投稿者: QCプラネッツ

「全分散の公式の導出がわからない」、と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
• ➁事前に読んでおくべき関連記事
• ➂E[E[Y|X]]=E[Y]の導出
• ➃全分散の導出

QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

本記事でばっちりおさえましょう。

①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

2段サンプリングの分散の式

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

という思いで、解説していきます。

2段サンプリングの分散の式に必要な内容

まとめると、以下を理解しておく必要があります。

1. 条件付き確率
2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
4. 条件付き確率の期待値・分散
5. 全分散の公式の導出
6. ２段サンプリングの分散の公式導出

残念ながら、「Yes」です。

だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

では、１つ１つ解説します。

本記事のテーマ(再掲)

第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

1. 条件付き確率
2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
4. 条件付き確率の期待値・分散
5. 全分散の公式の導出
6. ２段サンプリングの分散の公式導出

●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

➁事前に読んでおくべき関連記事

●いきなり、全分散の公式を理解しようとすると、挫折します。そこで、具体事例の計算過程を一回読んでから、公式導出するとかなり身近な式になります。

関連記事でおさえておくべきポイント

1. E(Y|X)はどんな式か？　和または積分対象はX,Yどちらか？
2. E(E(Y|X))の計算過程。 和または積分対象はX,Yのどちらか？
3. E(Y²|X)に慣れておく
4. V(Y|X)はどんな式か？　和または積分対象はX,Yどちらか？
5. E(V(Y|X)]の計算過程。 和または積分対象はX,Yのどちらか？
6. V(E(Y|X)]の計算過程。 和または積分対象はX,Yのどちらか？
7. 全分散の公式が成り立つ計算過程

全分散の公式を含めて、条件つき期待値、条件つき分散を網羅して解説しています。

離散型(数列)で解く場合（本記事も数列版で全分散の公式を導出します。）

【必読】条件つき期待値・条件付き分散がわかる(離散型) 条件付き期待値、条件付き分散を計算できますか？本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、 全分散の公式を実例を使って、数列で計算して確認します。教科書では公式導出ばかりです。具体的な計算が 苦手な人は必読です。

連続型(積分)で解く場合

【必読】条件つき期待値・条件つき分散がわかる(連続型) 条件付き期待値、条件付き分散を計算できますか？本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、全分散の公式を実例を使って,積分で計算して確認します。教科書では公式導出ばかりです。具体的な計算が 苦手な人は必読です。

では、一般化して公式導出に入ります。

➂E[E[Y|X]]=E[Y]の導出

導出

文字式でさっと書いていきます。

E(E(Y|X=x_i))
=\(\sum_{i} (E(Y|X=x_i))f_{xi}\)
=\(\sum_{i}(\sum_{j} y_j f_{Y|X}(y_i|x_i)) f_{xi}\)

ここで、\(y_j\)を前に出して、fを整理します。
=\(\sum_{j} y_j(\sum_{i} f_{Y|X}(y_i|x_i) f_{xi})\)
=\(\sum_{j} y_j(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)
=\(\sum_{j} y_j f_Y(y_j)\)
=E(Y)
となります。

ここで、１つわかりにくいポイントがあります。
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
になぜ変わるのか？です。

式だけではわかりにくいので、上の関連記事の事例を使って、具体的な数字を使って計算します。

実例で詳細に解説

結果的に、
(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
が一致します。文字で解くと難しい場合は、具体例で理解しておくとよいです。

関連記事の例題から具体的な値で比較しましょう。
E(E(Y|X))の値は下表のようにまとめる事ができます。

上の表の⑧は
⑧＝[①×➁＋➂×➃＋⑤×⑥]×⑦
で計算して、
E[E[Y|X]]=E[Y]
を計算してます。

なお、E[Y]の求め方は、下表通りです。

上の2つの表を比較すると、

確かに、
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
が一致します。文字で解くと難しい場合は、具体例で理解しておくとよいです。

ここまで細かく解説するのは、ＱＣプラネッツだけですね。

➃全分散の導出

V(Y|X)の導出

機械的に、
V(Y)=E(Y²)-E(Y) ²
ですから、

V(Y|X) =E(Y²|X)-E(Y|X) ²
です。

E(V(Y|X),V(E(Y|X))の導出

●V(Y|X)の期待値E(V(Y|X)ですが、
E(V(Y|X)
=E(E(Y²|X)-E(Y|X) ²)
= E(E(Y²|X))-E(E(Y|X) ²)

ここで、E(E(Y|X))=E(Y)ですから、
E(Y|X)⇒E(Y²|X)と見ると、

E(E(Y²|X))=E(Y²)です。あら、不思議！

よって、
E(V(Y|X)= E(Y²)- E(E(Y|X) ²) …(式1)

●次に、E(Y|X)の分散V(E(Y|X)) ですが、
V(E(Y|X))
=E(E(Y|X) ²)-(E(E(Y|X)))²

ここで、E(E(Y|X))=E(Y)ですから、

よって、
V(E(Y|X))=E(E(Y|X) ²)-(E(Y))²…(式2)

全分散の導出

(式１)+(式2)より、下の色部分がキャンセルされます。
E(V(Y|X))= E(Y²)-E(E(Y|X) ²) …(式1)
V(E(Y|X))= E(E(Y|X) ²)-(E(Y))²…(式2)

よって、
E(V(Y|X))+ V(E(Y|X))= E(Y²)–(E(Y))²=V(Y)
が成り立ちます。

が導出できました。

まとめ

全分散の公式の導出をわかりやすく解説しました。

• ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
• ➁事前に読んでおくべき関連記事
• ➂E[E[Y|X]]=E[Y]の導出
• ➃全分散の導出

サンプリング

「条件付き期待値・条件付き分散の計算ができない」、と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
• ➁例題と条件付き確率
• ➂条件付き期待値
• ➃条件付き分散がわかる

QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

本記事でばっちりおさえましょう。

①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

2段サンプリングの分散の式

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

という思いで、解説していきます。

2段サンプリングの分散の式に必要な内容

まとめると、以下を理解しておく必要があります。

1. 条件付き確率
2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
4. 条件付き確率の期待値・分散
5. 全分散の公式の導出
6. ２段サンプリングの分散の公式導出

残念ながら、「Yes」です。

だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

では、１つ１つ解説します。

本記事のテーマ(再掲)

第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

1. 条件付き確率
2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
4. 条件付き確率の期待値・分散
5. 全分散の公式の導出
6. ２段サンプリングの分散の公式導出

●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

➁例題と条件付き確率

例題

関連記事と同じ例題で解説します。関連記事もご確認ください。

同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合) ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

●2次元の確率変数(X,Y)が、下表のような分布を持っている。

期待値と分散のフルセットを計算してみましょう。

条件付き確率

(1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。

条件付き確率

まず、確率の式を書いてから、関数の式に変えましょう。

●P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)ですから、例えば、
P(Y=1|X=1)=(2/8)/(1/2)=1/4です。同様に全部計算すると、次の表になります。機械的に計算しましょう。

➂条件付き期待値

「(2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y²|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

条件付き期待値の計算

●E(Y|X)、E(Y²|X)を計算します。

●E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j P(Y|X=i)\)で計算します。yで加算しますが、個々のXの値について期待値を計算します。

●E(Y|X=1)= \( \sum_{j} y_j P(Y|X=1)\)
=\(1×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)
=\(\frac{7}{4}\)

●E(Y|X=2)= \( \sum_{j} y_j P(Y|X=2)\)
=\(1×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)
=\(\frac{9}{4}\)

つぎに、E(Y²|X)ですが、
E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j P(Y|X=i\))から
E(Y|X=i)=\( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=i)\)に変えて加算します。

●E(Y²|X=1)= \( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=1)\)
=\(1^2×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)
=\(\frac{15}{4}\)

●E(Y ²|X=2)= \( \sum_{j} y_j^2 P(Y|X=2)\)
=\(1^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(2^2×\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\)+\(3^2×\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\)
=\(\frac{23}{4}\)

条件付きの期待値の特徴

上のE(Y|X), E(Y²|X)を計算すると、奇妙な感じになります。なぜなら、

これは、実は問題ありません。
連続系の問いでE(Y|X), E(Y²|X)を計算すると、E(Y|X), E(Y²|X)そのものの値ではなく、
関数になります。

重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認

●E(Y)=E(E(Y|X))を確認します。この式の証明は別途、他の記事で解説します。本記事では、計算が合うことや計算過程を確認します。

●ここで、E(Y)については、関連記事ですでに計算しています。ご確認ください。

同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合) ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

●E(Y)自体は非常に簡単で、
E(Y)=1×\(\frac{3}{8}\)+2×\(\frac{2}{8}\)+3×\(\frac{3}{8}\)=2
でした。

では、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認をしましょう。

E(E(Y|X))が難しいですが、E(＊) の中「＊」を意識して、
E(*)=∑ (*) f(★) で計算すればよいです。

E(E(Y|X))=\(\sum_{i=1}^{2} E(Y|X) f_Y(y_i)\)
=\(\frac{7}{4}・\frac{1}{2}+\frac{9}{4}・\frac{1}{2}\)
=2
と一致しましたね。

➃条件付き分散がわかる

「(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

条件付き分散の計算

●V(Y|X)、E(V(Y|X))、V(E(Y|X))を計算していきます。

●V(Y|X)ですが、焦らず、分散公式を思い出します。
V[X]=E[X²]-E[X]²
でしたね。X⇒Y|Xに変えればＯＫです。でも、これでも代入しにくいので解いてみましょう。

V(Y|X=i)= E[Y²|X=i]-E[Y|X=i]²
です。X²⇒Y²|Xに注意します。
実は、
E[Y²|X=i]とE[Y|X=i]は計算済です。

V(Y|X=1)= E[Y²|X=1]-E[Y|X=1]²
=\(\frac{15}{4}-(\frac{7}{4})^2\)
=\(\frac{11}{16}\)

V(Y|X=2)= E[Y²|X=2]-E[Y|X=2]²
=\(\frac{23}{4}-(\frac{9}{4})^2\)
=\(\frac{11}{16}\)

●次に全分散の公式への下ごしらえをします。

●E(V(Y|X))を計算します。V(Y|X)の期待値なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。Y|XはX=iごとに計算していきます。
E(V(Y|X=i)) = \(\sum_{i} V(Y|X=i) f_X(x=i)\)
=\(\frac{11}{16}・\frac{1}{2}+\frac{11}{16}・\frac{1}{2}\)
=\(\frac{11}{16}\)

●V(E(Y|X))を計算します。E(Y|X)の分散なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
V(E(Y|X))=E(E(Y|X)²)-E(E(Y|X)) ²
=\(\sum_{i} E(Y|X)^2 f_X(x=i)\)- \((\sum_{i} E(Y|X) f_X(x=i))^2\)
=[\((\frac{7}{4})^2・\frac{1}{2}+(\frac{9}{4})^2・\frac{1}{2}\)]
-\([\frac{7}{4})・\frac{1}{2}+\frac{9}{4}・\frac{1}{2}]^2\)
=\(\frac{1}{16}\)

となります。随分計算が大変でした。

全分散の公式の確認

2段サンプリングの分散導出に必須な全分散の公式

V(Y)= V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
を確認しましょう。

関連記事と同じ例題で解説します。関連記事もご確認ください。

同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その１ 離散系の場合) ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（離散系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

●全分散の公式の(右辺)を合算します。
V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
=\(\frac{11}{16}+\frac{1}{16}\)
=\(\frac{3}{4}\)
=V(Y)
と一致します。

●証明は別途、他の記事で解説しますが、連続型で全分散の公式が成り立つことを確認しました。

重い例題でしたが、ちゃんと計算できました。教科書では、抽象的な公式導出ばかり書いていますが、実例で計算するのは意外と難しいので、何度も確認しましょう。

まとめ

条件付き期待値・条件付き分散がわかる(離散型)をわかりやすく解説しました。

• ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
• ➁例題と条件付き確率
• ➂条件付き期待値
• ➃条件付き分散がわかる

サンプリング

「条件付き期待値・条件付き分散の計算ができない」、と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
• ➁例題と条件付き確率
• ➂条件付き期待値
• ➃条件付き分散がわかる

QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集を販売します！

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サンプリングの分散公式への道ですが、徐々に難しくなっていきます。１つずつ理解してクリアーしましょう。

本記事でばっちりおさえましょう。

①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容

2段サンプリングの分散の式

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

という思いで、解説していきます。

2段サンプリングの分散の式に必要な内容

まとめると、以下を理解しておく必要があります。

1. 条件付き確率
2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
4. 条件付き確率の期待値・分散
5. 全分散の公式の導出
6. ２段サンプリングの分散の公式導出

残念ながら、「Yes」です。

だから、「２段サンプリングの分散」の式を暗記して代入する問題だけ出ます。

だから、サンプリングの分散はみんな苦手なのです!

2段サンプリングの分散の式の丁寧な導出はQCプラネッツだけ

「だから、教科書やサイトに、2段サンプリングの分散の式を導出する内容が書いているはず」と懇願しても、残念、ありませんでした。

では、１つ１つ解説します。

本記事のテーマ(再掲)

第4弾として「条件付き確率の期待値・分散」を解説します。

1. 条件付き確率
2. ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）
3. 同時確率分布の分散、共分散の導出
4. 条件付き確率の期待値・分散
5. 全分散の公式の導出
6. ２段サンプリングの分散の公式導出

●2変数の同時確率質量関数については、関連記事で解説しています。ご確認ください。

２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）がわかる ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）が説明できますか？本記事では、2変数の確率分布関数の基礎をわかりやすく解説します。サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

➁例題と条件付き確率

例題

2次元の確率変数(X,Y)の同時確率密度関数が
\(f(x,y)=\frac{1}{4}(x+2y)\) (0 ≤ \(x\) ≤ 2, 0 ≤ \(y\) ≤ 1)
\(f_X(x)\)=\(\frac{1}{4}(x+1)\)
\(f_Y(y)\)=\(\frac{1}{2}(1+2y)\)
で表されている。
(1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。
(2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y²|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。
(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。

全盛りです。１つずつ解いていきましょう。大丈夫です。

条件付き確率

(1)条件付き確率\(f_{Y|X}(y|x)\)を求めよ。

条件付き確率

まず、確率の式を書いてから、関数の式に変えましょう。

●P(A|B)=\(\frac{P(A∩B)}{P(B)}\)ですから
\(f_{Y|X}(y|x)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\)となります。代入すると
\(f_{Y|X}(y|x)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\)=\(\frac{x+2y}{x+1}\)

なお、逆に\(f_{X|Y}(x|y)\)なら、
\(f_{X|Y}(x|y)\)= \(\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\)=\(\frac{x+2y}{2(1+2y)}\)
となります。機械的に代入すればOKですね。

➂条件付き期待値

「(2)条件付き期待値E(Y|X)、E(Y²|X)、E(Y)を求め、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

条件付き期待値の計算

●E(Y|X)、E(Y²|X)を計算します。

●E(Y|X)=\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)で計算します。yで積分します。

●E(Y|X)=\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)
=\(\int_0^1 y \frac{x+2y}{x+1} dy\)
=\(\frac{1}{x+1}\left[ \frac{x}{2} y^2 +\frac{2}{3} y^3 \right]_0^1\)
=\(\frac{1}{x+1} (\frac{x}{2}+\frac{2}{3})\)
=\(\frac{3x+4}{6(x+1)}\)

つぎに、E(Y²|X)ですが、
\(\int_0^1 y f_{Y|X}(y|x)dy\)から
\(\int_0^1 y^2 f_{Y|X}(y|x)dy\)に変えて積分します。

●E(Y²|X)= \(\int_0^1 y^2 f_{Y|X}(y|x)dy\)
=\(\int_0^1 y^2 \frac{x+2y}{x+1} dy\)
=\(\frac{1}{x+1}\left[ \frac{x}{3} y^3 +\frac{1}{2} y^4 \right]_0^1\)
=\(\frac{1}{x+1} (\frac{x}{3}+\frac{1}{2})\)
=\(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)

条件付きの期待値の特徴

上のE(Y|X), E(Y²|X)を計算すると、奇妙な感じになります。なぜなら、

これは、実は問題ありません。
離散系の問いでE(Y|X), E(Y²|X)を計算すると、E(Y|X), E(Y²|X)そのものの値ではなく、
E(Y|X=i) (i=1,…,n)についてそれぞれ個別に値を求める
E(Y²|X=i) (i=1,…,n)についてそれぞれ個別に値を求める
ことになります。連続型の場合は関数で表現することに相当します。

重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認

●E(Y)=E(E(Y|X))を確認します。この式の証明は別途、他の記事で解説します。本記事では、計算が合うことや計算過程を確認します。

●ここで、E(Y)については、関連記事ですでに計算しています。ご確認ください。

同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その２ 連続系の場合) ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。 また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

●E(Y)= \(\int_0^1 y f_Y(y)dy\)
=\(\frac{1}{2}\int_0^1 y (1+2y) dy\)
=\(\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2} y^2 +\frac{2}{3} y^3 \right]_0^1\)
=\(\frac{7}{12}\)
でした。

では、重要公式E(Y)=E(E(Y|X))の確認をしましょう。

E(E(Y|X))が難しいですが、E(＊) の中「＊」を意識して、
E(*)=∫ (*) f(★) で計算すればよいです。

なお、E(＊) の中「＊」はE(Y|X)= \(\frac{3x+4}{6(x+1)}\) とxの式なので、f(★)の★はxで考えます。

E(E(Y|X))= \(\int_0^2 E(Y|X) f_X(x)dx\)
=\(\int_0^2 \frac{3x+4}{6(x+1)} \frac{1}{4}(x+1) dx\)
=\(\frac{1}{24} \int_0^2 (3x+4) dx \)
=\(\frac{1}{24}\left[ \frac{3}{2} x^2 + 4x \right]_0^2\)
=\(\frac{1}{24} 14\)
=\(\frac{7}{12}\)
=E(Y)
と一致しましたね。

➃条件付き分散がわかる

「(3)条件付き分散V[Y|X]を求め、全分散の公式が成り立つことを確認せよ。」を確認します。

条件付き分散の計算

●V(Y|X)、E(V(Y|X))、V(E(Y|X))を計算していきます。

●V(Y|X)ですが、焦らず、分散公式を思い出します。
V[X]=E[X²]-E[X]²
でしたね。X⇒Y|Xに変えればＯＫです。でも、これでも代入しにくいので解いてみましょう。

V(Y|X)= E[Y²|X]-E[Y|X]²
です。X²⇒Y²|Xに注意します。
実は、
E[Y²|X]= \(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)
E[Y|X]= \(\frac{3x+4}{6(x+1)}\)
とすでに計算済ですから、そのまま計算できます。よって
V[Y|X]= \(\frac{2x+3}{6(x+1)}\)- \((\frac{3x+4}{6(x+1)})^2\)
=\(\frac{6(x+1)(2x+3)-(3x+4)^2}{36(x+1)^2}\)
=\(\frac{1}{36(x+1)^2} (3x^2+6x+2)\)
とxの関数として出て来ました。

●次に全分散の公式への下ごしらえをします。

●E(V(Y|X))を計算します。V(Y|X)の期待値なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
E(V(Y|X))= \(\int_0^2 V(Y|X) f_X(x)dx\)
=\(\int_0^2 \frac{1}{36(x+1)^2} (3x^2+6x+2) \frac{1}{4}(x+1) dx\)
=\(\frac{1}{144} \int_0^2 \frac{3x^2+6x+2}{x+1} dx \)
=\(\frac{1}{144} \int_0^2 (3(x+1)-\frac{1}{x+1}) dx \)
積分すると
=\(\frac{1}{144}\left[ \frac{3}{2}(x+1)^2 -log|x+1| \right]_0^2\)
=\(\frac{1}{144} (12-log3)\)
となります。計算が合っているか、ちょっと心配になりますね。大丈夫です。どんどん突き進みましょう。

●V(E(Y|X))を計算します。E(Y|X)の分散なんて、どうやって計算するか、難しそうです。しっかり見ていきます。xの関数なのでxで積分します。
V(E(Y|X))=E(E(Y|X)²)-E(E(Y|X)) ²
=\(\int_0^2 \frac{(3x+4)^2}{36(x+1)^2} \frac{1}{4} (x+1)dx\)
-\((\int_0^2 \frac{3x+4}{6(x+1)} \frac{1}{4} (x+1)dx)^2\)
=\(\frac{1}{144 }\int_0^2 \frac{(3x+4)^2}{x+1} dx\) -\((\frac{1}{24} \int_0^2 (3x+4) dx)^2\)

=\(\frac{1}{144}\int_0^2 (9(x+1)+6+\frac{1}{x+1}dx\) -\(\frac{1}{576}(\left[ \frac{3}{2}x^2 +4x \right]_0^2\)
=\(\frac{1}{144}(36+12+log3 \) -\(\frac{196}{576}\)
=\(\frac{1}{144}(-1+log3) \)
となります。随分計算が大変でした。

全分散の公式の確認

2段サンプリングの分散導出に必須な全分散の公式

V(Y)= V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
を確認しましょう。

●V(Y)は関連記事ですでに計算済です。

同時確率分布の分散、共分散の導出がわかる(その２ 連続系の場合) ２変数の確率分布関数（同時確率質量関数）の期待値・分散が簡単に求められますか？ 本記事では、2変数の確率分布関数（連続系）の期待値・分散をわかりやすく解説します。 期待値・分散の計算が結構難しいので、復習がとても大事です。 また、サンプリングの分散、全分散の公式導出に必須です。

V(Y)=\(\frac{11}{144}\)ですね。

●全分散の公式の(右辺)を合算します。
V(E(Y|X))+ E(V(Y|X))
=\(\frac{1}{144}(-1+log3) \)+\(\frac{1}{144} (12-log3)\)
=\(\frac{11}{144}\)
=V(Y)
と一致します。

●証明は別途、他の記事で解説しますが、連続型で全分散の公式が成り立つことを確認しました。

重い例題でしたが、ちゃんと計算できました。教科書では、抽象的な公式導出ばかり書いていますが、実例で計算するのは意外と難しいので、何度も確認しましょう。

まとめ

条件付き期待値・条件付き分散がわかる(連続型)をわかりやすく解説しました。

• ①【共通】２段サンプリングの分散公式を導出するために知っておくべき内容
• ➁例題と条件付き確率
• ➂条件付き期待値
• ➃条件付き分散がわかる

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