散分析や期待値の導出

  • ➀乱塊法とは何かがわかる
  • ②乱塊法(3因子)のデータの構造式が書ける
  • ③乱塊法(3因子)の平方和の分解の式が書ける
  • ④乱塊法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
  • ⑤乱塊法の分散分析ができる
  • ⑥乱塊法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
  • ⑦乱塊法(3因子)の分散分析を導出できる演習問題

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です!

➀乱塊法とは何かがわかる

関連記事に解説しています。

ポイントは次の3つです。

  1. 英語をそのまま日本語にするから変な言葉(乱塊法)になる
  2. フィッシャーの農場の歴史や局所管理の内容は理解しなくても大丈夫
  3. データの構造式を理解すれば乱塊法は怖くない!

データの構造式から乱塊法を理解する

  1. 完全配置実験のデータの構造式を作る
  2. 一部の項を変形すれば乱塊法になる

完全配置実験のデータの構造式を乱塊法へ変形するプロセスが理解できれば十分です。

●You tube動画もご覧ください。

②乱塊法(3因子)のデータの構造式が書ける

データの構造式

3因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。機械的に書けますね。

三元配置実験のデータの構造式

xijk=μ+αijk
+(αβ) ij+(αγ) ik+(βγ) jk
+eijk

次に、乱塊法に変形します。ここで、γkを反復因子としてブロック因子に定義します。因子A,Bは調べたい因子、Cは反復因子として区別します。

  1. 調べたい因子A,B:主効果と互いの交互作用を対象
  2. 反復因子C:主効果のみ

反復因子Cと因子A,Bとの交互作用に意味を持たないため、残差にプーリングします。

まとめると、次の式変形を行います。

  1. γkをαiの前に持っていく
  2. (αγ) ik、(βγ) jkをeijkへプーリングする。

乱塊法(3因子)のデータの構造式

xijk=μ+γkij+ (αβ) ij+ eijk
とすれば、乱塊法に変えることができます。

各平均値をデータの構造式で作る

母数因子と変量因子の違い

関連記事にて、母数因子と変量因子を解説しました。

母数因子と変量因子

母数因数:α、β、αβ
変量因子:γ、e

平均値

母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。

平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。

平均値の式の代表例

データの構造式

xijk=μ+γkij+ (αβ) ij+ eijk

\(x_{ijk}\)=μ+\(γ_k\)+\(α_i\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(e_{ijk}\)
\(\bar{x_{i・・}}\)=μ+\(\bar{r}\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{i・・}}\)
\(\bar{x_{・j・}}\)=μ+\(\bar{r}\)+\(β_j\)+\(\bar{e_{・j・}}\)
\(\bar{x_{・・k}}\)=μ+\(γ_k\)+\(\bar{e_{・・k}}\)
\(\bar{x_{ij・}}\)=μ+\(\bar{r}\)+\(α_i\)+\(β_j\)+\((αβ)_{ij}\)+\(\bar{e_{ij・}}\)
\(\bar{x_{i・k}}\)=μ+\(γ_k\)+\(α_i\)+\(\bar{e_{i・k}}\)
\(\bar{x_{・jk}}\)=μ+\(γ_k\)+\(β_j\)+\(\bar{e_{・jk}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{r}\)+\(\bar{\bar{e}}\)

③乱塊法(3因子)の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです

SA SB SC SA×B Se
\(x_{ijk}\) 1
\(\bar{x_{i・・}}\) 1 -1
\(\bar{x_{・j・}}\) 1 -1
\(\bar{x_{・・k}}\) 1 -1
\(\bar{x_{ij・}}\) 1 -1
\(\bar{x_{i・k}}\)
\(\bar{x_{・jk}}\)
\(\bar{\bar{x}}\) -1 -1 -1 1 1

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。SB、SA×B ,Seを例に挙げます。

\(S_B\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\( (\bar{x_{・j・}}-\bar{\bar{x}})^2\)
\(S_{A×B}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((\bar{x_{ij・}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{・j・}}+\bar{\bar{x}})^2\)
\( S_e\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((x_{ijk}-\bar{x_{ij・}}-\bar{x_{‥k}}+\bar{\bar{x}})^2\)
と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。

④乱塊法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事をご覧下さい。

主効果の分散の期待値の導出

乱塊法(2因子)と同じ方法で導出します。下の関連記事で導出過程を解説しています。

乱塊法(2因子)の分散分析・区間推定が解ける【必見】
実験計画法の、乱塊法(2因子)の分散分析、分散の期待値の導出、主効果・交互作用の区間推定の導出ができますか?公式暗記で済ませていませんか?本記事は、乱塊法(2因子)の分散分析、分散の期待値の導出、区間推定の導出を解説します。分散分析、期待値の導出、区間推定をマスターしたい方は必見です。

E[\(S_B\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\( (\bar{x_{・j・}}-\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\( (β_j+\bar{e_{・j・}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((β_j )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{e_{・j・}}-\bar{\bar{e}})^2\)]
=\(ac(b-1)σ_B^2\) +\((b-1)(σ_e^2\))

主効果Bの自由度は(b-1)より、分散の期待値E[VB]が求まります。
E[\(V_B\)]=\(acσ_C^2\) +\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。
\( σ_B^2\)=E[\(\frac{\sum_{j=1}^{b}β_j^2}{b-1}\)]
\(σ_e^2\)については解説集にあります。

交互作用の分散の期待値の導出

E[\(S_{A×B}\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)
\((\bar{x_{ij・}}-\bar{x_{i‥}}-\bar{x_{・j・}}+\bar{\bar{x}})^2\)
\(((αβ)_{ij}+\bar{e_{ij・}}-\bar{e_{i‥}}-\bar{e_{・j・}}+\bar{\bar{e}})^2\)]

第1項:
=c E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)
\(((αβ)_{ij}^2)\)]
=\(c(a-1)(b-1)σ_{A×B}^2\)
第2項:
=\((ab-a-b+1)σ_e^2\)
=\((a-1)(b-1)σ_e^2\)

E[\(S_{A×B }\)]
=\(c(a-1)(b-1)σ_{A×B }^2\)+\((a-1)(b-1)σ_e^2\)

交互作用A×Bの自由度は(a-1)(b-1)より、分散の期待値E[VA×B ]が求まります。

E[\(V_{A×B}\)]=\(cσ_{A×B}^2\)+\(σ_e^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_{ A×B }^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}^2}{(a-1)(b-1)}\)]

\(σ_{e}^2\)については解説集にあります。

残差の分散の期待値の導出

E[\(S_e\)]= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((x_{ijk}-\bar{x_{ij・}}-\bar{x_{‥k}}+\bar{\bar{x}})^2\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)

\((e_{ijk}-\bar{e_{ij・}}-\bar{e_{‥k}}+\bar{\bar{e}})^2\)]
=(abc-ab-c+1)\(σ_e^2\)
=(ab-1)(c-1) \(σ_e^2\)
E[\(S_e\)]=(ab-1)(c-1)\(σ_e^2\)
(全計算過程は解説集にあります)

残差eの自由度は(ab-1)(c-1)より、分散の期待値E[Ve]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。計算は複雑ですが、自由度で割ると\(σ_e^2\)になることがわかります。

E[e]=\(σ_e^2\)

⑤乱塊法の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事に解説しています。まとめると次の3つです。

  1. データの構造式を書く
  2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
  3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

自由度をまとめます。

SA SB SC SA×B Se
a 1 -1
b 1 -1
c 1 -1
ab 1 -1
abc 1
1 -1 -1 -1 1 1

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

φ E[V]
A a-1 \(σe^2\)+bc\(σ_A^2\)
B b-1 \(σe^2\)+ac\(σ_B^2\)
C c-1 \(σe^2\)+ab\(σ_C^2\)
A×B (a-1)(b-1) \(σe^2\)+c\(σ_{A×B}^2\)
e (ab-1)(c-1) \(σe^2\)
T abc-1

⑥乱塊法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

  1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
  2. 誤差eの自由度φeである。
  3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

  

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、eの分散の推定値E[V]を導出します。
VC=\(σe^2\)+ab\(σ_C^2\)
Ve=\(σe^2\)
よって、
\(\widehat{σ_C^2}\)= \(\frac{1}{ab}\)( VC-Ve)
\(\widehat{σ_e^2}\)= Ve

主効果の点推定と区間推定

点推定: \(\widehat{μ}(B_j)=\bar{x_{・j・}}\)=\(\widehat{μ+β_j}\)
=\(μ+\bar{r}+β_j +\bar{e_{・j・}}\)

分散:\(\widehat{Var}(\widehat{μ}( B_j))\)
=V[μ+\(\bar{r}+β_j +\bar{e_{・j・}}\)]
=V[\(\bar{r}\)]+V[\(\bar{e_{・j・}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_C^2}}{c}\)+\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{ab}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

交互作用の点推定と区間推定

点推定: \(\widehat{μ}(A_i B_j)\)=\(\bar{x_{ij・}}\)
=\(μ+\bar{γ}+α_i+β_j+(αβ)_{ij}+\bar{e_{ij・}}\)

分散:\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j))\)
=V[μ+\(\bar{γ}+α_i+β_j+(αβ)_{ij}+\bar{e_{ij・}}\)]
= V[\(\bar{r}\)]+V[\(\bar{e_{ij・}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_C^2}}{c}\)+\(\frac{\widehat{σ_e^2}}{c}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑦乱塊法(3因子)の分散分析を導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。

【問】3因子交互作用を含む乱塊法について、次のデータの構造式を考える。
xijk=μ+γkij
+ (αβ) ij+ eijk
因子A,B,Cの自由度はそれぞれa,b,cとする。
また因子Cは反復として変量因子として扱う。
(1)主効果、交互作用、残差eの自由度と分散の期待値を導出せよ。
(2)主効果,交互作用の点推定と区間推定を計算せよ。
(詳細は解説集にあります。)

まとめ

乱塊法(3因子)の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

  • ➀乱塊法とは何かがわかる
  • ②乱塊法(3因子)のデータの構造式が書ける
  • ③乱塊法(3因子)の平方和の分解の式が書ける
  • ④乱塊法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる
  • ⑤乱塊法の分散分析ができる
  • ⑥乱塊法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる
  • ⑦乱塊法(3因子)の分散分析を導出できる演習問題


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