一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】
「平方和がなぜ分解できるのかがわからない、解けない」、「主効果、交互作用、残差の各値が計算できない」、「主効果、交互作用、残差の和が0になる理由がわからない」、など、実験計画法や分散分析に不慣れで困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
一元配置実験の平方和の分解
- ①データの分解方法がわかる
- ②主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
- ③主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる
記事の信頼性
記事を書いている私は、QC検定®１級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけています。とはいえ、QC検定®1級合格前の1.5年前までは、実験計画法すら知りませんでした。実験計画法を初めて勉強して3ヶ月後にQC検定®2級を合格しました。実験計画法はまったく理解できていませんでしたが、計算方法だけ暗記して点数を稼ぐレベルでした。
本記事は、実験計画法を学び始めるときに、なぜ？と不思議に思う内容をわかりやすく解説します。すぐ読めます！
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①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
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①データの分解方法がわかる
データの構造式
一因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。
実験計画法は慣れないうちは、分散分析ができることを最優先するので、
データの構造式は見なくてもOKです。
しかし、データの構造式さえあれば全部計算できるので、機械的に書きましょう。
一元配置実験のデータの構造式
xij=μ+αi+eij
一元配置実験をデータ分解する
因子と水準の違いは説明できますか？
なぜ聞くかというと、私はQC検定2級受験で因子と水準の設問に間違えたからです。
QC検定2級合格しても、因子と水準の違いがついていませんでした。
【簡単】因子と水準の違い
水準はレベル(英語にするとわかりやすい)
一元配置実験のデータを用意します。
| xij | ||||
| 水準1 | 2 | 7 | 12 | |
| 水準2 | 8 | 13 | 21 | 計 |
| 水準3 | 15 | 23 | 34 | 135 |
データの分解方法
- 全体の平均μを求める
- 主効果\(α_i\)の各値(i=1,2,3)を求める
- 残差\(e_{ij}\)は残りの値
計算して、表を作ってみた方がわかりやすいです。
(i)全体の平均μを求める。
μ=合計/個数=135/9=15
| xij | ||||
| 水準1 | 2 | 7 | 12 | |
| 水準2 | 8 | 13 | 21 | 計 |
| 水準3 | 15 | 23 | 34 | 135 |
(ii)主効果\(α_i\)の各値(i=1,2,3)を求める
\(α_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{2+7+12}{3}\)-15=-8
\(α_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{8+13+21}{3}\)-15=-1
\(α_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{15+23+34}{3}\)-15=9
| αi | ||||
| 水準1 | -8 | |||
| 水準2 | -1 | 計 | ||
| 水準3 | 9 | 0 | ||
(iii) 残差\(e_{ij}\)は残りの値
\(ε_{ij}\)=\(x_{ij}\)-μ-\(α_i\)
例えばi=2,j=3としましょう。
\(ε_{23}\)=\(x_{23}\)-μ-\(α_i2\)
=21-15-(-1)=7
これをすべてのijについて計算します。
| εij | ||||
| 水準1 | -5 | 0 | 5 | 計0 |
| 水準2 | -6 | -1 | 7 | 計0 |
| 水準3 | -9 | -1 | 10 | 計0 |
まとめると次のようにデータが分解できます。
データの分解のまとめ
| xij | ||||
| 水準1 | 2 | 7 | 12 | |
| 水準2 | 8 | 13 | 21 | 計 |
| 水準3 | 15 | 23 | 34 | 135 |
=
| μ | ||||
| 水準1 | 15 | |||
| 水準2 | 計 | |||
| 水準3 | 15 | |||
+
| αi | ||||
| 水準1 | -8 | |||
| 水準2 | -1 | 計 | ||
| 水準3 | 9 | 0 | ||
+
| εij | ||||
| 水準1 | -5 | 0 | 5 | 計0 |
| 水準2 | -6 | -1 | 7 | 計0 |
| 水準3 | -9 | -1 | 10 | 計0 |
②主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
データの構造式
xij=μ+ αi+ xij
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。
次に平方和を導出しましょう。
平方和の分解を導出
データの構造式
xij=μ+ αi+ xij
を
xij-μ+=αi+ xij
と変形し、両辺を2乗したものにΣiΣjをつけます。
\(\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-μ)^2\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i-ε_{ij})^2\)
の右辺は、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i^2-2α_iε_{ij}+ε_{ij}^2)\)
= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i^2\)-2\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_iε_{ij}\)+\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}ε_{ij}^2)\)
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i^2\)+\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}ε_{ij}^2)\)
つまり、\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_iε_{ij}\)=0
となります。
平方和は分解できるのです。
でも、慣れないうちは難解なので、
次の表を使って平方和の分解ができることを理解しましょう。
データの分解した表から平方和の分解を導出
データの構造式
xij=μ+ αi+ xij
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。
すべての値を2乗しましょう。
| xij | ||||
| 水準1 | 4 | 49 | 144 | |
| 水準2 | 64 | 169 | 441 | 計 |
| 水準3 | 225 | 529 | 1156 | 2781 |
=
| μ | ||||
| 水準1 | 225 | 225 | 225 | |
| 水準2 | 225 | 225 | 225 | 計 |
| 水準3 | 225 | 225 | 225 | 2025 |
+
| αi | ||||
| 水準1 | 64 | 64 | 64 | |
| 水準2 | 1 | 1 | 1 | 計 |
| 水準3 | 81 | 81 | 81 | 438 |
+
| εij | ||||
| 水準1 | 25 | 0 | 25 | |
| 水準2 | 36 | 1 | 49 | 計 |
| 水準3 | 81 | 1 | 100 | 318 |
表の和をまとめると、
2781=2025+438+318
と一致します。あら、不思議！
実際、合計,因子A,残差eに対する平方和Sは、
ST2781-2025=756
SA=438
Se=318
(438+318=756)
となります。
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-μ)^2\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i-ε_{ij})^2\)
>\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-μ)^2\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i^2\)+\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}ε_{ij}^2)\)
ST(2781-2025=756)= SA(=438)+ Se(=318)
となります。
表から中間項の和が0になることを確認
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_iε_{ij}^2\)=0
を実際に計算して確認します。
| αi | ||||
| 水準1 | -8 | -8 | -8 | |
| 水準2 | -1 | -1 | -1 | 計 |
| 水準3 | 9 | 9 | 9 | 0 |
×
| εij | ||||
| 水準1 | -5 | 0 | 5 | 計0 |
| 水準2 | -6 | -1 | 7 | 計0 |
| 水準3 | -9 | -1 | 10 | 計0 |
=
| αiεij | ||||
| 水準1 | 40 | 0 | -40 | 0 |
| 水準2 | 6 | 1 | -7 | 0 |
| 水準3 | -81 | -9 | 90 | 0 |
| 計 | -35 | -8 | 43 | 0 |
黄色枠のとおり、合計は0になります。
③主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる
数式から理由を理解する
【簡単】主効果、交互作用、残差の和が0である理由
その他の主効果、交互作用、残差の和は0になるのは当然！
データの構造式
xij=μ+ αi+ xij
から、両辺に和をとります。
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}x_{ij}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(μ+α_i-ε_{ij})\)
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}x_{ij}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}μ\)+\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i\)-\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}ε_{ij})\)
ここで、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}x_{ij}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}μ\)
で、αとεは独立した関係なので、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}ε_{ij}\)=0
となります。
データの分解した表から理由を理解する
表でも確認しましょう。
主効果の和=0を確認
| αi | ||||
| 水準1 | -8 | |||
| 水準2 | -1 | 計 | ||
| 水準3 | 9 | 0 | ||
残差の和=0を確認
| εij | ||||
| 水準1 | -5 | 0 | 5 | 計0 |
| 水準2 | -6 | -1 | 7 | 計0 |
| 水準3 | -9 | -1 | 10 | 計0 |
| 計 | -20 | -2 | 22 | 計0 |
つまり、
\(\sum_{i=1}^{a}α_i\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}ε_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}ε_{ij}\)=0
\(\sum_{j=1}^{b}ε_{ij}\neq0\)(意外！)
となります。
公式暗記の前に、具体的な数字を使った計算結果を見て、慣れていきましょう。
まとめ
一元配置実験の平方和の分解を詳細に解説しました。
- ①データの分解方法がわかる
- ②主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
- ③主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119